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2009年普通高等学校招生全国统一考试数学卷(全国Ⅰ.文)含详解


2009 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学(必修+选修Ⅰ 文科数学(必修+选修Ⅰ)
本试卷分第错误!未找到引用源.卷(选择题)和第错误!未找到引用源.卷(非选择 卷 选择题)和第 本试卷分第 卷 题)两部分.第错误!未找到引用源.卷 1 至 2 页,第错误!未找到引用源.卷 3 至 4 页.考 两部分. 卷 卷 试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 试结束后,将

本试卷和答题卡一并交回.

第 Ⅰ卷
注意事项: 注意事项: 1.答题前,考生在答题卡上务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名,准考证 .答题前, 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名, 号,填写清楚 ,并贴好条形码.请认真核准条形码上的准考证号,姓名和科目. 填写清楚 并贴好条形码.请认真核准条形码上的准考证号,姓名和科目. 2.每小题选出答案后,用 2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用 .每小题选出答案后, B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动, 橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号. 橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.

.........

3.本卷共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 . 小题, 在每小题给出的四个选项中, 合题目要求的. 合题目要求的. 参考公式: 参考公式:
w .w.w.k.s.5.u. c.o. m

如果事件 A,B 互斥,那么

球的表面积公式

P ( A + B ) = P ( A) + P ( B )
如果事件 A,B 相互独立,那么

S = 4πR 2
其中 R 表示球的半径 球的体积公式

P ( Ai B ) = P ( A)i P ( B )
如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P ,那么

V=

4 3 πR 3

n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率
Pn (k ) = Cnk P k (1 P ) n k (k = 0,2, ,n) 1,
一,选择题 (1) sin 585 的值为 (A)
o

其中 R 表示球的半径

2 2

(B)

2 2

(C)

3 2

(D)

3 2

【解析】本小题考查诱导公式,特殊角的三角函数值,基础题.

解: sin 585 = sin( 360 + 225 ) = sin(180 + 45 ) = sin 45 =
o o o o o o

2 ,故选择 A. 2

(2)设集合 A={4,5,6,7,9} ,B={3,4,7,8,9} ,全集 ∪ =A ∪ B,则集合[u (A ∩ B) 中的元素共有 (A) 3 个 (B) 4 个 (C)5 个 (D)6 个 【解析】本小题考查集合的运算,基础题. (同理 1) 也可用摩根律: 解:A ∪ B = {3, 4,5, 7,8,9} ,A ∩ B = {4, 7,9}∴ CU ( A ∩ B ) = {3,5,8} 故选 A. 也可用摩根律:

CU ( A ∩ B) = (CU A) ∪ (CU B)
(3)不等式

x +1 < 1 的解集为 D x 1

w.w.w.k.s.5.u .c. o.m

(A) x 0 x1} ∪ x x 1} (C)

{

{

(B) { x 0 x1} (D) x x 0}

{x 1 x0}

{

【解析】本小题考查解含有绝对值的不等式,基础题. 解:

x +1 < 1 | x + 1 |<| x 1 | ( x + 1) 2 ( x 1) 2 < 0 4 x < 0 x < 0 , x 1

故选择 D. (4)已知 tan a =4,cot β = (A)

7 11

(B)

7 11

1 ,则 tan(a+ β )= 3 7 7 (C) (D) 13 13
tan α + tan β 4+ 3 7 = = ,故选择 B. 1 tan α tan β 1 12 11

【解析】本小题考查同角三角函数间的关系,正切的和角公式,基础题. 解:由题 tan β = 3 , tan(α + β ) =

(5)设双曲线 心率等于 (A) 3

x2 y2 - =1 ( a>0,b>0 ) 的渐近线与抛物线 y=x2+1 相切,则该双曲线的离 a2 b2

(B)2

(C) 5

(D) 6

【解析】本小题考查双曲线的渐近线方程,直线与圆锥曲线的位置关系,双曲线的离心率, 基础题.

解:由题双曲线

bx x2 y2 - 2 =1 ( a>0,b>0 ) 的一条渐近线方程为 y = ,代入抛物线方程整 2 a a b
2 2

理 得 ax bx + a = 0 , 因 渐 近 线 与 抛 物 线 相 切 , 所 以 b 4a = 0 , 即
2

c 2 = 5a 2 e = 5 ,故选择 C.

