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数列通项公式的常见求法


数列通项公式的常见求法
数列在高中数学中占有非常重要的地位, 每年高考都会出现有关数列的方面的试题, 一 般分为小题和大题两种题型, 而数列的通项公式的求法是常考的一个知识点, 一般常出现在 大题的第一小问中, 因此掌握好数列通项公式的求法不仅有利于我们掌握好数列知识, 更有 助于我们在高考中取得好的成绩。下面将高中数学中有关数列通项公式的常见求法进行总 结,希望能对同

学们有所帮助。 一、观察法求通项公式 给出数列的前几项(至少四项) ,求它的通项公式没有统一的方法或公式。通过观察分 析数列中项与项数的内在联系,直接写出通项公式,常用到数的知识与符号法 则。说明:一个数列的通项公式并不是唯一的。 (1)1,3,5,7……;

22 ? 1 32 ? 1 42 ? 1 52 ? 1 , , , ; 2 3 4 5 1 1 1 1 (3) ? , ,? , 。 3*4 4 *5 1* 2 2 *3
(2) 解析: (1) an =2 n ? 1 ; (2) an =

( ?1) n (n ? 1) 2 ? 1 ; (3) an = 。 n( n ? 1) n ?1

1、常用 99 ? 9 = 10 ? 1 ? ? ?
n

n个

如 9,99,999,9999,... 同学们练习:(1)1,11,111,1111,... (2)2,22,222,2222,... (3)4,44,444,4444,... (4)a,aa,aaa,aaaa,...( a ? N , a ? 9 ) ; 2、符号的调节 符号问题可通过 ? 1 如a,
?

? ? 或 ?? 1?
n

n ?1

调节

?aa ,

aaa,

; ?aaaa, ? ( a ? N ? , a ? 9 )

a a aa ? a = ( 99 ? 9 )= ?10 n ? 1? ? ? ? ? ? ? 9 9
n n

? a n = ?? 1?

n ?1

a ?10 n ? 1? 9

二.公式法 高中重点学了等差数列和等比数列, 当题中已知数列是等差数列或等比数列, 在求其通 项公式时我们就可以直接利用等差或等比数列的公式来求通项,只需求得首项及公差公比。 例 1、 (2011 辽宁理)已知等差数列{an}满足 a2=0,a6+a8=-10 (I)求数列{an}的通项公式;

1

解: (I)设等差数列 {an } 的公差为 d,由已知条件可得 ?

? a1 ? d ? 0, ? 2a1 ? 12d ? ?10,

解得 ?

? a1 ? 1, ? d ? ?1.

故数列 {an } 的通项公式为 an ? 2 ? n. 2、等比数列公式 例 2.(2011 重庆理)设 {an } 是公比为正数的等比数列, a1 ? 2 , a3 ? a2 ? 4 。 (Ⅰ)求 {an } 的通项公式 解:I)设 q 为等比数列 {an } 的公比,则由 a1 ? 2, a3 ? a2 ? 4得2q ? 2q ? 4 ,
2

即 q ? q ? 2 ? 0 ,解得 q ? 2或q ? ?1 (舍去) ,因此 q ? 2.
2

所以 {an } 的通项为 an ? 2 ? 2 3、通用公式

n ?1

? 2n (n ? N * ).

若已知数列的前 n 项和 S n 的表达式,求数列 ?a n ?的通项 a n 可用公式

?S n ???? n ? 1 an ? ? 求解。一般先求出 a1=S1,若计算出的 an 中当 n=1 适合时可以 ?S n ? S n ?1 ? n ? 2
合并为一个关系式,若不适合则分段表达通项公式。 例 3、已知数列 {an } 的前 n 项和 sn ? n ? 1 ,求 {an } 的通项公式。
2

解: a1 ? s1 ? 0 ,当 n ? 2 时

an ? sn ? sn ?1 ? (n 2 ? 1) ? [( n ? 1) 2 ? 1] ? 2n ? 1
由于 a1 不适合于此等式 。 ∴ an ? ?

?0 ?2 n ? 1

(n ? 1) (n ? 2)

说明:对于通项 a n 的结果,若 a1 与 a n ( n ? 2 )不能统一要写成分段函数形式,若 a1 与 a n ( n ? 2 )能统一要合并成一个通项公式。

a n 和 an-1 的关系时我们可以根 当题中告诉了数列任何前一项和后一项的递推关系即:
据具体情况采用下列方法 1、叠加法

2

对递推公式形如 a1 ? a , an ?1 ? a n ? f (n) 的数列(即 a n ?1 ? a n ? f (n) 满足一定规律 时,可以有 a n ? (a n ?a n ?1 ) ? (a n ?1 ? an ?2 ) ? ? ? (a 2 ? a1 ) ? a1 ) ,可用累加法求通项 公式。说明:当 f (n) 为常数时,数列即为等差数列。

例 1.数列 ?a n ?中, 解:由

,求数列 ?a n ? 的通项公式。 a1 ? 2 , a n ?1 ? a n ? 3n ( n ? N )
?

a n ?1 ? a n ? 3n an ? an?1 ? 3(n ? 1)



a n?1 ? a n?2 ? 3(n ? 2)
?

a3 ? a 2 ? 3 ? 2

a 2 ? a1 ? 3 ? 1
将以上各式相加得:

an ? 3?1 ? 2 ? ? ? (n ? 2) ? (n ? 1)? ? a1 ?
练 一 练 、( 2011 四 川 理 8 ) 数 列

3n(n ? 1) 3 3 ? 2 ? n2 ? n ? 2 2 2 2

? an ?


?b ? 的首项为 3 , n 为等差数列且
,则

bn ? an?1 ? an (n ? N *)
A.0 B.3

.若则

b3 ? ?2

b10 ? 12

a8 ?

C.8

D.11

2、累乘法
对递推公式形如 a1 ? a , a n ?1 ? f (n)a n 的数列(即

a n ?1 ? f (n) 满足一定规律时,可 an

以有 a n ?

a n a n ?1 a 2 ? ? ? a1 ),可用累乘法求通项公式。说明当 f (n) 为常数时,数列 a n ?1 a n ? 2 a1

即为等比数列。 例 6.已知数列 ?a n ?中, a1 ? 1 , a n ?1 ? 2 a n ,求数列 ?a n ?的通项公式。
n

解:由

a n ?1 ? 2n an an ? 2 n ?1 a n ?1



3

a a n ?1 a ? 2 n ? 2 ? 3 ? 2 2 , 2 ? 21 将以上各式相乘,得 a2 a1 a n?2
a n a n ?1 a3 a 2 ? ? ? ? 2 n ?1 ? 2 n ? 2 ? 2 2 ? 21 ? 2 a n ?1 a n ? 2 a 2 a1
n ( n ?1) 2

?

an ?2 a1

n ( n ?1) 2



an ? 2

n ( n ?1) 2

倒数法 一般地形如 an ?

an ?1 、 an ? an?1 ? an ?1 ? an 等形式的递推数列可以用倒数法将其 kan ?1 ? b

变形为我们熟悉的形式来求通项公式。 例 11.已知数列 ? a n? 满足: a1 ? 1, an ?

an ? 1 ,求 ? a n? 的通项公式。 3an ? 1 ? 1 1 3an ? 1 ? 1 1 解:原式两边取倒数得: ? ? 3? an an ? 1 an ? 1 1 设bn = , 则bn-bn-1=3,且b1=1 an 1 ??bn? 是b1= 为首项,公差d=2的等差数列 3
?b n ?1 ?( n ?1 ) ? 3 ? 3 n ?2
即 an ?

1 3n ? 2

4


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