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2010-2015数学全国卷试题分类 近5年全国卷

时间:2016-03-24


2010-2015 年高考理科数学(新课标 I)试题分类汇编
考点一 集合 考点二 函数 考点三 三角函数 考点四 解三角形 考点五 平面向量 考点六 数列 考点七 不等式 考点八 立体几何 考点九 直线与圆 考点十 圆锥曲线 考点十一 函数与导数、积分 考点十二 排列组合及二项式定理 考点十三 概率与统计 考点十四 算法初步(程序框图) 考点十五 常用逻辑用语 考点十

六 推理与证明 考点十七 复数 考点十八 几何证明选讲 考点十九 不等式选讲 考点二十 坐标系与参数方程

考点一 集合

1. (2012 新课标 I, 理 1) 已知集合 A ? {1, 2,3, 4,5} , B ? {( x, y) x ? A, y ? A, x ? y ? A} ; , 则 B 中所含元素的个数为

( A) 3

(B) 6

(C ) ?

( D) ??

2. (2013 新课标 I,理 1)已知集合 A ? x | x ? 2 x ? 0 , B ? x | ? 5 ? x ? 5 ,则
2

?

?

?

?

A.A∩B=?

B.A∪B=R

C.B?A
2

D.A?B

3. (2014 新课标 I,理 1)集合 A={ x | x ? 2 x ? 3 ? 0 },B={ x |-2≤ x <2=,则 A ? B =

A .[-2,-1]

B .[-1,2)

C .[-1,1]

D .[1,2)

考点二 函数

1. (2010 新课标 I,理 8)设 a= log3 2,b=ln2,c= 5

?

1 2

,则

A a<b<c Bb<c<a C c<a<b D c<b<a 2. (2010 新课标 I,理 10)已知函数 F(x)=|lgx|,若 0<a<b,且 f(a)=f(b),则 a+2b 的取值范围是 (A) (2 2, ??) (B) [2 2, ??) (C) (3, ??)
2

(D) [3, ??)

3. (2010 新课标 I,理 15)直线 y ? 1 与曲线 y ? x ? x ? a 有四个交点,则 a 的取值范围 是 .

(0, +?) 4. (2011 新课标 I,理 2)下列函数中,既是偶函数又在 单调递增的函数是
(A) y ? x
3

(B) y ? x ?1

(C) y ? ? x ? 1
2

(D) y ? 2

?x

5. (2011 新课标 I, 理 12)函数 y ? 交点的横坐标之和等于 (A)2 (B) 4

1 的图像与函数 y ? 2sin ? x(?2 ? x ? 4) 的图像所有 x ?1

(C) 6

(D)8

6. (2012 新课标 I,理 10)已知函数 f ( x) ?

1 ;则 y ? f ( x) 的图像大致为 ln( x ? 1) ? x

7. (2013 新课标 I,理 11)已知函数 f ( x) ? 值范围是 A. B. C. [?2,1] D. [?2, 0]

,若|

|≥

,则

的取

8. (2014 新课标 I,理 3)设函数 f ( x ) , g ( x) 的定义域都为 R,且 f ( x ) 时奇函数, g ( x) 是 偶函数,则下列结论正确的是

A . f ( x) g ( x) 是偶函数

B .| f ( x) | g ( x) 是奇函数

C . f ( x) | g ( x) |是奇函数

D .| f ( x) g ( x) |是奇函数

9. (2014 新课标 I,理 6)如图,圆 O 的半径为 1,A 是圆上的定点,P 是圆上的动点,角 x 的始边为射线 OA ,终边为射线 OP ,过点 P 作直线 OA 的垂线,垂足为 M ,将点 M 到直 线 OP 的距离表示为 x 的函数 f ( x ) ,则 y = f ( x ) 在[0, ? ]上的图像大致为

10. (2015 新课标 I,理 13)若函数 f(x)=xln(x+ a ? x2 )为偶函数,则 a=

考点三 三角函数

1. (2010 新课标 I,理 2)记 cos(?80?) ? k ,那么 tan100 ? ?

A.

1? k2 k

B. -

1? k2 C. k

k 1? k2

D. -

k 1? k2
3 ,则 5

2. (2010 新课标 I,理 14)已知 ? 为第三象限的角, cos 2? ? ?

tan(

?
4

? 2? ) ?

.

3. (2011 新课标 I,理 5)已知角 ? 的顶点与原点重合,始边与 x 轴的正半轴重合,终边在直 线 y ? 2 x 上,则 cos 2? =

(A) ?

4 5

(B) ?

3 5

(C)

3 5

(D)

4 5

4. (2011 新课标 I,理 11)设函数 f ( x) ? sin(? x ? ? ) ? cos(? x ? ? )(? ? 0, ? ? 正周期为 ? ,且 f (? x) ? f ( x) ,则 (A) f ( x ) 在 ? 0,

?
2

) 的最小

? ? ? ?

?? ??

? 单调递减 2? ? 单调递增 2?

(B) f ( x ) 在 ?

? ? 3? , ?4 4

? ? 单调递减 ? ? ? 单调递增 ?

(C) f ( x ) 在 ? 0,

(D) f ( x ) 在 ?

? ? 3? , ?4 4

5. (2012 新课标 I, 理 9)已知 ? ? 0 , 函数 f ( x) ? sin(? x ? 的取值范围是

?