1 (6)已知函数 f ( x ) 的反函数为 g ( x)= +2lgx ( x>0 ) ,则 f (1) + g (1) =
(A)0 (B)1 (C)2 (D)4

【解析】本小题考查反函数,基础题. 解:由题令 1 + 2 lg x = 1 得 x = 1 ,即 f (1) = 1 ,又 g (1) = 1 ,所以 f (1) + g (1) = 2 ,故 选择 C. (7)甲组有 5 名男同学,3 名女同学;乙组有 6 名男同学,2 名女同学,若从甲,乙两组中 各选出 2 名同学,则选出的 4 人中恰有 1 名女同学的不同选法共有 (A)150 种 (B)180 种 (C)300 种 (D)345 种

【解析】本小题考查分类计算原理,分步计数原理,组合等问题,基础题. 解:由题共有 C 5 C 6 C 2 + C 5 C 3 C 6 = 345 ,故选择 D.
2 1 1 1 1 2

(8)设非零向量 a , b , c 满足 | a |=| b |=| c |, a + b = c ,则 < a, b >= (A)150°B)120° (C)60° (D)30°

【解析】本小题考查向量的几何运算,考查数形结合的思想,基础题. 解:由向量加法的平行四边形法则,知 a , b 可构成菱形的两条相邻边,且 a , b 为起点处的 对角线长等于菱形的边长,故选择 B. (9)已知三棱柱 ABC A1 B1C1 的侧棱与底面边长都相等, A1 在底面 ABC 上的射影为 BC 的 中点,则异面直线 AB 与 CC1 所成的角的余弦值为

(A)

3 4

(B)

5 4

(C)

7 4

(D)

3 4

【解析】本小题考查棱柱的性质,异面直线所成的角,基础题. (同理 7) 解:设 BC 的中点为 D,连结 A1 D,AD,易知 θ = ∠A1 AB 即为异面直线 AB 与 CC1 所成的角,

由三角余弦定理,易知 cos θ = cos ∠A1 AD cos ∠DAB = (10) 如果函数 y = 3cos(2 x + φ ) 的图像关于点 ( (A)

AD AD 3 = .故选 D A1 A AB 4

w.w.w.k.s.5.u. c.o. m

π
6

(B)

π
4

(C)

π
3

(D)

π

4π , 0) 中心对称,那么 φ 的最小值为 3

2

【解析】本小题考查三角函数的图象性质,基础题. 解: ∵ 函数 y=3 cos ( 2 x+φ ) 的图像关于点

4π ,0 中心对称 3

w.w.w.k.s.5.u. c. o.m

∴2

4π π 13π π + φ = k π + ∴φ = kπ (k ∈ Z ) 由此易得 | φ |min = .故选 A 3 2 6 6

(11)已知二面角 α ι β 为 600 ,动点 P,Q 分别在面 α , β 内,P 到 β 的距离为 3 ,Q 到

α 的距离为 2 3 ,则 P,Q 两点之间距离的最小值为
【解析】本小题考查二面角,空间里的距离,最值问题,综合题. (同理 10) 解:如图分别作 QA ⊥ α 于A, AC ⊥ l于C , PB ⊥ β 于B,

PD ⊥ l于D ,连 CQ, BD则∠ACQ = ∠PBD = 60°,

Q
w.w.w.k.s. 5.u. c.o. m

AQ = 2 3, BP = 3 ,∴ AC = PD = 2
又∵ PQ =

B C D

A

AQ 2 + AP 2 = 12 + AP 2 ≥ 2 3
w.w.w.k.s.5.u.c. o.m

P

当且仅当 AP = 0 ,即 点A与点P 重合时取最小值.故答案选 C.

x2 (12)已知椭圆 C : + y 2 = 1 的右焦点为 F,右准线 l ,点 A ∈ l ,线段 AF 交 C 于点 B.若 2

FA = 3FB ,则 AF =
(A)

2

(B) 2

(C)

