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示范教案(第2章 函数概念与基本初等函数Ⅰ 习题课(三))


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习题课(三) (指数函数) 教学过程 复习 一、分数指数幂及运算性质 1.整数指数幂. 2.分数指数幂. 二、指数函数 1.指数函数的定义. 2.指数函数的图象和性质. 导入新课 在前面的学习中, 我们学习了分数指数幂与指数函数的概念及性质, 本节课主要通过集 中训练来巩固分

数指数幂与指数函数的概念及性质,并进一步熟练掌握相应知识的运用. 推进新课 基础训练 1.下列结论中正确的个数是( )
3 1

① a<0 时,(a2) 2 =a3;②n a n =|a|;③ 当 函数 y=(x-2) 2 -(3x-7)0 的定义域为(2,+∞);④ 若 100a=5,10b=2,则 2a+b=1. A.0 B.1 2.若集合 M={y|y=2-x},P={y|y= C.2 D.3 )

x ? 1 },则 M∩P 等于(

A.{y|y>1} B.{y|y≥1} C.{y|y>0} D.{y|y≥0} x 3.已知函数 f(x)=2 +m 的图象不经过第二象限,则实数 m 的取值范围是( A.m≤-1 B.m<-1 C.m≤-2 D.m≥-2 4.函数 y=

)

3x 的值域为( 3x ? 1

)

A.(0,+∞) B.(-∞,1) C.(0,1) D.(1,+∞) 答案:1.B 2. 答案:C 3. 答案:A 4. 答案:C 应用示例 思路 1 例 1 已知指数函数 f(x)的图象经过点(3,8),求 f(1)、f(-1)、f(2x-3)的值. 分析:要求 f(1)、f(-1)、f(2x-3)的值,必须要先求出指数函数 f(x)的解析式,根据定义, 指数函数的解析式为 y=ax(a>0,a≠1),因此,本题就是求底数 a 的值,把底数 a 的值求出后, f(1)、f(-1)、f(2x-3)的值也就迎刃而解了. 解:设指数函数 y=ax(a>0,a≠1),因为函数 f(x)的图象经过点(3,8), 所以,f(3)=8,即 a3=8,解得 a=2,于是有,f(x)=2x. 所以,f(1)=21=2,f(-1)=2-1=

1 ,f(2x-3)=22x-3. 2

点评:本题要弄清两点,一是指数函数的形式即函数的解析式为 y=ax(a>0,a≠1),二是 求解析式字母 a 的值,只需要有一个条件即可.另外对于求函数值的问题,必须是以已知函 数解析式为前提,才能求函数的值. 例 2 如图,图中所示是指数函数① x,② x,③ x,④ x 的图象,则 a、b、c、 y=a y=b y=c y=d

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d 与 1 的大小关系是( )

A.a<b<1<c<d B.b<a<1<d<c C.1<a<b<c<d D.a<b<1<d<c 分析: 根据指数函数的图象和性质, 可将题目所给四个函数的底数进行分类一类是底数 大于 1,另一类是底数大于0小于 1,然后在同一类中比较大小. 解:因为当指数函数底数大于 1 时,图象呈上升趋势,且底数越大,图象向上方向越靠 近 y 轴;当指数函数底数大于0且小于 1 时,图象呈下降趋势,且底数越小,图象向右方向 越靠近 x 轴;所以,根据题目所给图象,应该选择 B. 点评:运用上述方法有利于弄清指数函数在第一象限的图象的大致变化情形.本题除了 可以运用上述方法来解以外,还可以运用下面的方法来解: (1)令 x=1,则题目所给四个函数的函数值分别为 a、b、c、d,结合函数图象,就可得 到解答.应该选择 B. (2)在所给图象中,过点(1,0)作 x 轴的垂线,则垂线与图象的交点的纵坐标就是函数当 x=1 时的函数值,分别为 a、b、c、d,因此,根据函数的图象不难得到本题的答案. 例 3 已知 a2x= 2 +1,求