) 在 ( , ? ) 上单调递减。 则? 4 2

?

1 5 ( A) [ , ] 2 4

1 3 (B) [ , ] 2 4

1 (C ) (0, ] 2

( D) (0, 2]

6. (2013 新课标 I, 理 15)设当 x ? ? 时, 函数 f ( x) ? sin x ? 2cos x 取得最大值, 则 cos ? ?

A.

1 8

B.

3 8

C.

5 8

D.

7 8

7. (2014 新课标 I,理 8)设 ? ? (0,

?

? 1 ? sin ? ) , ? ? (0, ) ,且 tan ? ? ,则 2 2 cos ?
C . 3? ? ? ?

A . 3? ? ? ?

?
2

B . 2? ? ? ?

?
2

?
2

D . 2? ? ? ?

?
2

8. (2015 新课标 I,理 2)sin20°cos10°-con160°sin10°= (A) ?

3 2

(B)

3 2

(C) ?

1 2

(D)

1 2

9. (2015 新课标 I,理 8)函数 f ( x ) = cos(? x ? ? ) 的部分图像如图所示,则 f ( x ) 的单调递 减区间为 (A)(kπ ? , kπ + ,),k∈
4 4 1 3

(b)(2kπ ? , 2kπ + ),k∈
4 4

1

3

(C)(k ? , k + ),k∈
4 4

1

3

(D)(2k ? , 2k + ),k∈
4 4

1

3

考点四 解三角形

B ?B C 2 1. (2011 新课标 I, 理 16)在 V ABC 中, 则A B ? 60? , AC ? 3 ,

的最大值为



2. (2014 新课标 I,理 16)已知 a, b, c 分别为 ?ABC 的三个内角 A, B, C 的对边, a =2,且

(2 ? b)(sin A ? sin B) ? (c ? b)sin C ,则 ?ABC 面积的最大值为

.

3. (2015 新课标 I,理 16)在平面四边形 ABCD 中,∠A=∠B=∠C=75°,BC=2,则 AB 的取值范 围是 . 4. (2010 新课标 I,理 17)已知 VABC 的内角 A , B 及其对边 a a ? b ? a cot A ? b cot B ,求内角 C . ,b 满足

5. (2012 新课标 I,理 17)已知 a, b, c 分别为 ?ABC 三个内角 A, B, C 的对边,

a cos C ? 3a sin C ? b ? c ? 0
(1)求 A (2)若 a ? 2 , ?ABC 的面积为 3 ;求 b, c 。

6. (2013新课标I,理17)如图,在△ABC中,∠ABC=90° ,AB= 3 ,BC=1,P为△ABC内 一点,∠BPC=90° 1 (1)若 PB= , 求 PA; (2)若∠APB=150° , 求 tan∠PBA 2

考点五 平面向量

1.(2011 新课标 I,理 10)已知 a 与 b 均为单位向量,其夹角为 ? ,有下列四个命题

? 2? ? P 1 : a ? b ? 1 ? ? ? ?0, ? ? 3 ? ? ?? P3 : a ? b ? 1 ? ? ? ?0, ? ? 3?
其中的真命题是 (A) P 1, P 4 (B) P 1, P 3

? 2? ? P2 : a ? b ? 1 ? ? ? ? ,? ? ? 3 ? ?? ? P4 : a ? b ? 1 ? ? ? ? , ? ? ?3 ?

(C) P2 , P 3

(D) P2 , P4

? 2.(2012 新课标 I, 理 13)已知向量 a, b 夹角为 45 , 且 a ? 1, 2a ? b ? 10 ; 则 b ? _____

? ?

?

? ?

?

3.(2013新课标I,理13)已知两个单位向量a,b的夹角为60° ,c=ta+(1-t)b,若b· c=0,则 t=_____. 4.(2014 新课标 I,理 15)已知 A,B,C 是圆 O 上的三点,若 AO ?

????

? ???? ??? ? 1 ??? ( AB ? AC ) ,则 AB 与 2

??? ? AC 的夹角为

.

5.(2015 新课标 I,理 7)设 D 为 ABC 所在平面内一点 BC ? 3CD ,则

??? ?

??? ?

? 4 ???? ???? 1 ??? ? 4 ???? 1 ??? AB ? AC (B) AD ? AB ? AC 3 3 3 3 ????? ? ??????? ? ???? 4 ??? ? 1 ???? 4 ??? ? 1 (C) AD ? AB ? AC (D) AD ? AB ? AC 3 3 3 3
(A) AD ? ?

????

考点六 数列

1. (2010 新课标 I,理 4)已知各项均为正数的等比数列{ an }, a1a2 a3 =5, a7 a8a9 =10,则

a4 a5a6 =
(A) 5 2 (B) 7 (C) 6 (D) 4 2

2. (2012 新课标 I,理 5)已知 ?an 为等比数列, a4 ? a7 ? 2 , a5a6 ? ?8 ,则 a1 ? a10 ?

?

( A) 7

(B) 5

(C ) ??

( D) ??

