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内蒙古包头一中2013届高三下学期第二次模拟考试数学(理)试题


2012~2013 学年度包头一中第二次模拟考试 高三年级数学(理科)试卷
命题人 : 朱巴特尔 审题人:高三数学备课组

第Ⅰ卷
一.选择题: (本题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在四个选项中,只有一 项是 符合要求的)
1.如图所示的韦恩图中, A 、 B 是非空集合,定义 A * B 表示阴影部分集合.若<

br />
x, y ? R ,A ? ?x y ? 2 x ? x 2
A. (2, ??)

? ,B ? ? y

y ? 3x , x ? 0

则 ( ? , A *B=



B. ?0,1? ? (2, ??)

C. ?0,1? ? (2, ??)

D. ?0,1? ?[2, ??)

2. 给出以下结论: (1)命题“存在 x 0 ? R, 2 (2)复数 z ?
x0 x “不存在 x 0 ? R, 2 0 ? 0 ; ? 0 ”的否定是:

1 在复平面内对应的点在第二象限 1? i

(3) l 为直线, ? , ? 为两个不同平面,若 l ? ? , ? ? ? ,则 l // ? (4)已知某次高三模拟的数学考试成绩 ? ~ N 90, ?

?

2

?(? ? 0) ,统计结果
) D.1 ) D.3

显示 p ?70 ? ? ? 110 ? ? 0.6 ,则 p ?? ? 70 ? ? 0.2 .其中结论正确的个数为( A.4 3. 若 f ? x ? ? ? A.0
2

B.3

C.2

2 ? x 3 ? sin x, ? 1 ? x ? 1 ,则 ? f ? x ?dx ? ( ?1 1? x ? 2 ?2,

B.1

C.2

2 4. 对于使 ? x ? 2 x ? M 成立的所有常数 M 中,我们把 M 的最小值 1 叫做 ? x ? 2 x 的上

确界, 若 a、b ? R ,且 a ? b ? 1 ,则 ?
?

1 2 ? 的上确界为( 2a b
C.



A.

9 2

B. ?

9 2

1 4

D.-4

5.已知已知点(2,3)在双曲线 C:

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 上,C 的焦距为 4, a2 b 2

则它的离心率为( A.2 6.若(x+ A.10

) B.

3

C. 2 2

D. 2 3 )

1 n ) 展开式的二项式系数之和为 64,则展开式的常数项为( x
B.20 C.30 D.120

?x ? 0 x ? 2y ? 3 ? 7.设 x , y 满足约束条件 ? y ? x ,则 的取值范围是( x ?1 ? 4 x ? 3 y ? 12 ?
A. ?1,5? B. ? 2,6? C. ?3,10? D. ?3,11?



8. 设曲线 y ? x 2 ? 1 在其上任一点 ( x, y ) 处的切线的斜率为 g ( x ) ,则函数 y ? g ( x)cos x 的 部分图象可以为 ( y ) y y y

O

x

O

x

O

x

O

x

A.

B.

C.

D.

9.某校开设 A 类选修课 3 门,B 类选择课 4 门,一位同学从中共选 3 门.若要求两类课程中 各至少 选一门,则不同的选法共有( A. 48 种 B. 42 种 ) C . 35 种 D. 30 种

2 2 10. 已知 F1、F2分别是椭圆 x 2 ? y2 ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点, A 是椭圆上位于第一象限内 a b

的一点,点 B 也在椭圆 上,且满足 OA ? OB ? 0 ( O 为坐标原点) AF2 ? F1 F2 ? 0 , , 若椭圆的离心率等于 A. y ? 2 x
2

2 , 则直线 AB 的方程是 ( 2
B. y ? ? 2 x
2

) D. y ? 3 x
2

C. y ? ? 3 x
2

??? ? ???? 3? 11. 在平面直角坐标系中, O(0,0), P(6,8) ,将向量 OP 按逆时针旋转 后,得向量 OQ 4

则点 Q 的坐标是( A. (?4 6, ?2)

) B. (?4 6, 2) C. (?7 2, ? 2)
x

D. (?7 2, 2)

12.设集合 A ? [0,1), B ? [1,2] ,函数 f (x) ? ?

