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与圆有关的交汇问题

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与圆有关的交汇问题 【创新点拨】 1.高考考情:与圆有关的创新交汇问题是近几年高考命题的一个热点, 此类问题多以其他相关知识为依托,考查圆的方程以及直线与圆的位 置关系,考查分类讨论思想;或以圆为依托考查基本不等式求最值等. 2.命题形式:常见的有与集合问题相交汇、与线性规划相交汇、与不 等式相交汇、与向量相交汇等. 【新题快递】 1.(2015·淮安模拟)设m,n∈R,若直线(m+1)x+(n+1)y-2=0与圆(x1)2+(y-1)2=1相切,则m+n的取值范围是( A.[1 ? 3, 1 ? 3] B.( ??, 1 ? 3] ? [1 ? 3, ? ?) C.[2 ? 2 2, 2 ? 2 2] D.( ??, 2 ? 2 2] ? [2 ? 2 2, ? ?) ) 【解析】选D.圆心(1,1)到直线(m+1)x+(n+1)y-2=0的距离 为 m?n ? m ? 1? ? ? n ? 1? 2 2 ?1 , 1 2 m ? n ? ?, 4 所以m ? n ? 2 ? 2 2或m ? n ? 2 ? 2 2. 所以m ? n ? 1 ? mn ? 2.(2015·泰安模拟)M={(x,y)|y= 2a 2 ? x 2 ,a>0},N={(x,y)|(x1)2+(y- 3 )2=a2,a>0},则M∩N≠?时,a的最大值与最小值分别 为_________、__________. 【解析】因为集合M={(x,y)|y= 2a 2 ? x 2 ,a>0}, 所以集合M表示以O(0,0)为圆心,半径为r1= 2 a的上半圆.同理, 集合N表示以O′(1, 3 )为圆心,半径为r2=a的圆上的点. 这两个圆的半径随着a的变化而变化,但|OO′|=2.如图所示. 当两圆外切时,由 2 a+a=2,得a=2 2 -2; 当两圆内切时,由 2 a-a=2,得a=2 2 +2. 所以a的最大值为2 2 +2,最小值为2 2 -2 答案:2 2 +2 2 2 -2 ?2x ? y ? 2 ? 0, ? 3.(2015·东莞模拟)如果点P在平面区域 ? x ? 2y ? 1 ? 0, 上, ?x ? y ? 2 ? 0 ? 点Q在曲线x2+(y+2)2=1上,那么|PQ|的最小值为 . ?2x ? y ? 2 ? 0, 【解析】由点P在平面区域 ? ? x ? 2y ? 1 ? 0, 上,画出点P所在的平面 ?x ? y ? 2 ? 0 ? 区域.由点Q在圆x2+(y+2)2=1上,画出点Q所在的圆,如图所示. 由题意,得|PQ|的最小值为圆心(0,-2)到直线x-2y+1=0的距离减去半 径1. 又圆心(0,-2)到直线x-2y+1=0的距离为 | 0 ? 2 ? ? ?2 ? ? 1| 12 ? 22 ? 5, 此时垂 足(-1,0)在满足条件的平面区域内,故|PQ|的最小值为 5 -1. 答案: 5 -1 【备考指导】 1.准确转化:解决此类创新问题时,一定要读懂题目的本质含义,紧扣 题目所给条件,结合题目要求进行恰当转化,将问题转化为熟知的问题 解决. 2.方法选取:对于此类问题要特别注意圆的定义及其性质的应用,要根 据条件,合理选择代数方法或几何方法,对于涉及参数的问题,要注意 参数的变化对问题的影响,以便确定是否需要分类讨论.

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