3. (2012 新课标 I,理 16)数列 {a n } 满足 an?1 ? (?1)n an ? 2n ?1 ,则 {a n } 的前 60 项和为 4. (2013 新课标 I, 理 7)设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , Sm?1 ? ?2, Sm ? 0, Sm?1 ? 3 , 则m? A.3 B .4 C.5 D.6

5. (2013 新课标 I,理 12)设 ?An BnCn 的三边长分别为 an , bn , cn , ?An BnCn 的面积为 Sn ,

n ? 1, 2,3,? ,若 b1 ? c1 , b1 ? c1 ? 2a1 , an ?1 ? an , bn ?1 ?
A.{Sn}为递减数列 C.{S2n-1}为递增数列,{S2n}为递减数列 6. (2013 新课标 I,理 14)若数 列{ 式是 =______.

cn ? an b ? an , cn ?1 ? n ,则 2 2

B.{Sn}为递增数列 D.{S2n-1}为递减数列,{S2n}为递增数列 ,则数列{ }的通项公

}的前 n 项和为 Sn=

7. (2010 新课标 I,理 22)已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1, an ?1 ? c ?

1 . an

(Ⅰ)设 c ?

5 1 ,求数列 ?bn ? 的通项公式; , bn ? 2 an ? 2

(Ⅱ)求使不等式 an ? an?1 ? 3 成立的 c 的取值范围 .

8.(2011 新课标 I,理 17)等比数列 ?an ? 的各项均为正数,且 2a1 ? 3a2 ? 1, a32 ? 9a2 a6 . (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ? log3 a1 ? log3 a2 ? ...... ? log3 an , 求数列 ?

?1? ? 的前 n 项和. ? bn ?

9.(2014 新课标 I, 理 17)已知数列{ an }的前 n 项和为 Sn ,a1 =1,an ? 0 ,an an?1 ? ? Sn ?1, 其中 ? 为常数. (Ⅰ)证明: an? 2 ? an ? ? ; (Ⅱ)是否存在 ? ,使得{ an }为等差数列?并说明理由.

2 10.(2015 新课标 I,理 17) Sn 为数列{ an }的前 n 项和.已知 an >0, an ? an = 4Sn ? 3 .

(Ⅰ)求{ an }的通项公式: (Ⅱ)设 =
1 +1

,求数列{ }的前 n 项和

考点七 不等式

? y ? 1, ? 1. (2010 新课标 I,理 3)若变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 0, 则 z ? x ? 2 y 的最大值为 ? x ? y ? 2 ? 0, ?
(A)4 (B)3 (C)2 (D)1
2

2. (2010 新课标 I,理 13)不等式 2x ? 1 ? x ? 1 的解集是 3. (2011 新课标 I,理 13)若变量 x, y 满足约束条件 ? 为 。

.

?3 ? 2 x ? y ? 9, 则 z ? x ? 2 y 的最小值 ?6 ? x ? y ? 9,

? x, y ? 0 ? 4. (2012 新课标 I,理 14)设 x, y 满足约束条件: ? x ? y ? ?1 ;则 z ? x ? 2 y 的取值范围为 ? x? y ?3 ?
__________ 5. (2014 新课标 I,理 9)不等式组 ?

?x ? y ? 1 的解集记为 D .有下面四个命题: ?x ? 2 y ? 4

p1 : ?( x, y) ? D, x ? 2 y ? ?2 , p2 : ?( x, y) ? D, x ? 2 y ? 2 , P 3 : ?( x, y ) ? D, x ? 2 y ? 3 , p4 : ?( x, y) ? D, x ? 2 y ? ?1 .
其中真命题是

A . p2 , P 3

B . p1 , p4

C . p1 , p2

D . p1 , P 3

?x ?1 ? 0 y ? 6. (2015 新课标 I, 理 15)若 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? 0 , 则 的最大值为 x ?x ? y ? 4 ? 0 ?

.

考点八 立体几何

1. (2010 新课标 I,理 7)正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,BB1 与平面 ACD1 所成角的余弦值为 A

2 3

B

3 3

C

2 3

D

6 3

2. (2010 新课标 I,理 12)已知在半径为 2 的球面上有 A、B、C、D 四点,若 AB=CD=2,则四 面体 ABCD 的体积的最大值为 (A)

2 3 3

(B)

4 3 3

(C) 2 3

(D)

8 3 3

3. (2011 新课标 I,理 6)在一个几何体的三视图中,正视图和俯视图如右图所示, 则相应的俯视图可以为

4. (2011 新课标 I ,理 15) 已知矩形 ABCD 的顶点都在半径为 4 的球 O 的球面上,且

AB ? 6, BC ? 2 3 ,则棱锥 O ? ABCD 的体积为



5. (2012 新课标 I,理 7)如图,网格纸上小正方形的边长为 1 ,粗线画出的是某几何体的三 视图,则此几何体的体积为

( A) 6

(B) 9

(C ) ??

( D) ??

6. (2012 新课标 I,理 11)已知三棱锥 S ? ABC 的所有顶点都在球 O 的求面上, ?ABC 是边 长为 1 的正三角形, SC 为球 O 的直径,且 SC ? 2 ;则此棱锥的体积为

( A)

2 6

(B)

3 6

(C )

2 3

( D)

2 2

7. (2013 新课标 I, 理 6)如图, 有一个水平放置的透明无盖的正方体容器, 容器高 8cm, 将一 个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为 6cm,如果不计 容器的厚度,则球的体积为 A.

500? cm3 3

B.

866? cm3 3

C.

1372? cm3 3

D.