2 , ( x ? A), x0 ? A, 且 f [ f ( x0 )]? A, 4 ? 2 x, ( x ? B),

则 x0 的取值范围是 ( A.(

)

2 ,1 ) 3

B.[0,

3 ] 4

C.( log 2

3 ,1 ) 2

D.( log3 2,1 )

第Ⅱ卷(非选择题 90 分)
二.填空题(本题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分. 把每小题的答案填在答题 纸的 相应位置)
13.设点 A(2, ?3) , B(?3, ?2) ,直线 l 过点 P(1,1) 且与线段 AB 相交,则 l 的斜率 k 的取值范围是 .

14.经调查某地若干户家庭的年收入 x (万元)和年饮食支出 y (万元)具有线性相关关系, 并得

? 到 y 关于 x 的线性回归直线方程: y =0.254 x +0.321,

由回归直线方程可知,家庭年收入每增 加 l 万元.年饮食支出平均增 加 __________ 万元. 15. 如图,在等腰梯形 ABCD 中,AB=2DC=2,∠DAB=60°, E 为 AB 的中点,将△ADE 与△BEC 分别沿 ED、EC 向上 折起,使 A、B 重合于点 P,则 P-DCE 三棱锥的外接球的 体积为________.

16. 已 知 等 差 数 列 {an } 的 首 项 a1 及 公 差 d 都 是 整 数 , 前 n 项 和 为 S n , 若

a1 ? 1, a4 ? 3, S3 ? 9 ,
设 bn ? 2n an , 则b1 ? b2 ? ? ? bn 的结果为 。

三、解答题(共 6 个题, 共 70 分,把每题的解答过程填在答卷纸的相应位置)
17. ( 本 题 满 分 12 分 ) 已 知

?

为 锐 角 , 且 tan? ?

2 ?1 , 函 数

f ( x) ? 2 x tan 2? ? sin( 2? ?

?
4

) ,数列{ an }的首项 a1 ? 1 , an?1 ? f (an ) .

(Ⅰ)求函数 f (x) 的表达式; (Ⅱ)求数列 {an } 的前 n 项和 S n .

18.(本题满分 12 分)今年雷锋日,某中学从高中三个年级选派 4 名教师和 20 名学生去当 雷锋 志愿者,学生的名额分配如下: 高一年级 10 人 高二年级 6人 高三年级 4人

(I)若从 20 名学生中选出 3 人参加文明交通宣传,求他们中恰好有 1 人是高一年级学生 的概率; (II)若将 4 名教师安排到三个年级(假设每名教师加入各年级是等可能的,且各位教师 的选择 是相互独立的) ,记安排到高一年级的教师人数为 X ,求随机变量 X 的分布列和数学期望.

19. (本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,PA⊥底面 ABCD,且 PA=AB,M、N 分别是 PA、BC 的中 点. (I)求证:MN∥平面 PCD; (II)在棱 PC 上是否存在点 E,使得 AE⊥平面 PBD?若存在,求出 AE 与 平面 PBC 所成角的正弦值,若不存在,请说明理由.

1 20. 本小题满分 12 分) ( 如图, 在直角坐标系 xOy 中, P?1,2?到抛物线 C:2=2px(p>0) 点 ? y ? 5 的准线 的距离为 .点 M(t,1)是 C 上的定点,A,B 是 C 上的两动点,且线段 AB 被直 4 线 OM 平分. (1)求 p,t 的值; (2)求△ABP 面积的最大值.

21. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? (1 ? )e ( x ? 0) ,其中 e 为自然对数的底数.
x

(Ⅰ)当 a ? 2 时,求曲线 y ? f ( x) 在 (1, f (1)) 处的切线与坐标轴围成的面积; (Ⅱ)若函数 f ( x ) 存在一个极大值点和一个极小值点,且极大值与极小值的积为 e ,求 a 的值.
5

a x

请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题 ..... . . . ....................... . ... 记分.作答时用 2B 铅笔在答题纸上把所选题号涂黑. ..
22.(本小题满分 10 分) 《选修 4—1:几何证明选讲》 如图,直线 AB 过圆心 O ,交⊙ O 于 A, B ,直线 AF 交⊙ O 于 F (不与 B 重合),直线 l 与⊙ O 相切于 C ,交 AB 于 E ,且与 AF 垂直,垂足为 G ,连结 AC . 求证:(1) ?BAC ? ?CAG ;
2 (2) AC ? AE ? AF .

23.(本小题满分 10 分) 《选修 4—4:坐标系与参数方程》 在直角坐标系 xoy 中, 曲线 C1 的参数方程为 ?

? x ? 2cos ? ( ? 为参数) M 是 C1 上 ? y ? 2 ? 2sin ?

的动点, P 点满足 OP ? 2OM , P 点的轨迹为曲线 C2 . (1)求 C2 的方程; (2)在以 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线 ? ? 交点为 A ,与 C2 的异于极点的交点为 B ,求 AB .

??? ?

???? ?

?
3

与 C1 的异于极点的

24.(本小题满分 10 分) 《选修 4—5:不等式选讲》 设函数 f ? x ? ? x ? a ? 3x ,其中 a ? 0 . (Ⅰ)当 a ? 1 时,求不等式 f ? x ? ? 3x ? 2 的解集; (Ⅱ)若不等式 f ? x ? ? 0 的解集为 ?x | x ? ?1 ,求 a 的值. ?

包头一中第二次模拟考试 高三年级数学(理科)答案
一、选择题: CDCBA BDADA 二、填空题 13. k ? CC

3 或 k ? ?4 4

14. 0.254

15.

6? 8

16. n ? 2n ?1

三、解答题 17. (本小题满分 12 分) 解:⑴ tan2? ?

2 tan? 2( 2 ? 1) ? ?1 2 1 ? tan ? 1 ? ( 2 ? 1) 2

又∵ ? 为锐角 ∴ 2? ?

?
4



f ( x) ? 2 x ? 1

???5 分

(2) ∵ an?1 ? 2an ? 1, ∵ a1 ? 1

∴数列 ?a n ? 1?是以 2 为首项,2 为公比的等比数列。 可得 an ? 1 ? 2 n ,∴ ?9 分
n

∴ an?1 ? 1 ? 2(an ? 1)

an ? 2 n ? 1 ,
∴ Sn ?

2(1 ? 2 ) ? n ? 2 n ?1 ? n ? 2 1? 2

????12 分

18. (本小题满分 12 分) 解: (I)设“他们中恰好有 1 人是高一年级学生”为事件 A ,则 P? A? ?
1 2 C10 C10 15 ? 3 38 C20

答:若从选派的学生中任选 3 人进行文明交通宣传活动,他们中恰好有 1 人是高一年级学 生的概率为

15 . ????4 分 38

(II)解法 1: ? 的所有取值为 0,1,2,3,4.由题意可知,每位教师选择高一年级的概 率均为

1 .所以???6 分 3

16 ?1? ? 2? P?? ? 0? ? C ? ? ? ? ? ; 81 ? 3? ? 3?
0 4

0

4

32 ?1? ? 2? P?? ? 1? ? C ? ? ? ? ? ; 81 ? 3? ? 3?
1 4 3 1

1

3

24 8 8 ?1? ? 2? 3? 1? ? 2 ? P?? ? 2? ? C ? ? ? ? ? ? ; P?? ? 3? ? C4 ? ? ? ? ? ; 81 27 ? 3? ? 3? ? 3 ? ? 3 ? 81
2 4

2

2

1 ?1? ? 2? P?? ? 4? ? C ? ? ? ? ? . 81 ? 3? ? 3?
4 4

4

0

????10 分

随机变量 ? 的分布列为:

?
P

0

1

2

3

4

16 81

32 81

8 27

8 81

1 81

16 32 24 8 1 4 ? 1? ? 2? ? 3 ? ? 4 ? ? ??12 分 81 81 81 81 81 3 1 解法 2:由题意可知,每位教师选择高一年级的概率均为 . ???????5 分 3 E? ? 0 ?

