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2014届高考数学(文)一轮复习课件(鲁闽皖专用): 直线的倾斜角与斜率、直线的方程(新人教A版)


第一节 直线的倾斜角与斜率、直线的方程

完全与教材同步,主干知识精心提炼。素质和能力源于基础, 基础知识是耕作“半亩方塘”的工具。视角从【考纲点击】中切 入,思维从【考点梳理】中拓展,智慧从【即时应用】中升华。 科学的训练式梳理峰回路转,别有洞天。去尽情畅游吧,它会带

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三年4考


高考指数:★★

1.理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握过两点的直线斜率的 计算公式; 2.能根据两条直线的斜率判断这两条直线平行或垂直; 3.掌握确定直线位置的几何要素; 4.掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式等),了

解斜截式与一次函数的关系.

1.直线的斜率、方程以及两直线的位置关系是高考的重点;
2.常与圆锥曲线综合命题,重点考查函数与方程思想和数形结 合思想; 3.多以选择题和填空题的形式出现,属于中低档题目.

1.直线的倾斜角与斜率 (1)直线的倾斜角 相交 ①一个前提:直线l与x轴______; x轴 一个基准:取_____作为基准; 两个方向:x轴正方向与直线l向上方向.

0° ②当直线l与x轴平行或重合时,规定:它的倾斜角为___.

(2)直线的斜率
tanθ ①定义:若直线的倾斜角θ 不是90°,则斜率k=_____;

②计算公式:若由A(x1,y1),B(x2,y2)确定的直线不垂直于x
y 2 ? y1 (x1 ? x 2 ) 轴,则k=_____________. x 2 ? x1

【即时应用】

(1)过点M(-2,m),N(m,4)的直线的斜率为1,则m的值为
_______;

(2)直线 3 x-y+1=0的倾斜角为_______.
【解析】(1)由斜率公式得: 4 ? m ? 1,解得m=1.
m?2

(2)∵ 3 x-y+1=0的斜率k= 3, 即倾斜角α的正切值tanα= 3, 又∵0≤α<π,∴α= . 答案:(1)1 (2)
? 3
? 3

2.两条直线的斜率与它们平行、垂直的关系

直线l1 、l2不重合,斜率 分别为k1,k2且都存在

l1∥ l2 l1⊥ l2

?
?

k1=k2 k1· 2=-1 k

【即时应用】 (1)已知直线l1过点A(-1,1)和B(-2,-1),直线l2过点C(1,0)和 D(0,a),若l1∥l2,则a=_____; (2)直线l的倾斜角为30°,若直线l1∥l,则直线l1的斜率 k1=______;若直线l2⊥l,则直线l2的斜率k2=_____.

【解析】(1)l1与l2的斜率分别为 k1 ? ?1 ? 1 ? 2,
a ?0 k2 ? ? ?a, 由l1∥l2可知:a=-2. 0 ?1 ?2 ? 1

(2)由直线斜率的定义知,直线l的斜率k=tan30°=
∵ l1∥l,∴ k1 ? k ? 3 ,
3

3 , 3

∵l⊥l2,∴k2·k=-1,∴ k 2 ? ?1 ? ? 3.
k

答案:(1)-2

(2) 3
3

? 3

3.直线方程的几种形式
名称
点斜式

条件
斜率k与点 (x1,y1) 斜率k与直线 在y轴上的截 距b

方程
y-y1=k(x-x1)

适用范围
不含直线x=x1

不含垂直于x y=kx+b 轴的直线

斜截式

两点(x1,y1) , 两点式 (x2,y2)

y? y x?x 1 ? 1 y ?y x ?x 2 1 2 1 (x ? x , y ? y ) 1 2 1 2

不含直线x=x1

(x1=x2)和直
线y=y1(y1=y2) 不含垂直于坐 标轴和过原点 的直线 平面直角坐标 系内的直线都 适用

截距式

直线在x轴、 y轴上的截距 分别为a、b

x y ? ?1 a b (a ? 0, b ? 0)