2048? cm3 3

8. (2013 新课标 I,理 8)某几何体的三视图如右上图所示,则该几何体的体积为 A. 16 ? 8? B. 8 ? 8? C. 16 ? 16? D. 8 ? 16? 9. (2014 新课标 I,理 12)如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗实线画出的是某多面体的 三视图,则该多面体的个条棱中,最长的棱的长度为

A .6 2

B .4 2

C .6

D .4

10. (2015 新课标 I,理 6)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问 题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角 处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧 度为 8 尺,米堆的高为 5 尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺,圆周率约为 3,估算出堆放斛的米约有( )

A.14 斛

B.22 斛

C.36 斛

D.66 斛

11. (2015 新课标 I,理 11)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为 r)组 成一个几何体,该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示。若该几何 体的表面积为 16 + 20 ? ,则 r= (A)1 (B)2 (C)4 (D)8

12. (2010 新课标 I, 理 19)如图, 四棱锥 S-ABCD 中, SD ? 底面 ABCD, AB//DC, AD ? DC, AB=AD=1,DC=SD=2,E 为棱 SB 上的一点,平面 EDC ? 平面 SBC . (Ⅰ)证明:SE=2EB; (Ⅱ)求二面角 A-DE-C 的大小 .

13. (2011 新课标 I,理 18) 如图,四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形, ∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面 ABCD. (Ⅰ)证明:PA⊥BD; (Ⅱ)若 PD=AD,求二面角 A-PB-C 的余弦值。

14. (2012 新课标 I,理 19)如图,直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AC ? BC ?

1 AA1 , D 是棱 2

AA 1 的中点, DC1 ? BD
(1)证明: DC1 ? BC (2)求二面角 A1 ? BD ? C1 的大小。

15. (2013 新课标 I,理 18)如图,三棱柱 ABC-A1B1C1 中,CA=CB,AB=A A1,∠BA A1=60° . (Ⅰ)证明 AB⊥A1C; (Ⅱ)若平面 ABC⊥平面 AA1B1B,AB=CB=2,求直线 A1C 与平面 BB1C1C 所成角的正弦 值。

16. (2014 新课标 I,理 19)如图三棱锥 ABC ? A1B1C1 中,侧面 BB1C1C 为菱形, AB ? B1C . (Ⅰ) 证明: AC ? AB1 ; (Ⅱ) 若 AC ? AB1 , AB=BC, ?CBB1 ? 60o , 求二面角 A ? A 1B 1 ? C1 的余弦值.

17. (2015 新课标 I,理 18)如图, ,四边形 ABCD 为菱形,∠ABC=120°,E,F 是平面 ABCD 同 一侧的两点,BE⊥平面 ABCD,DF⊥平面 ABCD,BE=2DF,AE⊥EC。[来源:学&科&网] (1)证明:平面 AEC⊥平面 AFC (2)求直线 AE 与直线 CF 所成角的余弦值 [来

考点九 直线与圆

1. (2010 新课标 I, 理 11)已知圆 O 的半径为 1, PA、 PB 为该圆的两条切线, A、 B 为两切点, 那么 PA ? PB 的最小值为 (A) ?4 ? 2 (B) ?3 ? 2 (C) ?4 ? 2 2 (D) ?3 ? 2 2

??? ? ??? ?

2. (2015 新课标 I,理 14)一个圆经过椭圆 圆的标准方程为 。

x2 y 2 ? ? 1 的三个顶点,且圆心在 x 轴上,则该 16 4

考点十 圆锥曲线

1. (2010 新课标 I,理 9)已知 F1、F2 为双曲线 C: x ? y ? 1的左、右焦点,点 P 在 C 上,∠
2 2

F1PF2= 60 0 ,则 P 到 x 轴的距离为

(A)

3 2

(B)

6 2

(C)

3

(D)

6

2. (2010 新课标 I,理 16)已知 F 是椭圆 C 的一个焦点, B 是短轴的一个端点,线段 BF 的延 长线交 C 于点 D ,且 BF ? 2FD ,则 C 的离心率为

uu r

uur

.

3. (2011 新课标 I,理 7)设直线 L 过双曲线 C 的一个焦点,且与 C 的一条对称轴垂直,L 与 C 交于 A ,B 两点, AB 为 C 的实轴长的 2 倍,则 C 的离心率为 (A) 2 (B) 3 (C)2 (D)3

4. (2011 新课标 I,理 14)在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C 的中心为原点,焦点 F1 , F2 在 x

轴上,离心率为 方程为

2 C的 。过 F 1 的直线 L 交 C 于 A, B 两点,且 V ABF2 的周长为 16,那么 2


5. (2012 新课标 I,理 4)设 F1F2 是椭圆 E :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点, P 为直线 a 2 b2

x?

3a ? E 的离心率为 上一点, ? F2 PF 1 是底角为 30 的等腰三角形,则 2 1 2 ? ? ( A) (B) (C ) ( D) 2 3 ? ?
2

6. (2012 新课标 I, 理 8)等轴双曲线 C 的中心在原点, 焦点在 x 轴上,C 与抛物线 y ? 16x 的准线交于 A, B 两点, AB ? 4 3 ;则 C 的实轴长为

( A) 2

(B) 2 2


(C ) ?


