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幂函数(第1课时)课件6


幂函数
y 0 x

可见制作人:赵娅玲

? 定义:形如 y ? x (? ? 0) 的函数称为幂函数。

目前,我们只研究常数α为有理数的情况。 例1.指出下列哪些函数是幂函数:
(1) y ? x 1 (5) y ? x (9) y ? x
? 2 3

(2)

y ? x 0 2 (6) y ? x (10) y ? x
2 3

(3) y ? x x (7) y ? x 2 ? 2 x (11) y ? x
3 2

(4) y ? ? x 2 (8) y ? ( x ? 1) 2

解:幂函数是(1)、(5)、(9)、(10)、(11)。

通过研究下列函数的奇偶性、单调性和最大(小)值,作出它们的函数图像。

(1) y ? x

3 2
y
2.8

分析: ① D ? [0,??) ②奇偶性: 非奇非偶函数 ③ 单调性:

任取 x1 , x2 ?[0,??)且x1 ? x2

? 0 ? x1 ? x2 ? x1 ? x2 ? x1 ? x2
3 3 3

3

1

即f ( x1 ) ? f ( x2 )
f(x)在 ④ 列表 取点
[0,??)上单调递增。

0.4

0

0.5

1

2

x

x y

0 0

0.5 1 0.4 1

2 2.8

(2) y ? x

5 3

y 6.2

分析: ① D ? (??,??) ②奇偶性: 奇函数(只需作出x?0时 的图像,然后根据对称性 作出x<0的图像) ③ 单调性: 任取 x1 , x2 ?[0,??)且x1 ? x2

1 0.3

? 0 ? x1 ? x2 ? x ? x2 ? 3 x ? 3 x2
5 1 5 5 1

5

0 0.5

1

2

x

即f ( x1 ) ? f ( x2 )
f(x)在 ④ 列表 取点
[0,??)上单调递增。

x y

0 0

0.5 1 0.3 1

2 6.2

(3) y ? x

4 3

分析: ① D ? (??,??) ②奇偶性: 偶函数(只需作出x?0时 的图像,然后根据对称性 作出x<0的图像) ③ 单调性: 任取 x1 , x2 ?[0,??)且x1 ? x2

y

2.5

? 0 ? x1 ? x2 ? x1 ? x2 ? 3 x1 ? 3 x2
4 4 4

4

1
0.4

即f ( x1 ) ? f ( x2 )
f(x)在
[0,??)上单调递增。

0 0.5

1

2

x

④ 列表取点

x y

0 0

0.5 1 0.4 1

2 2.5

(1) y ? x
y

3 2

(2) y ? x
y

5 3

(3) y ? x
y

4 3

1 0
1

1

x

1 0 1

x

0

1

x

y ? x?

当?>1时,函数图像在第一象限内的规律如下 过点(0,0)、(1,1)呈抛物线型,下凸递增。

(4) y ? x

1 3

分析: ① D ? (??,??)
y

②奇偶性: 奇函数(只需作出x?0时 的图像,然后根据对称性 作出x<0的图像) ③ 单调性: 任取 x1 , x2 ?[0,??)且x1 ? x2

1.3 1 0.8 0 0.5 1 2

? 0 ? x1 ? x2 ? x1 ? x2
3 3

x

即f ( x1 ) ? f ( x2 )
f(x)在
[0,??)上单调递增。

④ 列表取点

x y

0 0

0.5 1 0.8 1

2 1.3

(5) y ? x

2 3

分析: ① D ? (??,??)
y

②奇偶性: 偶函数(只需作出x?0时 的图像,然后根据对称性 作出x<0的图像) ③ 单调性: 任取 x1 , x2 ?[0,??)且x1 ? x2

1.6 1 0.6 0 0.5 1 2

? 0 ? x1 ? x2 ? x1 ? x2
3 2 3

2

x

即f ( x1 ) ? f ( x2 )
f(x)在
[0,??)上单调递增。

④ 列表取点

x y

0 0

0.5 1 0.6 1

2 1.6

(4) y ? x
y

1 3

(5) y ? x
y

2 3

1 0

1

1

x

0

1

x

y ? x?

