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第七节 圆锥曲线定义应用


圆锥曲线定义应用
高三备课组

一、基本知识概要
1.知识精讲:
·涉及圆锥曲线上的点与两个焦点构成的三角形, 常用第一定义结合正余弦定理; ·涉及焦点、准线、圆锥曲线上的点,常用统一 的定义。 椭圆的定义:点集M={P| |PF1|+|PF2|=2a,2a> |F1F2|}; 双曲线的定义:点集M={P|︱|PF1|-|PF2

|︱=2a,

(2a ?| F1 F2 |) }的点的轨迹。

知识精讲:
抛物线的定义:到一个定点F的距离与到一条得直 线L的距离相等的点的轨迹. 统一定义:M={P|

PF d

? e ,}0<e<1为椭圆,e>1

为双曲线,e=1为抛物线 重点、难点:培养运用定义解题的意识

2.思维方式:等价转换思想,数形结合
特别注意:圆锥曲线各自定义的区别与联系

例题选讲
例1 、 已知两个定圆O1和O2,它们的半径分别 为1和2,且|O1O2|=4,动圆M与圆O1内切,又与 圆O2外切,建立适当的坐标系,求动圆心M的轨 迹方程,并说明轨迹是何种曲线。

[思维点拨]利用圆锥曲线定义求轨迹是一种常 用的方法

x2 y2 变式练习:F1、F2是椭圆 2 ? 2 ? 1(a>b>0) a b

的两焦点,P是椭圆上任一点, 从任一焦点引 为( A.圆 ) B.椭圆 C.双曲线

∠F1PF2的外角平分线的垂线,垂足为Q的轨迹

D.抛物线

x2 y2 例2:已知双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0,b> a b

0),P为双曲线上任一点,∠F1PF2=θ, 求
ΔF1PF2的面积.

[思维点拨]焦点三角形中,通常用定义和正余 弦定理

11 例3:已知A( ,3)为一定点,F为 2 x2 y2 ? ? 1 双曲线的右焦点,M在双曲线右支 9 27 1

上移动,当|AM|+ |MF|最小时,求M点
的坐标.
2

[思维点拨]距离和差最值问题,常利用三角形两边之 1 和差与第三边之间的关系. 数量关系用定义来进行 2 转换 x2 y2 变式:设P(x,y)是椭圆 a 2 ? b 2 ? 1(a>b>0)上一点, F1、F2为椭圆的两焦点,求|PF1|· 2|的最大值 |PF 和最小值。

例4.过抛物线y2=2px的焦点F任作一条直线m,交这 抛物线于P1、P2两点,求证:以P1P2为直径的圆和这抛 物线的准线相切.

分析:运用抛物线的定义和平面几何知识来证比较简 捷.
[思维点拨]以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相 切.类似有:以椭圆焦点弦为直径的圆与相对应的准 线相离;以双曲线焦点弦为直径的圆与相应的准线相 交.以上结论均可用第二定义证明之. 变式:求证:以双曲线的任意焦半径为直径的圆,与 以实轴为直径的圆相切.

例5、求过定点(1,2),以x轴为准线,离心率为 0.5的椭圆的下顶点的轨迹方程。

三、课堂小结
1.圆锥曲线的定义是根本,对于某些问题利用圆锥 曲线的定义来求解比较简捷; 2.涉及圆锥曲线上的点与两个焦点构成的三角形, 常用第一定义结合正余弦定理;涉及焦点、准线、 圆锥曲线上的点,常用统一的定义。

四、作业布置:优化训练。


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