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2014-2015学年 高中数学 人教A版必修五 第三章 3.3.1二元一次不等式(组)与平面区域

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3.3.1

3.3.1
【学习目标】

二元一次不等式(组)与平面区域

1.了解二元一次不等式表示的平面区域.
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2.会画出二元一次不等式(组)表示的平面区域. 【学法指导】 1.要善于从特例入手,探究二元

一次不等式与对应平面区 域的关系.归纳总结出一般结论: “同侧同号,同号同 侧,异侧异号,异号异侧”. 2.准确、规范、熟练地画出二元一次不等式(组)所表示的平 面区域是学好本单元的关键所在.熟练掌握 “直线定边 界,特殊点定区域”的要领.

填一填·知识要点、记下疑难点

3.3.1

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1.二元一次不等式(组)的概念 含有 两个 未知数,并且未知数的次数是 1 的不等式叫做 二元一次不等式. 由几个二元一次不等式组成的不等式组称为 二元一次不 等式组 . _______ 2.二元一次不等式表示的平面区域 在平面直角坐标系中,二元一次不等式 Ax+By+C>0 表 示直线 Ax+By+C=0 某一侧所有点组成的平面区域, 把直线画成 虚线 ,以表示区域不包括边界. 不等式 Ax+By+C≥0 表示的平面区域包括边界,把边 界画成 实线 .

填一填·知识要点、记下疑难点
3.二元一次不等式(组)表示平面区域的确定

3.3.1

(1)直线 Ax+By+C=0 同一侧的所有点的坐标(x,y)代入 Ax+By+C,所得的符号都 相同 . (2)在直线 Ax+By+C=0 的同一侧取某个特殊点(x0, y0),
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由 Ax0+By0+C 的符号就可以断定 Ax+By+C>0 表示 的是直线 Ax+By+C=0 哪一侧的平面区域. 4.在平面直角坐标系中,二元一次方程 x-y-6=0 表示一 条直线,平面内的所有点被直线 x-y-6=0 分成三类: 直线 x-y-6=0 上的点; 直线 x-y-6=0 左上方区域内 的点,这一区域用二元一次不等式表示为 x-y-6<0 ;直 线 x-y-6=0 右下方区域内的点,这一区域用二元一次 不等式表示为 x-y-6>0 .

研一研·问题探究、课堂更高效

3.3.1

探究点一
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二元一次不等式表示的平面区域

问题 在平面直角坐标系中,画出直线 x-y+2=0,并标出 以下九点:O(0,0),A(0,2),B(-2,0),C(-1,1),D(1,0), E(0,-1),F(-3,0),G(-2,2),H(0,3).

演示数值变化

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通过图象容易得出以下结论:

3.3.1

(1)点 A(0,2),B(-2,0),C(-1,1)的坐标满足方程 x-y+2 ____ =0 ,它们在直线 x-y+2=0 上; (2)点 O(0,0),D(1,0),E(0,-1)的坐标满足不等式 x-y
本 (3)点 F(-3,0),G(-2,2),H(0,3)的坐标满足不等式 x-y 讲 栏 ______ +2<0 ,它们在直线 x-y+2=0 的 左上方 . 目 开 关 探究 一般地,二元一次不等式 Ax+By+C>0 与 Ax+By+

______ + 2>0 ,它们在直线 x-y+2=0 的 右下方 ;

C<0 分别表示直线 Ax+By+C=0 (A2+B2≠0)两侧的平 面区域.例如,不等式 x+y+2>0 表示直线 x+y+2=0 右上方的平面区域; x+y+2<0 表示直线 x+y+2=0 左 下方的平面区域.