( D) ?
)的离心率为 ,则

7. (2013 新课标 I,理 4)已知双曲线 的渐近线方程为

A.

B.

C. y ? ?

1 x 2

D.

8. (2013 新课标 I, 理 10)已知椭 圆 E :

x2 y 2 过点 F 的 ? ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点为 F (3, 0) , a 2 b2

直线交椭圆于 A, B 两点。若 AB 的中点坐标为 (1, ?1) ,则 E 的方程为

x2 y 2 A. ? ?1 45 36

x2 y 2 B. ? ?1 36 27
2

x2 y 2 C. ? ?1 27 18
2

x2 y 2 D. ? ?1 18 9

9. (2014 新课标 I,理 4)已知 F 是双曲线 C : x ? my ? 3m(m ? 0) 的一个焦点,则点 F 到

C 的一条渐近线的距离为
A. 3 B .3

C . 3m
2

D . 3m

10. (2014 新课标 I,理 10)已知抛物线 C : y ? 8x 的焦点为 F ,准线为 l , P 是 l 上一点,

??? ? ??? ? Q 是直线 PF 与 C 的一个焦点,若 FP ? 4FQ ,则 | QF | =
A.

7 2

B.

5 2

C .3

D .2

11. (2015 新课标 I,理 5)已知 M(x0,y0)是双曲线 C:

x2 ? y 2 ? 1上的一点,F1、F2 是 C 2

上的两个焦点,若 MF 1 ? MF2 <0,则 y0 的取值范围是

???? ?

???? ?

(A) (-

3 3 3 3 2 2 2 2 2 3 2 3 , ) (B) (, )(C) (? , ) (D) (? , ) 3 3 3 3 3 3 6 6
2

12. (2010 新课标 I, 理 21)已知抛物线 C : y ? 4x 的焦点为 F, 过点 K (?1, 0) 的直线 l 与 C 相 交于 A 、 B 两点,点 A 关于 x 轴的对称点为 D . (Ⅰ)证明:点 F 在直线 BD 上; (Ⅱ)设 FA?FB ?

??? ? ??? ?

8 ,求 ?BDK 的内切圆 M 的方程 . 9

13.(2011 新课标 I,理 20)在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A(0,-1),B 点在直线 y = -3 上,M 点满足 MB / /OA , MA ? AB ? MB ? BA ,M 点的轨迹为曲线 C。 (Ⅰ)求 C 的方程; (Ⅱ)P 为 C 上的动点,l 为 C 在 P 点处得切线,求 O 点到 l 距离的最小值。

uuu r

uur

uuu r uu u r

uuu r uu r

2 14.(2012 新课标 I,理 20)设抛物线 C : x ? 2 py( p ? 0) 的焦点为 F ,准线为 l , A ? C ,

已知以 F 为圆心, FA 为半径的圆 F 交 l 于 B, D 两点;
0 (1)若 ?BFD ? 90 , ?ABD 的面积为 4 2 ;求 p 的值及圆 F 的方程;

(2)若 A, B, F 三点在同一直线 m 上,直线 n 与 m 平行,且 n 与 C 只有一个公共点,求 坐标原点到 m, n 距离的比值。

15.(2013 新课标 I,理 20)已知圆 外切并且与圆 内切,圆心 (Ⅰ)求 C 的方程; (Ⅱ) 是与圆 长时,求|AB|. ,圆

: 的轨迹为曲线 C.

,圆

:

,动圆



都相切的一条直线, 与曲线 C 交于 A,B 两点,当圆 P 的半径最

x2 y 2 3 16.(2014 新课标 I, 理 20)已知点 A (0, -2) , 椭圆 E : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 , a b 2
F 是椭圆的焦点,直线 AF 的斜率为
(Ⅰ)求 E 的方程; (Ⅱ)设过点 A 的直线 l 与 E 相交于 P, Q 两点,当 ?OPQ 的面积最大时,求 l 的方程.

2 3 , O 为坐标原点. 3

17.(2015 新课标 I,理 20)在直角坐标系 xoy 中,曲线 C:y= 与 M,N 两点, (Ⅰ)当 k=0 时,分别求 C 在点 M 和 N 处的切线方程;

x2 与直线 y ? kx ? a ( a >0)交 4

(Ⅱ)y 轴上是否存在点 P,使得当 k 变动时,总有∠OPM=∠OPN?说明理由。

考点十一 函数与导数、积分

1. (2011 新课标 I,理 9)由曲线 y ? (A)

x ,直线 y ? x ? 2 及 y 轴所围成的图形的面积为
(C)

10 3

(B)4

16 3

(D)6

2. (2012 新课标 I,理 12)设点 P 在曲线 y ? 小值为

1 x e 上,点 Q 在曲线 y ? ln(2 x) 上,则 PQ 最 2
(C ) 1 ? ln 2 ( D) 2(1 ? ln 2)

( A) 1 ? ln 2

(B)

2(1 ? ln 2)

3. (2013新课标I,理16)若函数 的最大值是______.