a 3 x ? a ?3 x 的值. a x ? a ?x

分析:观察所求式子

a 3 x ? a ?3 x ,不难发现已知和未知代数式中都含有 ax,所以可以 x ?x a ?a

考虑用换元法令 ax=t,再化简运算求值. 解:令 ax=t,则 t2= 2 +1. 所以,

a 3 x ? a ?3 x t 3 ? t ?3 (t ? t ?1 )(t 2 ? t ? t ?1 ? t ?2 ) 1 = = 2 +1+ -1=2 2 -1. ?1 ?1 x ?x t ?t t ?t a ?a 2 ?1

点评:换元后得 t2= 2 +1,可以求出 t 的值再代入进行计算,但是这种解法运算量相 对来说比较大.本题的解法是换元后,并不求出 t 的值(这种方法叫做“设而不求”)而直接将 t 代入要求的式子进行运算,对所要求的式子进行变形整理,最后得到关于 t2 的式子,将 t2 整体代入,求出最后的结果.整体代入的方法是一种非常重要的运算技巧,是整体思想的渗 透和运用. 例 4 已知 f(x)=ex-e-x,g(x)=ex+e-x,其中 e=2.718 28… (1)求[f(x)]2-[g(x)]2;(2)设 f(x)f(y)=4,g(x)g(y)=8,求

g(x ? y) 的值. g(x - y)

分析: 观察题目所给的表达式的结构特征, 联系多项式乘法公式和分数指数幂的运算性 质,就可以很快找到解题的路子了.

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解:(1)[f(x)] -[g(x)] =[f(x)+g(x)][f(x)-g(x)]=2ex· -x)=-4e0=-4. (-2e x -x y -y x+y -(x+y) x-y (2)因为 f(x)f(y)=(e -e )(e -e )=e +e -[e +e-(x-y)], 所以 g(x+y)-g(x-y)=4.① 同理可得 g(x+y)+g(x-y)=8,② 解由① 组成的方程组,可得 g(x+y)=6,g(x-y)=2. ② 所以
2 2

g(x ? y) 6 = =3. g(x - y) 2

点评:对于(1),如果将 f(x)、g(x)代入,那么这个问题就变成了具体的求值,也就是将 问题具体化了.我们应该要充分认识到将问题具体化是探求解题方法的重要策略,因此,要 努力掌握这一解决问题的策略, 开拓解题思路, 提高解题的能力; 对于(2), 为了求

g(x ? y) g(x - y)

的值,利用已知条件,通过解关于 g(x+y)和 g(x-y)的方程组,先求出 g(x+y)和 g(x-y)的值, 再来求

g(x ? y) 的值.这里充分体现了方程的思想在解题时的功能. g(x - y) 10 x ? 10? x ,(1)求函数的定义域;(2)求函数的值域;(3)判断函数的 10 x ? 10? x

例 5 已知函数 y= 单调性. 分析:将函数 y=

10 x ? 10? x 102 x ? 1 解析式化简为 y= 2 x ,根据分母不为零可以求函数的 10 x ? 10? x 10 ? 1

定义域;因为 102x>0,所以将函数 y=

102 x ? 1 中 102x 看成未知数,把 102x 用关于 y 的式子 102 x ? 1

g(y)表示,解关于不等式 g(y)>0 即可得到函数的值域;判断函数的单调性可以运用函数单 调性的定义.