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探究点二 问题 二元一次不等式(组)表示平面区域的确定

3.3.1

在平面直角坐标系中,画出直线 Ax+By+C=0 以后,

需要判断出不等式 Ax+By+C>0 与 Ax+By+C<0 分别表 示直线 Ax+By+C=0 的哪一侧. 根据直线 Ax+By+C=0 同一侧的点的坐标代入 Ax+By+
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C,所得实数的符号 相同 ;异侧的点的坐标代入 Ax+By +C,所得实数的符号 相反.因此,常按下面步骤进行判 断:第一步:从直线 Ax+By+C=0 的某一侧(一定不在直 线上)选取一特殊点(x0, y0) (当 C≠0 时, 常把 原点(0,0)选 作此特殊点);第二步:计算 Ax0+By0+C 的值,得出 Ax0 +By0+C 的符号;第三步:下结论:若 Ax0+By0+C>0, 则不等式 Ax+By+C>0 表示 含点(x0,y0)的一侧;否则, 不等式 Ax+By+C>0 表示 不含点(x0,y0) 的一侧.

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3.3.1

探究
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根据上面提供的方法,判断下列二元一次不等式所表

示的平面区域. ①不等式 x-2>0 表示直线 x=2 右 侧的平面区域; ②不等式 y+1≤0 表示直线 y=-1 及其下方的平面区域; ③不等式 2x+3y-6<0 表示直线 2x+3y-6=0左下 方的 平面区域; ④不等式 7x-8y+56<0 表示直线 7x-8y+56=0 左上 方 的平面区域.

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【典型例题】 ?x-y+5≥0, ? 例 1 画出不等式(组) ?x+y≥0, ?x≤3. ?
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3.3.1

表示的平面区域.

先画出直线 x-y+5=0(画成实线),如 图,取原点 O(0,0),代入 x-y+5,因为 0-0+5=5>0,所以原点在 x-y+5>0 表 示的平面区域内,即 x-y+5≥0 表示直线 x-y+5=0 上及其右下方的点的集合, 同理可得,x+y≥0 表示直线 x+y=0 上及 其右上方的点的集合, x≤3 表示直线 x=3 上及其左方的点的 集合.

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3.3.1

小结
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不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面

点集的交集,因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部 分,但要注意是否包含边界.

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3.3.1

? ?x<3, ?2y≥x, 跟踪训练 1 画出不等式组? 表示的平面区域. ?3x+2y≥6, ? ?3y<x+9
解 不等式 x<3 表示直线 x=3 左侧点的集合;
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不等式 2y≥x 即 x-2y≤0 表示直线 x-2y=0 上及左上方点的 集合; 不等式 3x+2y≥6,即 3x+2y-6≥0 表示直线 3x+2y-6=0 上及右上方点的集合; 不等式 3y<x+9,即 x-3y+9>0 表示直线 x-3y+9=0 右下方 点的集合. 综上可得,不等式组表示的平面区域 是如图所示的阴影部分.

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3.3.1

例 2 在△ABC 中, A(3, -1)、 B(-1,1)、 C(1,3), 写出△ABC 区域(包括边界)所表示的二元一次不等式组.
解 如图所示,
可求得直线 AB、BC、CA 的方程分别为
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x+2y-1=0,x-y+2=0,2x+y-5=0. 由于△ABC 区域在直线 AB 右上方, ∴x+2y-1≥0; 在直线 BC 右下方,∴x-y+2≥0; 在直线 AC 左下方,∴2x+y-5≤0.
?x+2y-1≥0, ? ∴△ABC 区域可表示为?x-y+2≥0, ?2x+y-5≤0. ?

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3.3.1

小结
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在已知平面区域前提下,用不等式(组)表示已知平面

区域, 可在各条直线外任取一点, 将其坐标代入 Ax+By+C, 判断其正负,确定每一个不等式.

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跟踪训练 2 如图所示,表示阴影部分 的二元一次不等式组是 ?y≥-2 ? A.?3x-2y+6>0 ? ?x<0 ?y>-2 ? C.?3x-2y+6>0 ?x≤0 ?
解析

3.3.1

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( C ) ?y≥-2 ? B.?3x-2y+6≥0 ?x≤0 ? ?y>-2 ? D.?3x-2y+6<0 ?x<0 ?

可结合图形,根据确定二元一次不等式组表示的平面区

域的方法逆着进行.由图知所给区域的三个边界中,有两个是 虚的,所以 C 正确.