当0<?<1时,函数图像在第一象限内的规律如下
过点(0,0)、(1,1)呈抛物线型,上凸递增。

(6) y ? x

?

1 3

分析: D ? (??,0) ? (0,??) ① ②奇偶性: 奇函数(只需作出x>0时 的图像,然后根据对称性 作出x<0的图像) ③ 单调性: 任取 x1 , x2 ? (0,??)且x1 ? x2

y

1.3 1 0.8 0 0.5 1 2

1 1 ? 0 ? x1 ? x2 ? x1 ? x2 ? ? 3 x 3 x 1 2
3 3

x

即f ( x1 ) ? f ( x2 )
f(x)在
(0,??)上单调递减。

④ 列表取点

x y

0.5 1 1.3 1

2 0.8

(7 ) y ? x

?

4 3

分析: D ? (??,0) ? (0,??) ① ②奇偶性: 偶函数
y

③ 单调性: 任取 x1 , x2 ? (0,??)且x1 ? x2

2.5

? 0 ? x1 ? x2 ? x1 ? x2 ?
3 4 3 4

1 x1
4

?
3

1 x2
4

3

1 0.4 0 0.5 1 2 x

即f ( x1 ) ? f ( x2 )
f(x)在
(0,??)上单调递减。

④ 列表取点

x y

0.5 1 2.5 1

2 0.4

(8) y ? x

?

1 2

分析: ① D ? (0,??) ②奇偶性: 非奇非偶函数
y

③ 单调性: 任取 x1 , x2 ? (0,??)且x1 ? x2

1 1 ? 0 ? x1 ? x2 ? x1 ? x2 ? ? x1 x2 即f ( x1 ) ? f ( x2 )
f(x)在
(0,??)上单调递减。

1.4 1 0.7 0 0.5 1 2 x

④ 列表取点

x y

0.5 1 1.4 1

2 0.7

(6) y ? x
y

?

1 3

(7 ) y ? x
y

?

4 3

(8) y ? x
y

?

1 2

1 1 0 1 1

x 0 1
x

0

1
x

y ? x?

当?<0时,函数图像在第一象限内的规律如下

过点(1,1)呈双曲线型,递减,与两坐标轴的正半轴无限接近。

y ? x?

当0<?<1时,函数图像在第一象限内的规律如下 过点(0,0)、(1,1)呈抛物线型,上凸递增。

y ? x?

当?>1时,函数图像在第一象限内的规律如下 过点(0,0)、(1,1)呈抛物线型,下凸递增。

y ? x?

当?<0时,函数图像在第一象限内的规律如下

过点(1,1)呈双曲线型,递减,与两坐标轴的正半轴无限接近。

必须化为互质
y ? x? ? y ? x ( p, q互质,p ? Z , q ? N )
(1)任何幂函数在第一象限必有图像,第四象限必无图像; (2)当?>0时,
1 p 奇数 ? 时,f(x)为非奇非偶函数,图像只在第一象限; 如: y ? x 2 q 偶数

p q

y?x

3 4

2 p 偶数 时,f(x)为偶函数,图像在第一和第二象限; 如: y ? x 3 ? q 奇数 1

y?x

4 3

p 奇数 3 时,f(x)为奇函数,图像在第一和第三象限; 如: y ? x ? q 奇数
(3)当?<0时,f(x)呈双曲线型。

y?x

3 5

练习:请指出相应的幂函数图像代号:

(1) y ? x ; ) y ? x ?2 ; (3) y ? x ; (4) y ? x ?1 ; (5) y ? x (2 (6) y ? x ; ) y ? x ; (8) y ? x (7
y y y yy
3 2 4 3 ? 1 2

2 3

1 2

1 3

; (9) y ? x

5 3

yyy y

0

0 00 0

xx
x x x

0 (6) y ? x 0

00

3 2

x

x

x
x

(4) y ? x ?1 (3) y ? x ? (2) yy ?xx (1)

1 ?22 2 3

7? (5)(y ) y x

(9) y ? x 3

4 1 5 (x ?38)3y

?x

?

1 2

分别画出以下函数的大致图像

(1) y ? x

?

25 27

(2) y ? x

82 9

(3) y ? x5

(4) y ? x

1 8


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