则随机变量 ? 服从参数为 4,

1 1 的二项分布,即 ? ~ B(4, ) .?????7 分 3 3

随机变量 ? 的分布列为:

?
P

0

1

2

3

4

16 81 1 4 所以 E? ? np ? 4 ? ? 3 3
19. (本小题满分 12 分)

32 81

8 27
??12 分

8 81

1 81

(Ⅰ)证明:取 PD 中点为 F,连结 FC,MF. ∵ MF ? AD, MF ?

1 1 AD , NC / / AD, NC ? AD . 2 2

∴四边形 MNCF 为平行四边形,?????3 分 ∴ MN / / FC ,又 FC ? 平面 PCD ,????5 分 ∴MN∥平面 PCD. ????????6 分 (Ⅱ) A 为原点, 以 AB、 AD、 立空间直角坐标系.设 AB=2, 0),P(0,0,2),C(2,2,0), 设 PC 上 一 点 E 坐 标 为 即 ( x, y, z ? 2) ? ? (2, 2, ?2) , 则

AP 分别为 x、y、z 轴建 则 B(2,0,0),D(0,2,

??? ? ??? ? ( x, y, z ) , PE ? ? PC ,

E (2? , 2? , 2 ? 2? ) .??????7 分 ??? ??? ? ? ? AE ?PB ? 0 1 ? 由 ? ??? ??? ,解得 ? ? . ? ? 2 ? AE ?PD ? 0 ? ??? ? ∴ AE ? (1,1,1) .??????9 分
作 AH⊥ PB 于 H,∵BC⊥平面 PAB,∴BC⊥AH, ∴AH⊥平面 PBC,取 AH 为平面 PBC 的法向量.则 AH ?

????

????

∴设 AE 与平面 PBC 所成角为 ? , AH , AE 的夹角为 ? ,则

???? ??? ?

? ? 1 ??? ??? ( AB ? AP) ? (1, 0,1) , 2

???? ??? ? AH ?AE 2 6 ? .????12 分 sin ? ?| cos ? |? ???? ???? ? ? 3 | AH |? AE | | 3 2

20. (本小题满分 12 分)

?2pt=1, ?p=1, ? ? 解: (1)由题意知? p 5 得? 2 ????4 分 ?1+2=4, ?t=1. ? ?
(2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),线段 AB 的中点为 Q(m,m),

由题意知,设直线 AB 的斜率为 k(k≠0). ?y2=x1, ? 1 由? 2 得(y1-y2)(y1+y2)=x1-x2. ? ?y2=x2, 故 k· 2m=1. 1 所以直线 AB 方程为 y-m= (x-m),即 x-2my+2m2-m=0. ????6 分 2m 2 ? ?x-2my+2m -m=0, 由? 2 消去 x,整理得 y2-2my+2m2-m=0, ? ?y =x 所以 Δ=4m-4m2>0,y1+y2=2m,y1·2=2m2-m. y 1 从而|AB|= 1+ 2· 1-y2|= 1+4m2· 4m-4m2.????8 分 |y k |1-2m+2m2| 设点 P 到直线 AB 的距离为 d,则 d= . 1+4m2 1 设△ABP 的面积为 S,则 S= |AB|· d=|1-2(m-m2)|· m-m2. ????9 分 2 由 Δ=4m-4m2>0,得 0<m<1. 1 令 u= m-m2,0<u≤ ,则 S=u(1-2u2), 2 1 设 S(u)=u(1-2u2),0<u≤ ,则 S′(u)=1-6u2. 2 1 6 ? 6?= 6. 由 S′(u)=0 得 u= ∈?0,2?,所以 S(u)max=S ? 6 ? ?6? 9 6 故△ABP 面积的最大值为 .????12 分 9 21.(本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ) f ?( x) ?