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?x-y+6≥0, ? 例 3 画出不等式组?x+y≥0, ?x≤3 ? 求平面区域的面积.
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3.3.1

所表示的平面区域,并

解 先画直线 x-y+6=0(画成实线), 不等式 x-y+6≥0 表 示直线 x-y+6=0 上及右下方的点的集合.画直线 x+y= 0(画成实线),不等式 x+y≥0 表示直线 x+y=0 上及右上方 的点的集合. 画直线 x=3(画成实线), 不等式 x≤3 表示直线 x=3 上及左方的点的集合.
?x-y+6≥0, ? 所以,不等式组?x+y≥0, ?x≤3 ?

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所表示的平面区域为如图所示阴影部分, 因此其区域面积也就是△ABC 的面积.
显然,△ABC 是等腰直角三角形,∠A =90° ,AB=AC,B 点的坐标为(3,-3).
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3.3.1

由点到直线的距离公式得 |1×3+?-1?×?-3?+6| 12 |AB|= = , 2 2

?x-y+6≥0, ? 1 12 12 ∴S△ABC=2× × =36. 故不等式组?x+y≥0, 2 2 ?x≤3 ?

所表示的平面区域的面积等于 36.

小结 解本题时注意到△ABC 为等腰直角三角形, 点 B 到直线 AC 的距离即为△ABC 的腰长|AB|, 由点到直线的距离公式求得 |AB|,面积便可求出.

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跟踪训练 3 ?x+2y-1≥0, ? 画出不等式组?2x+y-5≤0, ?y≤x+2 ?

3.3.1

所表示的平面

区域并求其面积.

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如图所示,其中的阴影部分便是

所表示的平面区域.
? ?x-y+2=0, 由? ? ?2x+y-5=0,

得 A(1,3).

同理得 B(-1,1),C(3,-1). ∴|AC|= 22+42=2 5, |-2+1-5| 6 而点 B 到直线 2x+y-5=0 的距离为 d= =5 5. 5 1 1 6 5 ∴S△ABC= |AC|· d= ×2 5× =6. 2 2 5

练一练·当堂检测、目标达成落实处

3.3.1

1.已知点(-1,2)和点(3,-3)在直线 3x+y-a=0 的两侧, 则 a 的取值范围是
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( A )

A.(-1,6) B.(-6,1) C.(-∞,-1)∪(6,+∞) D.(-∞,-6)∪(1,+∞)
解析 由题意知,(-3+2-a)(9-3-a)<0,
即(a+1)(a-6)<0,∴-1<a<6.

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? ?x≥0, ?y≥0, 2.直线 2x+y-10=0 与不等式组? ?x-y≥-2, ? ?4x+3y≤20
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3.3.1

表示的平

面区域的公共点有 A.0 个
解析

( B ) C.2 个 D. 无数个

B. 1 个

画出可行域如图阴影部分所示.

∵直线过(5,0)点,故只有 1 个公共点 (5,0).

练一练·当堂检测、目标达成落实处
?x+y≤1, ? 3.画出二元一次不等式组?x≥0, ?y≥0 ?
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3.3.1

表示的平面区域,则

1 这个平面区域的面积为________ . 2

解析 平面区域如图所示.

练一练·当堂检测、目标达成落实处
4.根据下列平面区域,写出它们所对应的二元一次不等 式(组).

3.3.1

(1)
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? ?-1≤x≤1 ? 平面区域对应的不等式(组):? ?-1≤y≤1



(2)

平面区域对应的不等式(组): x+y≤1 ;

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3.3.1

(3)
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?x-y≥0 ? ?x+y>0 ?x≤1 平面区域对应的不等式(组): ? .

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3.3.1

1.一般地,二元一次不等式 Ax+By+C>0 或 Ax+By+C<0 在平面直角坐标系内表示直线 Ax+By+C=0 某一侧的
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所有点组成的平面区域. 2.在画二元一次不等式表示的平面区域时,应用“直线定边 界、特殊点定区域”的方法来画区域.取点时,若直线不 过原点,一般用“原点定区域”;若直线过原点,则取点 (1,0)即可.总之,尽量减少运算量. 3.画平面区域时,注意边界线的虚实问题.


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