一般式

Ax+By+C=0 (A2+B2≠0)

【即时应用】
(1)思考:过A(x1,y1)、B(x2,y2)两点的直线方程能否写成 (x2-x1)(y-y1)=(y2-y1)(x-x1)? 提示:能写成(x2-x1)(y-y1)=(y2-y1)(x-x1).
y ? y1 x ? x1 ? , 当x1≠x2且y1≠y2时,直线方程为: y 2 ? y1 x 2 ? x1

可化为上式;

当x1≠x2,y1=y2时,直线方程为:y=y1也适合上式; 当y1≠y2,x1=x2时,直线方程为:x=x1也适合上式; 综上可知:过A(x1,y1)、B(x2,y2)两点的直线方程能写成 (x2-x1)(y-y1)=(y2-y1)(x-x1).

(2)已知直线l经过点P(-2,5),且斜率为 ? , 则直线l的方程为 _______________.

3 4

【解析】由直线的点斜式方程得,直线l的方程为:
y-5= ? 3(x+2),即3x+4y-14=0.
4

答案:3x+4y-14=0

(3)经过两点M(1,-2),N(-3,4)的直线方程为_______________. 【解析】经过两点M(1,-2),N(-3,4)的直线方程为
y ? 2 x ?1 ? ,即3x+2y+1=0. 4 ? 2 ?3 ? 1

答案:3x+2y+1=0

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直线的倾斜角与斜率

【方法点睛】
1.斜率的求法

(1)定义法:若已知直线的倾斜角α 或α 的某种三角函数值,一
般根据k=tanα 求斜率; (2)公式法:若已知直线上两点A(x1,y1),B(x2,y2),一般根据 斜率公式 k ?
y 2 ? y1 (x1≠x2)求斜率. x 2 ? x1

2.直线的斜率k与倾斜角α 之间的关系
α
k



0°<α <90° k>0

90° 不存在

90°<α <180° k < 0

0

【提醒】对于直线的倾斜角α,斜率k=tanα(α≠90°),若 已知其一的范围可求另一个的范围.

【例1】(1)(2011·福州模拟)直线x+(a2+1)y+1=0的倾斜角的

取值范围是(
(A)[0,

)
(B)[
3? ,π ) 4 ? ? (D)[ , )∪[ 3? ,π ) 4 2 4

? ] 4 ? (C)[0, ? ]∪( , π ) 2 4

(2)已知两点A(m,n),B(n,m)(m≠n),则直线AB的倾斜角为 _________; (3)已知点A(2,-3),B(-3,-2),直线l过点P(1,1)且与线段AB 有交点,则直线l的斜率k的取值范围为_______.

【解题指南】(1)直线倾斜角与直线的斜率有关,而已知直线 的方程,因此可先求直线的斜率,由斜率的取值范围求直线倾 斜角的取值范围;(2)先由公式法求出斜率,再求倾斜角; (3)直线l的斜率的取值范围,可由直线PA、PB的斜率确定;也 可先写出直线l的方程,再由点A、B在直线l的异侧(或A、B之一 在l上)求解.

【规范解答】(1)选B.因为直线x+(a2+1)y+1=0的斜率
k?? 1 且-1≤ 1 <0,所以直线的倾斜角α的取值范围 ? 2 , 2 a ?1 a ?1



3? ≤α<π. 4

(2)因为A(m,n),B(n,m)(m≠n),所以直线AB的斜率
3? m?n 所以直线的倾斜角为 ; k? ? ?1 , 4 n?m 答案:3 ? 4

(3)方法一:因为A(2,-3)、B(-3,-2)、P(1,1),

所以 k PA ? ?3 ? 1 ? ?4;k PB ? ?2 ? 1 ? 3 ,
2 ?1 ?3 ? 1 4

如图所示:
2

y

P
x

1
-3 -2 -1

o
-1 -2

1

2

3

B

-3

A

3 因此,直线l斜率k的取值范围为k≤-4或k≥ . 4

方法二:依题设知,直线l的方程为:y-1=k(x-1),即

kx-y+1-k=0,
若直线l与线段AB有交点,则A、B两点在直线l的异侧(或A、B 之一在l上) 故(2k+4-k)·(-3k+3-k)≤0, 即(k+4)(4k-3)≥0,解得:k≤-4或k≥ . 答案:k≤-4或k≥
3 4 3 4