3

(D) 3

【解析】本小题考查椭圆的准线,向量的运用,椭圆的定义,基础题. 解:过点 B 作 BM ⊥ l 于 M,并设右准线 l 与 X 轴的交点为 N,易知 FN=1.由题意 FA = 3FB ,故

| BM |=

2 2 2 2 .又由椭圆的第二定义,得 | BF |= = ∴| AF |= 2 .故选 A 3 2 3 3

w.w.w.k.s.5.u.c. o.m

2009 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学( 选修Ⅰ 文科数学(必修 + 选修Ⅰ)
第 Ⅱ卷

注意事项: 注意事项: 1.答题前,考生先在答题卡上用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名,准考证号填写 .答题前, 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名, 清楚,然后贴好条形码.请认真核准条形码上的准考证号,姓名和科目. 清楚,然后贴好条形码.请认真核准条形码上的准考证号,姓名和科目. 2.第Ⅱ卷共 7 页,请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答,在 . 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答, .

试题卷上作答无效. ........
3.本卷共 10 小题,共 90 分. . 小题,

小题, 把答案填在题中横线上. 二,填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中横线上. 填空题:

(注意:在试题卷上作答无效) 注意: .........
(13) ( x y )10 的展开式中, x 7 y 3 的系数与 x3 y 7 的系数之和等于_____________. 【解析】本小题考查二项展开式通项,基础题. (同理 13) 解: 因 Tr + 1 = ( 1) C 10 x
r r 10 r
3 7 3 y r 所以有 C10 + (C10 ) = 2C10 = 240
w.w.w.k.s.5. u.c.

(14)设等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn .若 S9 = 72 ,则 a2 + a4 + a9 = _______________. 【解析】本小题考查等差数列的性质,前 n 项和,基础题. (同理 14) 解: ∵{an } 是等差数列,由 S9 = 72 ,得∴ S9 = 9a5 , a5 = 8

∴ a2 + a4 + a9 = (a2 + a9 ) + a4 = (a5 + a6 ) + a4 = 3a5 = 24 .
(15)已知 OA 为球 O 的半径, OA 的中点 M 且垂直于 OA 的平面截球面得到圆 M , 过 若圆 M 的面积为 3π ,则球 O 的表面积等于__________________. 【解析】本小题考查球的截面圆性质,球的表面积,基础题. 解:设球半径为 R ,圆 M 的半径为 r ,则 πr = 3π ,即 r = 3 由题得 R 2 (
2 2

R 2 ) = 3 ,所 2

以 R = 4 4πR = 16π .
2 2

(16)若直线 m 被两平行线 l1 : x y + 1 = 0与l2 : x y + 3 = 0 所截得的线段的长为 2 2 ,则

m 的倾斜角可以是
① 15 ② 30 ③ 45 ④ 60 ⑤ 75
w.w.w.k.s. 5.u. c.o. m

其中正确答案的序号是

.(写出所有正确答案的序号)

【解析】本小题考查直线的斜率,直线的倾斜角,两条平行线间的距离,考查数形结合的思 想. 解:两平行线间的距离为 d =

| 31| 1+1

= 2 ,由图知直线 m 与 l 1 的夹角为 30 o , l 1 的倾斜角
o 0 0 o 0 0

为 45 ,所以直线 m 的倾斜角等于 30 + 45 = 75 或 45 30 = 15 .故填写①或⑤
o

小题, 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 三.解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 解答题: 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤. (17)(本小题满分 10 分)(注意 在试题卷上作答无效) 注意:在试题卷上作答无效 注意 ......... 设等差数列{ an }的前 n 项和为 sn ,公比是正数的等比数列{ b n }的前 n 项和为 Tn , 已知 a1 = 1, b1 = 3, a3 + b3 = 17, T3 S3 = 12, 求{a n },{bn } 的通项公式. 【解析】本小题考查等差数列与等比数列的通项公式,前 n 项和,基础题. 解:设 {a n } 的公差为 d ,数列 {bn } 的公比为 q > 0 ,由题得

1 + 2d + q 2 = 17 2 q + q + 1 ( 3 + 3d ) = 12 解得 q = 2, d = 2 q > 0
∴ a n = 1 + 2( n 1) = 2n 1, bn = 1 2
n 1

= 2 n 1 .