=

的图像关于直线 x ? ?2 对称,则

4. (2014 新课标 I,理 11)已知函数 f ( x ) = ax ? 3x ? 1 ,若 f ( x ) 存在唯一的零点 x0 ,且 x0
3 2

>0,则 a 的取值范围为

A .(2,+∞)

B .(-∞,-2)

C .(1,+∞)
x

D .(-∞,-1)

5. (2015 新课标 I,理 12)设函数 f ( x ) = e (2 x ? 1) ? ax ? a ,其中 a 1,若存在唯一的整数 x0,使得 f ( x0 ) A.[- ,1) 0,则 a 的取值范围是( )

B. [- , )

C. [ , )

D. [ ,1)

6. (2010 新课标 I,理 20)已知函数 f ( x) ? ( x ? 1) ln x ? x ? 1 . (Ⅰ)若 xf '( x) ? x ? ax ? 1 ,求 a 的取值范围;
2

(Ⅱ)证明: ( x ? 1) f ( x) ? 0 .

7.(2011 新课标 I,理 21)已知函数 f ( x) ? 方程为 x ? 2 y ? 3 ? 0 。 (Ⅰ)求 a 、 b 的值;

a ln x b ? ,曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线 x ?1 x

(Ⅱ)如果当 x ? 0 ,且 x ? 1 时, f ( x ) ?

ln x k ? ,求 k 的取值范围。 x ?1 x

x ?1 8.(2012 新课标 I,理 21)已知函数 f ( x ) 满足满足 f ( x) ? f ?(1)e ? f (0) x ?

1 2 x ; 2

(1)求 f ( x ) 的解析式及单调区间; (2)若 f ( x) ?

1 2 x ? ax ? b ,求 (a ? 1)b 的最大值。 2

9.(2013 新课标 I,理 21)已知函数 和曲线 (Ⅰ)求 , , ,







,若曲线

都过点 P(0,2),且在点 P 处有相同的切线 的值;(Ⅱ)若 ≥-2 时, ≤ ,求 的取值范围。

be x ?1 10.(2014 新课标 I,理 21)设函数 f ( x) ? ae ln x ? ,曲线 y ? f ( x) 在点(1, f (1) 处 x
x

的切线为 y ? e( x ? 1) ? 2 . (Ⅰ)求 a , b ; (Ⅱ)证明: f ( x) ? 1 .

11.(2015 新课标 I,理 21)已知函数 f(x)= x 3 ? ax ? (Ⅰ)当 a 为何值时,x 轴为曲线 y ? f ( x) 的切线; (Ⅱ)用 min

1 , g ( x) ? ? ln x 4

?m, n?

表示 m,n 中的最小值,设函数 h( x) ? min f ( x), g ( x)

?

?(x ? 0)



讨论 h(x)零点的个数

考点十二 排列组合及二项式定理

1. (2010 新课标 I,理 5) (1 ? 2 x )3 (1 ? 3 x )5 的展开式中 x 的系数是 (A) -4 (B) -2 (C) 2 (D) 4 2. (2010 新课标 I,理 6)某校开设 A 类选修课 3 门,B 类选择课 4 门,一位同学从中共选 3 门,若要求两类课程中各至少选一门,则不同的选法共有 (A) 30 种 (B)35 种 (C)42 种 (D)48 种 3. (2011 新课标 I,理 4)有 3 个兴趣小组,甲、乙两位同学各自参加其中一个小组,每位同 学参加各个小组的可能性相同,则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 (A)

1 3

(B)

1 2
5

(C)

2 3

(D)

3 4

a ?? 1? ? 4. (2011 新课标 I,理 8) ? x ? ?? 2 x ? ? 的展开式中各项系数的和为 2,则该展开式中常 x ?? x? ?
数项为 (A)-40 (B)-20 (C)20 (D)40

5. (2012 新课标 I,理 2)将 2 名教师, 4 名学生分成 2 个小组,分别安排到甲、乙两地参加 社会实践活动,每个小组由 1 名教师和 2 名学生组成,不同的安排方案共有

( A) 12 种

( B ) 10 种

(C ) ? 种

( D) ? 种


6. (2013 新课标 I,理 9)设 m 为正整数, 展开式的二项式系数的最大值为 A.5 B.6 C.7 D.8

展开式的二项式系数的最大值为 ,若 13a ? 7b ,则 m ?

7. (2014 新课标 I,理 5)4 位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动,则周六、 周日都有同学参加公益活动的概率

A.

1 8

B.

3 8

C.

5 8

D.
8

7 8
2 2

8. (2014 新课标 I, 理 13) ( x ? y)( x ? y) 的展开式中 x y 的系数为 9. (2015 新课标 I,理 10) ( x ? x ? y) 的展开式中, x y 的系数为
2 5 5 2

.(用数字写答案)

(A)10

(B)20

(C)30

(D)60

考点十三 概率与统计

1. (2012 新课标 I,理 15)某个部件由三个元件按下图方式连接而成,元件 1 或元件 2 正常工 作,且元件 3 正常工作,则部件正常工作,设三个电子元件的使用寿命(单位:小时)均服 从正态分布 N (1000,50 ) , 且各个元件能否正常相互独立, 那么该部件的使用寿命超过 1000 小时的概率为
2

2. (2013 新课标 I,理 3)为了解某地区的中小学生视力情况,拟从该地区的中小学生中抽取 部分学生进行调查, 事先已了解到该地区小学.初中.高中三个学段学生的 视力情况有较大差 异,而男女生视力情况差异不大,在下面的抽样方法中,最合理的抽样方法是 A.简单随机抽样 B.按性别分层抽样 C.按学段分层抽样 D.系统抽样 3. (2015 新课标 I,理 4)投篮测试中,每人投 3 次,至少投中 2 次才能通过测试。已知某同 学每次投篮投中的概率为 0.6,且各次投篮是否投中相互独立,则该同学通过测试的概率为 (A)0.648 (B)0.432 (C)0.36 (D)0.312