【反思·感悟】1.直线的斜率与倾斜角之间的关系是重要的解 题线索,如本例第(1)题由直线的方程,可求出直线的斜率, 由斜率的取值范围可求出直线倾斜角的取值范围;

2.已知倾斜角的取值范围,求斜率的取值范围,实质上是求
k=tanα的值域问题;已知斜率k的取值范围求倾斜角的取值范

围,实质上是在[0, )∪( , π)上解关于正切函数的三角不
? ? 等式问题.由于函数k=tanα在[0, )∪( , π)上不单调,故 2 2

? 2

? 2

一般借助函数图象来解决此类问题.

直线平行、垂直关系的判断及应用 【方法点睛】两直线平行、垂直的判断方法 (1)已知两直线的斜率存在

①两直线平行?两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不等;
②两直线垂直?两直线的斜率之积等于-1. (2)已知两直线的一般方程 可利用直线方程求出斜率,转化为第一种方法,或利用以下方 法求解:

直线方程
l1与l2 垂直

l1: 1x ? B1 y ? C1 ? 0(A12 ? B12 ? 0) A
l2: 2 x ? B2 y ? C2 ? 0(A 2 2 ? B2 2 ? 0) A

的充要条件
l1与l2 平行 的充分条件 l 1与l2 相交 的充分条件 l1与l2 重合 的充分条件

A1A2+B1B2=0
A1 B1 C1 ? ? (A 2 B2 C2 ? 0) A 2 B2 C 2 A1 B1 ? (A 2 B2 ? 0) A 2 B2 A1 B1 C1 ? ? (A 2 B2 C 2 ? 0) A 2 B2 C 2

【例2】(1)(2012·武汉模拟)“a=1”是“直线x+y=0和直线xay=0相互垂直”的( (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 (2)已知过点A(-2,m),B(m,4)的直线与直线2x+y-1=0平行,则 m的值为_______; )

(3)已知四边形ABCD的四个顶点的坐标分别是A(0,1),B(1,0),

C(3,2),D(2,3),试判断该四边形的形状.
【解题指南】(1)本题关键是看由a=1是否能得出两直线垂直,

由两直线垂直是否能得出a=1;(2)可根据两直线平行,斜率相
等,得出一个等式,解方程即可求值;(3)分别求出四条边的 斜率及其边长,即可判断四边形的形状.

【规范解答】(1)选C.当a=1时,直线x-ay=0可化为x-y=0, 此时x+y=0和直线x-ay=0相互垂直; 当直线x+y=0和直线x-ay=0相互垂直时,1×1+1×(-a)=0, 解得:a=1, 因此,“a=1”是“直线x+y=0和直线x-ay=0相互垂直”的充 要条件.

(2)因为直线2x+y-1=0的斜率k=-2, 又因为过A(-2,m),B(m,4)的直线与直线2x+y-1=0平行, 所以
4?m 解得m=-8. ? ?2, m?2

答案:-8

(3)因为四边形的顶点坐标为A(0,1),B(1,0),C(3,2),D(2,3), 所以 k AB ? 0 ? 1 ? ?1,
k BC ? 2?0 3? 2 3 ?1 ? 1 k CD ? , ? ?1 k AD ? , ? 1. 3 ?1 2?3 2?0 1? 0

∴AB∥CD,BC∥AD,且AB⊥BC,AB⊥AD. 又因为 AB ? (0 ? 1) 2 ? (1 ? 0) 2 ? 2, 即|AB|≠|AD|, AD ? (0 ? 2) 2 ? (1 ? 3) 2 ? 2 2, 所以,四边形ABCD为长方形.