x 2 ? ax ? a x e , ????2 分 x2 x2 ? 2 x ? 2 x e , 当 a ? 2 时, f ?( x) ? x2 1? 2 ? 2 1 f ?(1) ? ? e ? e , f (1) ? ?e , 12

所以曲线 y ? f ( x) 在 (1, f (1)) 处的切线方程为 y ? ex ? 2e ,??????4 分 切线与 x 轴、 y 轴的交点坐标分别为 ( 2, 0) , (0, ?2e) , ??????5 分 所以,所求面积为

1 ? 2 ? ?2e ? 2e . 2

????6 分

(Ⅱ)因为函数 f ( x) 存在一个极大值点和一个极小值点,

所以,方程 x ? ax ? a ? 0 在 (0, ??) 内存在两个不等实根,?????7 分
2

?? ? a 2 ? 4a ? 0, 则? ?a ? 0. 所以 a ? 4 . ????9 分 设 x1 , x2 为函数 f ( x ) 的极大值点和极小值点,则 ????10 分 x1 ? x2 ? a , x1 x2 ? a ,
因为,

????8 分

f ( x1 ) f ( x2 ) ? e5 , x ? a x1 x2 ? a x2 所以, 1 e ? e ? e5 ,??????11 分 x1 x2


a ? a2 ? a2 a x1 x2 ? a( x1 ? x2 ) ? a 2 x1 ? x2 e ? e5 , e ? e5 , a x1 x2

e a ? e5 , 解得, a ? 5 ,此时 f ( x ) 有两个极值点,所以 a ? 5 . ??????12 分
22.【证明】(1)连结 BC,∵AB 是直径, ∴∠ACB=90°,∴∠ACB=∠AGC=90°. ∵GC 切⊙O 于 C,∴∠GCA=∠ABC. ∴∠BAC=∠CAG. 。。。。。。。。。。。。。。。 分 。。。。。。。。。。。。。。。5 (2)连结 CF,∵EC 切⊙O 于 C, ∴∠ACE=∠AFC. 又∠BAC=∠CAG, ∴△ACF∽△AEC. ∴

AC AF 2 ? ,∴AC =AE·AF. 。。。。。。。。。 。。。。。。。。。10 分 AE AC

23.解:(1)设 P(x,y),则由条件知 M? , ?, ?2 2?

?x y?

?x=2cosα, ?2 由于 M 点在 C 上,所以? y ?2=2+2sinα. ?
1

?x=4cosα, ? 则 C2 的参数方程为? ? ?y=4+4sinα.

(α为参数) 。。。。5 分 。。。

(2)曲线 C1 的极坐标方程为ρ=4sinθ,曲线 C2 的极坐标方程为ρ=8sinθ. π π 射线θ= 与 C1 的交点 A 的极径为ρ1=4sin , 3 3 π π 射线θ= 与 C2 的交点 B 的极径为ρ2=8sin . 3 3 所以|AB|=|ρ2-ρ1|=2 3.。。。。。。10 分 。。。。。 24.解: (Ⅰ)当 a ? 1 时,

f ( x) ? 3x ? 2 可化为 x ? 1 ? 2 .由此可得

x ? 3 或 x ? ?1 .

故不等式 f ? x ? ? 3x ? 2 的解集为 x | x ? 3或x ? ?1 .。。。。。。 分 。。。。。。5

?

?

(Ⅱ) 由 f ( x) ? 0 得 此不等式化为不等式组 ?

x ? a ? 3x ? 0

?x ? a ?x ? a 或? ? x ? a ? 3x ? 0 ?a ? x ? 3 x ? 0 ?x ? a ?x ? a ? ? 即 ? 或? a a ?x ? 4 ?x ? ? 2 ? ? a? ? 因为 a ? 0 ,所以不等式组的解集为 ? x | x ? ? ? 2? ? a 由题设可得 ? ? ?1 ,故 a ? 2 .。。。。。。10 分 。。。。。 2

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