10 x ? 10? x 102 x ? 1 解:(1)y= x = 2x .因为 102x-1≠0,所以 x≠0, ?x 10 ? 10 10 ? 1
所以函数 y=

10 x ? 10? x 定义域为{x|x≠0}. 10 x ? 10? x

102 x ? 1 y ?1 (2)由 y= 2 x 得 y· 2x-y=102x+1,所以 102x= 10 . y ?1 10 ? 1
因为 102x>0,即

y ?1 >0,所以 y<-1 或 y>1. y ?1

所以函数的值域为(-∞,-1)∪ (1,+∞). (3)设任意 x1,x2∈(-∞,0),且 x1<x2,则

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f(x1)-f(x2)= =

102 x1 ? 1 102 x1 ? 1 ? 102 x1 ? 1 102 x2 ? 1

102 x1 ? 102 x2 ? 102 x1 ? 102 x2 ? 1 ? 102 x1 ? 102 x2 ? 102 x1 ? 102 x2 ? 1 2(102 x2 ? 102 x1 ) . ? (102 x1 ? 1)(102 x2 ? 1) (102 x1 ? 1)(102 x2 ? 1)
因为 x1,x2∈(-∞,0),所以 10 又因为 x1<x2,所以 10
2 x2 2 x1

-1<0, 10
2 x1

2 x2

-1<0.

> 10

,因而有 f(x1)-f(x2)>0.

所以函数 y=

10 x ? 10? x 在(-∞,0)上为单调减函数. 10 x ? 10? x
2 x1

设任意 x1,x2∈(0,+∞),且 x1<x2, 10 所以有 f(x1)-f(x2)>0. 所以函数 y=

-1>0, 10

2 x2

-1>0, 10

2 x2

> 10

2 x1



10 x ? 10? x 在(0,+∞)上为单调减函数. 10 x ? 10? x 10 x ? 10? x 在(-∞,0)及(0,+∞)上分别为单调减函数. 10 x ? 10? x
2 102 x ? 1 102 x ? 1 ? 2 = =1+ 2 x ,据此,根据 102x-1 2x 2x 10 ? 1 10 ? 1 10 ? 1

综上所述,函数 y=

点评:若将函数式变形为 y=

随 x 的值的递增而递增以及 x 的取值范围,也可以求出函数的值域以及函数的单调区间.另 外要注意的是:不能由 y=f(x)在(-∞,0)及(0,+∞)上分别为单调减函数,得出函数 y=f(x)在区间 (-∞,0)和(0,+∞)上为单调减函数,事实上,函数 y=f(x)在(-∞,0)∪ (0,+∞)上不具有单调性. 例 6 已 知 函 数 f(x)= ?

a a ? a
x

(a > 0,a≠1) , (1) 证 明 : f(x)+f(1-x)=-1 ; (2) 求

f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)的值. 分析:要证明等式 f(x)+f(1-x)=-1 成立,可以直接通过指数进行运算即可证得;而要求 f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)的值,如果直接将相应的值(如-2)等直接代入计算,比较烦琐. 所以考虑另外的途径,例如能否利用(1)的结论解题. 解 : (1)f(x)+f(1-x)=

?

a a ? a
x

+(

?

a a
1? x

? a

)=

? a(

1 a ? a
x

?

1 a
1? x

? a

)

=

? a(

1 ax ? a

?

ax a (a x ? a )

)?? a?

a ? ax a (a x ? a )

=-1.

(2)由(1)f(x)+f(1-x)=-1.令 x=-2,得 f(-2)+f[1-(-2)]=-1,

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即 f(-2)+f(3)=-1.同理 f(-1)+f(2)=-1,f(0)+f(1)=-1. 所以 f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=-3. 点评: 如果能够注意到直角坐标平面上的点 P(x,y)与点 P′(1-x,-1-y)关于点( 那么第(1)小题的实质就是证明函数 f(x)= ?