【反思·感悟】通过本例的解析过程可知,处理两直线的位置 关系,在两直线斜率都存在的前提下,利用两直线的斜率和在

y轴上的截距去处理;若直线的斜率不存在,则可考虑数形结
合.

直线方程的综合应用 【方法点睛】直线方程综合问题的类型及解法 (1)与函数相结合的问题:解决这类问题,一般是利用直线方 程中的x、y的关系,将问题转化为关于x(或y)的某函数,借助

函数的性质解决;
(2)与方程、不等式相结合的问题:一般是利用方程、不等式

的有关知识(如方程解的个数、根的存在问题,不等式的性质、
基本不等式等)来解决.

【例3】已知直线l过点P(3,2),且

与x轴、y轴的正半轴分别交于A、
B两点,如图所示,求△ABO的面积 的最小值及此时直线l的方程. 【解题指南】先设出AB所在的直线方程,再求A、B两点的坐标, 写出表示△ABO的面积的表达式,最后利用相关的数学知识求 出最值.

【规范解答】方法一:由题可设A(a,0),B(0,b)(a>0,b>0),
y ? 1, b 3 2 ∵l过点P(3,2),∴ ? ? 1, a b 2a 且a>3,b>2. b? a ?3

则直线l的方程为 ?

x a

2 从而 S△ABO ? 1 a ?b ? 1 a ? 2a ? a .

2

2

a ?3

a ?3

故有S

△ABO

(a ? 3) 2 ? 6(a ? 3) ? 9 ? a ?3

? (a ? 3) ?

9 9 ? 6 ? 2 (a ? 3)? ? 6 ? 12, a ?3 a ?3

当且仅当a ? 3 ? 9 , 即a=6时,(S△ABO)min=12,此时 b ? 2 ? 6 ? 4,
x y ? ? 1, 即2x+3y-12=0. 6 4 方法二:由题可设直线方程为 x ? y ? 1(a>0,b>0), a b 代入P(3,2),得 3 ? 2 ? 1 ? 2 6 , a b ab 得ab≥24,从而S△ABO= 1 ab≥12, 2 3 2 当且仅当 ? 时,等号成立,S△ABO取最小值12, a b 此时 k ? ? b ? ? 2 , a 3 6?3 a ?3

∴此时直线l的方程为

∴此时直线l的方程为2x+3y-12=0.

方法三:依题意知,直线l的斜率存在. 设直线l的方程为y-2=k(x-3)(k<0), 则有A( 3 ? 2 , 0),B(0,2-3k),
k

∴S△ABO ? 1 ? 2 ? 3k ? (3 ? 2 )
2 k
1 4 ? [12 ? ? ?9k ? ? ] 2 (?k)

1 4 1 ? [12 ? 2 (?9k)? ] ? ?12 ? 12 ? ? 12, 2 (?k) 2 2 当且仅当 ?9k ? 4 , 即k= ? 时,等号成立,S△ABO取最小值12. 3 ?k

此时,直线l的方程为2x+3y-12=0.

方法四:如图所示,过P分别作x轴, y轴的垂线PM,PN,垂足分别为M,N. 设θ=∠PAM=∠BPN, 显然θ∈(0, ), 则S△ABO=S△PBN+S四边形NPMO+S△PMA
1 1 1 ? ? 3 ? 3 ? tan? ? 6 ? ? 2 ? 2 ? 2 2 tan? 9 2 9 2 ? 6 ? tan? ? ? 6 ? 2 tan?? ? 12, 2 tan? 2 tan?

? 2

9 2 , 2 tan? 即tanθ= 2 时,S△ABO取最小值12, 3 2 此时直线l的斜率为 ? , 其方程为2x+3y-12=0. 3

当且仅当 tan? ?

【反思·感悟】1.此题是直线方程的综合应用,解题时,可灵 活运用直线方程的各种形式,以便简化运算. 2.以直线为载体的面积、距离的最值问题,一般要结合函数、 不等式的知识或利用对称性解决.