4. (2010 新课标 I,理 18)投到某杂志的稿件,先由两位初审专家进行评审.若能通过两位初 审专家的评审,则予以录用;若两位初审专家都未予通过,则不予录用;若恰能通过一位初 审专家的评审,则再由第三位专家进行复审,若能通过复审专家的评审,则予以录用,否则 不予录用.设稿件能通过各初审专家评审的概率均为 0.5,复审的稿件能通过评审的概率为 0.3,各专家独立评审. (I)求投到该杂志的 1 篇稿件被录用的概率; (II)记 X 表示投到该杂志的 4 篇稿件中被录用的篇数,求 X 的分布列及期望.

5. (2011 新课标 I,理 19)某种产品的质量以其质量指标值衡量,质量指标值越大表明质量越 好,且质量指标值大于或等于 102 的产品为优质品,现用两种新配方(分别称为 A 配方和 B 配方)做试验,各生产了 100 件这种产品,并测量了每件产品的质量指标值,得到下面试验 结果:

(Ⅰ)分别估计用 A 配方,B 配方生产的产品的优质品率; (Ⅱ)已知用 B 配方生成的一件产品的利润 y(单位:元)与其质量指标值 t 的关系式 为

从用 B 配方生产的产品中任取一件,其利润记为 X(单位:元) ,求 X 的分布列及数学 期望.(以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的 概率)

6. (2012 新课标 I,理 18)某花店每天以每枝 5 元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每 枝 10 元的价格出售,如果当天卖不完,剩下的玫瑰花作垃圾处理。 (1)若花店一天购进 16 枝玫瑰花,求当天的利润 y (单位:元)关于当天需求量 n (单位:枝, n ? N )的函数解析式。 (2)花店记录了 100 天玫瑰花的日需求量(单位:枝) ,整理得下表:

以 100 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率。 (i)若花店一天购进 16 枝玫瑰花, X 表示当天的利润(单位:元) ,求 X 的分布列, 数学期望及方差; (ii)若花店计划一天购进 16 枝或 17 枝玫瑰花,你认为应购进 16 枝还是 17 枝? 请说明理由。

7. (2013 新课标 I,理 19)一批产品需要进行质量检验,检验方案是:先从这批产品中任取 4 件作检验, 这 4 件产品中优质品的件数记为 n。 如果 n=3, 再从这批产品中任取 4 件作检验, 若都 为优质品,则这批产品通过检验;如果 n=4,再从这批产品中任取 1 件作检验,若为 优质品,则这批产品通过检验;其他情况下,这批产品都不能通过检验。假设这批产品的优 质品率为 50%,即取出的产品是优质品的概率都为,且各件产品是否为优质品相互独立 (1)求这批产品通过检验的概率; (2)已知每件产品检验费用为 100 元,凡抽取的每件产品都需要检验,对这批产品作质量 检验所需的费用记为 X(单位:元) ,求 X 的分布列及数学期望。

8. (2014 新课标 I,理 18)从某企业的某种产品中抽取 500 件,测量这些产品的一项质量指标 值,由测量结果得如下频率分布直方图:

(Ⅰ)求这 500 件产品质量指标值的样本平均数 x 和样本方差 s (同一组数据用该区间的中 点值作代表) ; (Ⅱ)由频率分布直方图可以认为,这种产品的质量指标值 Z 服从正态分布 N (?, ? ) ,其
2

2

中 ? 近似为样本平均数 x , ? 近似为样本方差 s 2 .
2

(i)利用该正态分布,求 P(187.8 ? Z ? 212.2) ; (ii)某用户从该企业购买了 100 件这种产品,学科网记 X 表示这 100 件产品中质量指标值 为于区间(187.8,212.2)的产品件数,利用(i)的结果,求 EX . 附: 150 ≈12.2. 若 Z ~ N (?, ? ) ,则 P( ? ? ? ? Z ? ? ? ? ) =0.6826, P(? ? 2? ? Z ? ? ? 2? ) =0.9544.
2

9. (2015 新课标 I,理 19)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费 x (单位:千元)对年销售量 y(单位:t)和年利润 z(单位:千元)的影响,对近 8 年的年 宣传费 xi 和年销售量 yi(i=1,2, · · · ,8)数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统 计量的值。

? x
46.6

? ? y

?? w
6.8

? ( xi ? x)2
i ?1

n

? (wi ? w)2
i ?1

n

? ( xi ? x)( yi ? y)
i ?1

n

? (w ? w)( y ? y)
i ?1 i i

n

56.3

289.8

1.6

1469

108.8

表中 w1 = x 1,



?? 1 w = 8

?w
i ?1

n

i

(Ⅰ)根据散点图判断,y=a+bx 与 y=c+d x 哪一个适宜作为年销售量 y 关于年宣传费 x 的 回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由) (Ⅱ)根据(Ⅰ)的判断结果及 表中数据,建立 y 关于 x 的回归方程; (Ⅲ)已知这种产品的年利率 z 与 x、y 的关系为 z=0.2y-x.根据(Ⅱ)的结果回答下列问 题: (i) 年宣传费 x=49 时,年销售量及年利润的预报值是多少?