1 1 , ? )对称, 2 2
1 1 , ? )对称. 2 2

a a ? a
x

(a>0,a≠1)的图象关于点(

据此, 我们可以得到证明某一函数 f(x)的图象关于某一个定点 O 对称的一般方法: 设点 P(x,y) 在函数 f(x)的图象上, 求出 P(x,y)关于点 O 的对称点 P′的坐标, 然后将 P′的坐标代入函数 f(x), 如果 P′的坐标满足函数 f(x),则函数 f(x)的图象关于某一个定点 O 对称,如果 P′的坐标不满 足函数 f(x), 则函数 f(x)的图象不关于某一个定点 O 对称.对于第(2)小题的求解, 运用了第(1) 小题证得的结论.这种解题的方法是在解具有递进关系或具有关联关系的一系列题时的一种 常用的技巧,我们必须好好地加以体会. 思路 2 2 x 例 1 函数 y=(a -3a+3)· 是指数函数,则有( a ) A.a=1 或 a=2 B.a=1 C.a=2 D.a>0 且 a≠1 x x 分析:指数函数 y=a 中有两个特点:① a>0 且 a≠1,② 的系数必须为 1. a

?a 2 ? 3a ? 3 ? 1, ? 解:因为函数 y=(a2-3a+3)·x 是指数函数,所以有 ?a ? 0, a 解得 a=2. ?a ? 1, ?
故本题应选择 C. 例 2 比较下列各组数的大小:
3 5 3 5

(1)1.2 5 ,1.2 7 ;(2)(-1.2) 5 ,(-1.2) 7 ;(3) 2 , 3 3 ;(4)0.50.6,0.60.5;
3 5

(5)0.30.2,30.3,(-0.3) 5 ,0.20.3,20.5,(-0.3) 7 . 分析:要比较两个数或几个数的大小,可以利用函数的性质,也可以作差或作商,还可 以先找中间数进行分类,然后在同一类中进行比较.

3 5 解:(1)指数函数 y=1.2 在(-∞,+∞)上是增函数,因为 < ,所以 1.2 5 <1.2 7 . 5 7
x

3

5

(2)因为(-1.2) =-1.2 ,(-1.2) =-1.2 ,
3 5 3 5 3 5

3 5

3 5

5 7

5 7

由(1)知 1.2 5 <1.2 7 ,所以-1.2 5 >-1.2 7 ,即(-1.2) 5 >(-1.2) 7 . (3)方法一:因为 2 = 6 8 , 3 3 = 6 9 ,所以 2 < 3 3 . 方法二:因为

2
3

3

?

6 6

8 9

?6

8 <1,所以 2 < 3 3 . 9

(4)因为函数 y=0.5x 在(-∞,+∞)上是减函数,所以 0.50.6<0.50.5,又因为 y=ax 的图象在 y 轴右边是底数越大图象越高,所以 0.50.5<0.60.5,由上述可知:0.50.6<0.60.5.

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(5)由于 0.3 ,3 ,(-0.3) ,0.2 ,2 ,(-0.3) 中的数(-0.3) ,(-0.3) 小于 0,其余的数都大于 0,所以先比较(-0.3) ,(-0.3) 的大小,再比较其余的数的大小.
3 5 3 5 3 5 5 7

0.2

0.3

3 5

0.3

0.5

5 7

3 5

5 7

因为 0.3 5 >0.3 7 ,所以-0.3 5 <-0.3 7 ,即(-0.3)
0.3 0.5 0.3 0.5
3 10 5 10

3 5

5

<(-0.3) 7 .
1 10 1

27 10 因为 3 、2 都大于 1,而 3 ÷ =3 ÷ =27 ÷ 2 2 32 =( ) <1, 32
所以 30.3<20.5. 因为 0.30.2、0.20.3 都大于 0 且小于 1,将 0.30.2、0.20.3 与 0.30.3 比较. 由于函数 y=0.3x 在(-∞,+∞)上是减函数, 所以 0.30.2>0.30.3, 又因为 y=ax 的图象在 y 轴右 边是底数越大图象越高,所以 0.30.3>0.20.3,由上述可知:0.30.2>0.20.3.
3 5

1 10

综上所述,(-0.3) 5 <(-0.3) 7 <0.20.3<0.30.2<30.3<20.5. 点评:在比较两个数的大小时,特别是比较指数幂的大小时,可以按照以下的方法进行 比较:首先将题给的数与 0 进行比较,区分出正负数;第二,将正数与 1 进行比较,区分出 大于 1 的数和小于 1 的正数;第三,利用函数的性质分别比较上述各类数的大小;第四,寻 找中间数,结合函数的单调性比较大小;第五,运用作差或作商的方法进行比较数的大小. 例 3 求函数 y=(