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【创新探究】与直线方程有关的创新命题 【典例】(2011·安徽高考)在平面直角坐标系中,如果x与y都 是整数,就称点(x,y)为整点,下列命题中正确的是 _____________(写出所有正确命题的编号). ①存在这样的直线,既不与坐标轴平行又不经过任何整点 ②如果k与b都是无理数,则直线y=kx+b不经过任何整点

③直线l经过无穷多个整点,当且仅当l经过两个不同的整点

④直线y=kx+b经过无穷多个整点的充分必要条件是:k与b都是 有理数

⑤存在恰经过一个整点的直线
【解题指南】存在性问题,只需举出一种成立情况即可,恒成

立问题应根据推理论证后才能成立;注意数形结合,特例的取
得与一般性的检验应根据命题的特点选择合适的情形.

【规范解答】①正确.例如 y ? 3x ? 2, 当x是整数时,y是无 理数,(x,y)不是整点;②不正确,如y= 2x ? 2 过整点(1,0); ③设y=kx(k≠0)是过原点的直线,若此直线过两个整点 (x1,y1),(x2,y2),则有y1=kx1,y2=kx2,两式相减得y1-y2

=k(x1-x2),则点(x1-x2,y1-y2)也在直线y=kx上,通过这
种方法可以得到直线l经过无穷多个整点,通过上下平移

y=kx知对于y=kx+b也成立,所以③正确;④不正确,如
1 1 y ? x ? , 当x为整数时,y不是整数,此直线不经过无穷多个 3 2

整点;⑤正确,如直线y= 3x, 只经过整点(0,0). 答案:①③⑤

【阅卷人点拨】通过对本题的深入研究,我们可以得到以下创新 点拨和备考建议:

本题有三处创新点:
(1)本题为新定义问题,题目的结构形式、设问方式都 创 有创新;

新 (2)考查内容的创新,在考查直线的斜率、倾斜角、充
点 要条件等知识的基础上,还考查了学生的发散思维,思 拨 维方向与习惯思维不同; (3)考查方式的创新,对直线方程的考查,由常规方式 转换为以整点为载体考查直线方程的确定方式.

解决与直线方程有关的创新问题时,要注意以下几点: 备 (1)充分理解直线的倾斜角、斜率的意义; 考 (2)掌握确定直线的两个条件; 建 (3)注意数形结合的运用,在平时的学习和解题中,多 议 思考一些题目的几何意义; (4)注意逆向思维、发散思维的训练.

1.(2012·福州模拟)已知直线l1的倾斜角为

3? 直线l2经过点 , 4

A(3,2),B(a,-1),且l1与l2垂直,则a等于(
(A)-4 (B)-2

)

(C)0

(D)2

3? 【解析】选C.依题意知:直线l1的斜率 k1 ? tan ? ?1, 又因为直 4 2 ?1 2 ?1 k2 ? ?1 解 , 线l1与直线l2垂直,直线l2的斜率 k 2 ? 所以 , 3?a 3?a

得a=0.

2.(2012·聊城模拟)直线ax+my-2a=0(m≠0)过点(1,1),则该直 线的倾斜角为_______. 【解析】∵点(1,1)在直线ax+my-2a=0上, ∴a+m-2a=0,即m=a,又直线的斜率 k ? ? a ? ?1, ∴该直线的倾斜角为 答案:3?
4 m

3? . 4

3.(2012·佛山模拟)若三点A(1,1),B(-1,0)及C(2,k)在同一直

线上,则k值等于________.
【解析】∵A(1,1),B(-1,0),C(2,k),
? k AB ? 1? 0 1 1? k ? , k AC ? ? k ? 1, 1 ? (?1) 2 1? 2

又∵A、B、C三点在一条直线上,∴ 1 ? k ? 1, k ? 3 .
2 2

3 答案: 2

4.(2011·浙江高考)若直线x-2y+5=0与直线2x+my-6=0互相垂 直,则实数m=________. 【解析】由题意可得1×2-2m=0,解得m=1. 答案:1


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