(18)(本小题满分 12 分)(注意:在试用题卷上作答无效) 注意:在试用题卷上作答无效) 在 ABC 中 , 内 角 A , b , c 的 对 边 长 分 别 为 a , b , c. 已 知 a c = 2b , 且
2 2

sin B = 4 cos A sin C ,求 b.
【解析】本小题考查正弦定理,余弦定理. 解:由余弦定理得 a c = b 2bc cos A ,
2 2 2

∵ a 2 c 2 = 2b , b ≠ 0 , ∴ b 2bc cos A = 2b ,即 b = 2c cos A + 2 .
2

由正弦定理及 sin B = 4 cos A sin C 得

2 cos A =

sin B b , = 2 sin C 2c

∴b =

b + 2 ,即 b = 4 . 2

(19)(本小题满分 12 分)(注决:在试题卷上作答无效) 注决:在试题卷上作答无效) 如图,四棱锥 S ABCD 中,底面 ABCD 为矩形, SD ⊥ 底面

ABCD , AD = 2 , DC = SD = 2 , 点 M 在 侧 棱 SC 上 ,

∠ABM=60 .
(I)证明: M 是侧棱 SC 的中点; (同理 18) ( ΙΙ ) 求二面角 S AM B 的大小. 【解析】本小题考查空间里的线线关系,二面角,综合题. (I)解法一:作 MN ‖ SD 交 CD 于 N,作 NE ⊥ AB 交 AB 于 E, 连 ME,NB,则 MN ⊥ 面 ABCD , ME ⊥ AB , NE = AD = 设 MN = x ,则 NC = EB = x , 在 RT MEB 中,∵ ∠MBE = 60° ∴ ME =
2 2 2 2

2

3x .
2

在 RT MNE 中由 ME = NE + MN ∴ 3 x = x + 2 解得 x = 1 ,从而 MN =

N

1 SD ∴ M 为侧棱 SC 的中点 M. 2

E

解法二:过 M 作 CD 的平行线. (II)分析一 分析一:利用三垂线定理求解.在新教材中弱化了三垂线定 分析一 理. 这两年高考中求二面角也基本上不用三垂线定理的方法求作二面 角. 过 M 作 MJ ‖ CD 交 SD 于 J , 作 SH ⊥ AJ 交 AJ 于 H , 作
G

J

H
k

F

HK ⊥ AM 交 AM 于 K ,则 JM ‖ CD , JM ⊥ 面 SAD ,面 SAD ⊥
面 MBA , SH ⊥ 面 AMB ∴ ∠SKH 即为所求二面角的补角. 法二:利用二面角的定义.在等边三角形 ABM 中过点 B 作 BF ⊥ AM 交 AM 于点 F , 则点 F 为 AM 的中点,取 SA 的中点 G,连 GF,易证 GF ⊥ AM ,则 ∠GFB 即为所求二面角.

解法二, 解法二 , 分别以 DA,DC,DS 为 x,y,z 轴如图建立空间直角坐标系 D—xyz,则

A( 2 ,0,0), B( 2 ,2,0), C (0,0,2), S (0,0,2) .
(Ⅰ)设 M ( 0, a , b )( a > 0, b > 0) ,则 S z

BA = (0,2,0), BM = ( 2 , a 2, b), SM = (0, a , b 2) , SC = (0,2,2) ,由题得
1 cos < BA, BM >= 2 ,即 SM // SC
D A

M

C

y

B x

1 2(a 2) = 2 2 2 (a 2) + b + 2 2 解之个方程组得 a = 1, b = 1 2a = 2(b 2)
即 M ( 0,1,1) 所以 M 是侧棱 SC 的中点.
w.w.w.k.s.5.u.c. o.m

法 2:设 SM = λ MC ,则 M(0,

2λ 2 2 2 , ), MB= ( 2, , ) 1+ λ 1+ λ 1+ λ 1+ λ
o

又 AB = ( 0,2,0), < MB , AB >= 60

故 MB AB =| MB | | AB | cos 60 ,即
o

4 2 2 2 2 ) +( ) ,解得 λ = 1 , = 2+( 1+ λ 1+ λ 1+ λ
所以 M 是侧棱 SC 的中点. (Ⅱ)由(Ⅰ)得 M ( 0,1,1), MA = ( 2 ,1,1) ,又 AS = ( 2 ,0,2) , AB = (0,2,0) , 设 n1 = ( x 1 , y1 , z 1 ), n2 = ( x 2 , y 2 , z 2 ) 分别是平面 SAM , MAB 的法向量,则

n1 MA = 0 n2 MA = 0 2 x1 y1 z1 = 0 2 x 2 y 2 z 2 = 0 且 ,即 且 2 y 2 = 0 2 x1 + 2 z1 = 0 n1 AS = 0 n1 AB = 0
分别令 x 1 = x 2 =