2 x2 ?3 x?2 ) 的单调区间. 3 2 u 2 ) , 2-3x+2, u=x 其中函数 y=( )u 3 3

分析: 这是有关复合函数求单调区间的问题.可设 y=(

为减函数,所以 u=x2-3x+2 的减区间就是原函数的增区间;u=x2-3x+2 的增区间就是原函数 的减区间.

2 u ) ,u=x2-3x+2,y 关于 u 递减, 3 3 因为当 x∈(-∞, ]时,u 为减函数,所以此时 y 关于 x 为增函数; 2 3 当 x∈[ ,+∞)时,u 为增函数,所以此时 y 关于 x 为减函数. 2 2 x2 ?3 x?2 3 3 由以上可知函数 y=( ) 的单调增区间为(-∞, ],单调减区间为[ ,+∞). 3 2 2
解:设 y=( 点评:一般地,对形如 f[g(x)]的复合函数的单调性的判断或求单调区间的问题,除根据 定义来解答外, 还可以依据下述结论来判断: y=f(u)与 u=g(x)的单调性相同时, y=f[g(x)] 当 则 为增函数;当 y=f(u)与 u=g(x)的单调性相异时,则 y=f[g(x)]为减函数.而对形如 f(x)=ag(x)(a> 0,a≠1)的复合函数来说,若 a>1,则 f(x)与 g(x)的单调性相同,若 0<a<1,则 f(x)与 g(x) 的单调性相异. 例 4 已知函数 y=a2x+2ax-1(a>0 且 a≠1)在区间[-1,1]上有最大值 14,求实数 a 的值. 分析:将已知函数 y=a2x+2ax-1 的解析式化为 y=(ax)2+2ax-1,则令 u=ax,再利用二次函 数的相关知识,结合指数函数的性质,即可得到解答. 解:由 y=a2x+2ax-1 得 y=(ax)2+2ax-1=(ax+1)2-2, 令 ax=t,则 y=(t+1)2-2.

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① a>1 时,因为 x∈[-1,1],所以 当

1 x 1 ≤a ≤a,即 ≤t≤a. a a

因为函数 y=(t+1)2-2 的对称轴为 t=-1, 所以,当 t=a 时,函数 y=(t+1)2-2 有最大值,即(a+1)2-2=14,解得 a=3.

1 1 ,即 a≤t≤ . a a 1 1 1 所以,当 t= 时,函数 y=(t+1)2-2 有最大值,即( +1)2-2=14,解得 a= . a a 3 1 综上所述,实数 a 的值为 3 或 . 3
② 0<a<1 时,因为 x∈[-1,1],所以 a≤ax≤ 当 点评:这是一个函数综合问题,考查了指数函数与二次函数的性质,因此,在解综合问 题时,一定要对涉及的知识点熟悉并能熟练运用.此外,注意一些数学思想的应用,本题中 运用了分类讨论的数学思想,对底数 a 在(0,1)及(1,+∞)上两种情况进行分类讨论,因为指数 函数在这两个范围上的单调性完全不同. 知能训练
?

1.已知 x A.8

2 3

=4,那么 x 等于( B.±

)
3

1 8
)

C.

4 4

D.±3 2

2 2.化简 (1 ? 2 x ) (x>

1 )的结果是( 2

A.1-2x B.0 C.2x-1 3.已知 c<0,则下列不等式中成立的是( ) A.c>2c B.c>(

D.(1-2x)2

1 c ) 2

C.2c<(

1 c ) 2

D.2c>(

1 c ) 2
)

4.若函数 y=ax+b-1(a>0,且 a≠1)的图象经过第一、三、四象限,则一定有…( A.a>1,且 b<1 B.0<a<1,且 b<0 C.0<a<1,且 b>0 D.a>1,且 b<0 x -x 5.函数 y=5 与 y=-5 的图象( ) A.关于 x 轴对称 B.关于 y 轴对称 C.关于原点对称 D.关于直线 y=x 对称 x 2 -x 6.函数 f(x)=(1+a ) a (a>0 且 a≠1)( ) A.是奇函数但不是偶函数 B.是偶函数但不是奇函数 C.既不是奇函数也不是偶函数 D.既是奇函数又是偶函数
1 1

7.若 a 3 >a 2 ,则实数 a 的取值范围是_____________. 8.当 x∈[-1,1]时,函数 f(x)=3x-2 的值域为_____________. 9.已知 a=0.80.7,b=0.80.9,c=1.20.8,则 a、b、c 由小到大的排列顺序是_____________.
? 1 10.已知 a>0,x= ( a n ? a n ),求(x+ 1 ? x 2 )n 的值. 2 1 1

解答: 1.答案:B 2. 答案:C 3. 答案:C 4. 答案:D 5. 答案:C 6. 答案:B

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7. 答案:0<a<1 8. 答案:[ ?
1 1

5 ,1] 9. 答案:b<a<c 3
1 1

10.解:将 x=

? ? 1 n 1 ( a ? a n )代入 1 ? x 2 = ( a n ? a n ), 2 2 1 1 1 1 1

因此(x+ 1 ? x 2 )n=[

? ? 1 n 1 ( a ? a n )+ ( a n ? a n )]n=( a n )n=a. 2 2

课堂小结 本节课主要是集中训练分数指数幂与指数函数的相关内容. 对于分数指数幂, 要求掌握分数指数幂的概念与运算性质, 以及分数指数幂与根式的相互转 化,能够熟练并且正确地进行有关根式与分数指数幂的化简、求值等问题,能熟练进行有关 分数指数幂的恒等变形,提高有关分数指数幂知识的综合运用能力. 对于指数函数,要求掌握指数函数的定义、图象、性质及其应用,体会利用函数图象来 研究函数性质的思想方法,以及从具体到抽象、从特殊到一般的思维过程,充分认识指数函 数是一类重要的函数模型,在现实生活、生产实践、现代科技等领域指数函数有着广泛的应 用. 作业 课本第 93 页复习题 10、12. 设计感想 在本节内容的学习中应注意以下几点: (1)要注意正数的偶次方根有两个,它们互为相反数;负数的偶次方根没有意义. (2) n a n 一定等于 a,而要分 n 是奇数和偶数两种情形来求解. (3)分数指数幂并不是一种新的运算,而是根式的另一种表达形式,将根式用分数指数 幂表示后,可以将根式的运算转化为指数运算. (4)指数函数 y=ax 中的底数 a 之所以规定为 a>0 且 a≠1,是因为:在 y=ax 中,若 a=1, 则 y=1,它是一个常数函数.为了保证当 x 取分数时 ax 有意义,必须要求 a≥0;但是当 a=0 时,ax 只有 x>0 时有意义且 y=ax=0 也是常数函数. (5)在学习指数函数时,注意分清底数是“a>1”和“0<a<1”的函数所具有的性质的相同 和不同之处. (6)在学习本节内容时注意结合对比的方法,揭示分数指数幂与根式,指数函数的底数 在“a>1”和“0<a<1”两种情形的内在联系.在运用性质解题时注意解题的技巧,例如在运用 幂的运算性质解题时, 凑完全平方及寻求同底数幂的方法的恰当运用; 在运用函数图象解题 时注意图象变换等.

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示范教案(第2章 函数概念与基本初等函数Ⅰ 2.1.1)

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示范教案(第2章 函数概念与基本初等函数Ⅰ 2.3.2)

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示范教案(第2章 函数概念与基本初等函数Ⅰ 2.1.2)

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示范教案(第2章 函数概念与基本初等函数Ⅰ 2.6)

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