2 得 z 1 = 1, y1 = 1, y 2 = 0, z 2 = 2 ,即

n1 = ( 2 ,1,1), n2 = ( 2 ,0,2) ,

∴ cos < n1 , n2 >=

2+0+ 2 2 6

=

6 3

w.w.w.k.s.5. u.c. o. m

二面角 S AM B 的大小 π arccos

6 . 3

(20)(本小题满分 12 分) 注意:在试题卷上作答无效) (注意: ......... 甲,乙二人进行一次围棋比赛,约定先胜 3 局者获得这次比赛的胜利,比赛结束.假设 在一局中,甲获胜的概率为 0.6,乙获胜的概率为 0.4,各局比赛结果相互独立.已知前 2 局 中,甲,乙各胜 1 局. (Ⅰ)求再赛 2 局结束这次比赛的概率; (Ⅱ)求甲获得这次比赛胜利的概率. 【解析】本小题考查互斥事件有一个发生的概率,相互独立事件同时发生的概率,综合 题. 解:记"第 i 局甲获胜"为事件 Ai ( i = 3,4,5) , "第 j 局甲获胜"为事件 B i ( j = 3,4,5) . (Ⅰ)设"再赛 2 局结束这次比赛"为事件 A,则

A = A3 A4 + B3 B4 ,由于各局比赛结果相互独立,故 P ( A) = P ( A3 A4 + B3 B4 ) = P ( A3 A4 ) + P ( B 3 B4 ) = P ( A3 ) P ( A4 ) + P ( B 3 ) P ( B4 )

= 0.6 × 0.6 + 0.4 × 0.4 = 0.52 .
(Ⅱ)记"甲获得这次比赛胜利"为事件 B,因前两局中,甲,乙各胜 1 局,故甲获得这 次比赛胜利当且仅当在后面的比赛中,甲先胜 2 局,从而

B = A3 A4 + B 3 A4 A5 + A3 B4 A5 ,由于各局比赛结果相互独立,故
P ( B ) = P ( A3 A4 + B 3 A4 A5 + A3 B4 A5 )

= P ( A3 A4 ) + P ( B 3 A4 A5 ) + P ( A3 B4 A5 ) = P ( A3 ) P ( A4 ) + P ( B 3 ) P ( A4 ) P ( A5 ) + P ( A3 ) P ( B4 ) P ( A5 ) = 0.6 × 0.6 + 0.4 × 0.6 × 0.6 + 0.6 × 0.4 × 0.6 = 0.648
(21) (本小题满分 12 分) 注意:在试题卷上作答无效) (注意: ......... 已知函数 f ( x) = x 4 3 x 2 + 6 . (Ⅰ)讨论 f ( x ) 的单调性;
w.w.w.k.s.5.u.c. o.m

(Ⅱ)设点 P 在曲线 y = f ( x) 上,若该曲线在点 P 处的切线 l 通过坐标原点,求 l 的方程 【解析】本小题考查导数的应用,函数的单调性,综合题. 解: (Ⅰ) f `( x ) = 4 x 6 x = 4 x ( x +
3

6 6 )( x ) 2 2

令 f `( x ) > 0 得

6 6 ; < x < 0或 x > 2 2 6 6 或0 < x < 2 2 6 6 6 6 ,0 ) 和 ( ,+∞ ) 为增函数; 在区间 ( ∞ , ) 和 ( 0, )为 2 2 2 2

令 f `( x ) < 0 得 x <

因此, f ( x ) 在区间 ( 减函数.

(Ⅱ)设点 P ( x 0 , f ( x 0 )) ,由 l 过原点知, l 的方程为 y = f `( x 0 ) x , 因此 f ( x 0 ) = f `( x 0 ) x ,即 x 0 3 x 0 + 6 x 0 (4 x 0 6 x 0 ) = 0 ,整理得
4 2 3 2 2 ( x 0 + 1)( x 0 2) = 0 ,解得 x 0 = 2 或 x 0 = 2 .

所以的方程为 y = 2 x 或 y =

2x

w.w.w.k.s.5. u.c. o. m

(22)(本小题满分 12 分) 注意:在试题卷上作答无效) (注意: ......... 如图,已知抛物线 E : y 2 = x 点. (Ⅰ)求 r 的取值范围 (Ⅱ)当四边形 ABCD 的面积最大时,求对角线 AC,BD 的交点 P 的坐标. 与圆 M : ( x 4) 2 + y 2 = r 2 ( r > 0) 相交于 A,B,C,D 四个

(Ⅰ)将抛物线 E : y 2 = x 代入圆 M : ( x 4) 2 + y 2 = r 2 ( r > 0) 的方程,消去 y 2 ,整理得 解:

x 2 7 x + 16 r 2 = 0 ....... ......(1)
抛物线 E : y 2 = x 与圆 M : ( x 4) 2 + y 2 = r 2 ( r > 0) 相交于 A , B , C , D 四个点的充 要条件是:方程(1)有两个不相等的正根

49 4(16 r 2 ) > 0 5 5 5 r < 或r > ∴ x1 + x 2 = 7 > 0 即 <r<4 2 2 .解这个方程组得 2 2 x1 x 2 = 16 r > 0 4 < r < 4
r ∈( 15 , 4) . 2

(II) 设四个交点的坐标分别为 A( x1 , x1 ) , B ( x1 , x1 ) , C ( x2 , x2 ) , D ( x2 , x2 ) . 则由(I)根据韦达定理有 x1 + x2 = 7, x1 x2 = 16 r , r ∈ (
2

15 , 4) 2

则S =

1 2 | x2 x1 | ( x1 + x2 ) =| x2 x1 | ( x1 + x2 ) 2

∴ S 2 = [( x1 + x2 ) 2 4 x1 x2 ]( x1 + x2 + 2 x1 x2 ) = (7 + 2 16 r 2 )(4r 2 15)
2 2 令 16 r = t ,则 S = (7 + 2t ) (7 2t ) 2

下面求 S 的最大值.

2

方法 1:由三次均值有:

S 2 = (7 + 2t ) 2 (7 2t ) =

1 (7 + 2t )(7 + 2t )(14 4t ) 2 1 7 + 2t + 7 + 2t + 14 4t 3 1 28 3 ≤ ( ) = ( ) 2 3 2 3
7 15 时取最大值.经检验此时 r ∈ ( , 4) 满足题意. 6 2

当且仅当 7 + 2t = 14 4t ,即 t =

法 2:设四个交点的坐标分别为 A( x1 , x1 ) , B ( x1 , x1 ) , C ( x2 , x2 ) , D ( x2 , x2 ) 则直线 AC,BD 的方程分别为

y x1 =

x 2 x1 x 2 x1

( x x1 ), y + x1 =

x 2 + x1 x 2 x1

( x x1 )

解得点 P 的坐标为 ( x 1 x 2 ,0) . 设t =

1 x1 x 2 ,由 t = 16 r 2 及(Ⅰ)得 t ∈ (0, ) 4

w.w.w.k.s .5.u. c.o. m

由于四边形 ABCD 为等腰梯形,因而其面积 S =
2 2

1 ( 2 x1 + 2 x 2 ) | x1 x 2 | 2

则 S = ( x 1 + 2 x 1 x 2 + x 2 )[( x 1 + x 2 ) 4 x 1 x 2 ] 将 x 1 + x 2 = 7 ,
2 并令 f ( t ) = S ,等

x1 x 2 = t 代入上式,

7 f ( t ) = (7 + 2t ) 2 (7 2t ) = 8t 3 28t 2 + 98t + 343(0 < t < ) , 2
∴ f `( t ) = 24t 2 56t + 98 = 2( 2t + 7 )( 6t 7 ) , 令 f `( t ) = 0 得 t =

7 7 ,或 t = (舍去) 6 2

当0 < t <

7 7 7 7 时, f `( t ) > 0 ;当 t = 时 f `( t ) = 0 ;当 < t < 时, f `( t ) < 0 6 6 6 2 7 时, f (t ) 有最大值,即四边形 ABCD 的面积最大,故所求的点 P 的坐标为 6
.

故当且仅当 t =

7 ( ,0 ) 6

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