(ii) 年宣传费 x 为何值时,年利率的预报值最大? 附:对于一组数据 (u1 , v1 ) , (u2 , v2 ) ,??, (un , vn ) ,其回归线 v ? ? ? ? u 的斜率和截距的 最小二乘估计分别为:

??

?=

? (u ? u )(v ? v)
i ?1 i i

n

? (u ? u )
i ?1 i

n

, ? =v ? ? u

? ?

? ?

2

考点十四 算法初步(程序框图)

1. (2011 新课标 I,理 3)执行右面的程序框图,如果输入的 N 是 6,那么输出的 p 是 (A)120 (B)720 (C)1440 (D)5040

2. (2012 新课标 I, 理 6)如果执行右边的程序框图, 输入正整数 N ( N ? 2) 和实数 a1 , a2 ,..., an , 输出 A, B ,则

( A) A ? B 为 a1 , a2 ,..., an 的和 (B)

A? B 为 a1 , a2 ,..., an 的算术平均数 2

(C ) A 和 B 分别是 a1 , a2 ,..., an 中最大的数和最小的数 ( D) A 和 B 分别是 a1 , a2 ,..., an 中最小的数和最大的数
3. (2013 新课标 I,理 5)运行如下程序框图,如果输入的 ,则输出 s 属于

A. [?3, 4]

B. [?5, 2]

C. [?4,3]

D. [?2,5]

4. (2014 新课标 I,理 7)执行下图的程序框图,若输入的 a, b, k 分别为 1,2,3,则输出的 M =

A.

20 3

B.

16 5

C.

7 2

D.

15 8

5. (2015 新课标 I,理 9)执行右面的程序框图,如果输入的 t=0.01,则输出的 n= (A)5 (B)6 (C)7 (D)8

考点十五 常用逻辑用语

1. (2015 新课标 I,理 3)设命题 P: ? n ? N, n2 > 2 ,则 ? P 为
n

(A) ? n ? N, n2 > 2

n

(B) ? n ? N, n2 ≤ 2
n

n

(C) ? n ? N, n2 ≤ 2

(D) ? n ? N, n2 = 2

n

考点十六 推理与证明

1. (2014 新课标 I,理 14)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过 A,B,C 三个城市时,

甲说:我去过的城市比乙多,但没去过 B 城市; 乙说:我没去过 C 城市; 丙说:我们三人去过同一个城市. 由此可判断乙去过的城市为 .

考点十七 复数

1. (2010 新课标 I,理 1)复数 (A)i (B) ?i

3 ? 2i ? 2 ? 3i
(C)12-13 i (D) 12+13 i

2. (2011 新课标 I,理 1)复数 (A) ? i

2?i 的共轭复数是 1 ? 2i 3 5
(C) ?i (D) i

3 5

(B) i

3. (2012 新课标 I,理 3)下面是关于复数 z ?

2 的四个命题:其中的真命题为 ?1 ? i

p1 : z ? 2
( A) p2 , p3

p2 : z 2 ? 2i
( B ) p1 , p2

p3 : z 的共轭复数为 1 ? i
(C ) p? , p?

p4 : z 的虚部为 ?1
( D) p? , p?

4. (2013 新课标 I,理 2)若复数 z 满足 (3 ? 4i) z ?| 4 ? 3i | ,则 z 的虚部为 A. ? 4 B. ?

4 5

C.4

D.

4 5

(1 ? i )3 5. (2014 新课标 I,理 2) = (1 ? i ) 2
A .1 ? i B .1 ? i

C . ?1 ? i

D . ?1 ? i

6. (2015 新课标 I,理 1)设复数 z 满足 (A)1 (B) 2 (C) 3

1+z =i,则|z|= 1? z
(D)2

考点十八 几何证明选讲

1. (2011 新课标 I,理 22)选修 4-1:几何证明选讲 如图, D , E 分别为 ?ABC 的边 AB , AC 上的点,且 不与 ?ABC 的顶点重合。已知 AE 的长为 n , AD , AB 的长 是关于 x 的方程 x 2 ? 14 x ? mn ? 0 的两个根。 (Ⅰ)证明: C , B , D , E 四点共圆; (Ⅱ)若 ?A ? 90? ,且 m ? 4, n ? 6 ,求 C , B , D , E 所在圆的半径。

2. (2012 新课标 I,理 22)选修 4-1:几何证明选讲 如图, D, E 分别为 ?ABC 边 AB, AC 的中点,直线 DE 交 ?ABC 的外接圆于 F , G 两点, 若 CF / / AB ,证明: (1) CD ? BC ; (2) ?BCD ? ?GBD

3. (2013 新课标 I,理 22)选修 4—1:几何证明选讲 如图,直线 AB 为圆的切线,切点为 B,点 C 在圆上,∠ABC 的角平分线 BE 交圆于点 E, DB 垂直 BE 交圆于 D。 (Ⅰ)证明:DB=DC; (Ⅱ)设圆的半径为 1,BC= 3 ,延长 CE 交 AB 于点 F,求△BCF 外接圆的半径。

4. (2014 新课标 I,理 22)选修 4—1:几何证明选讲 如图, 四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形, AB 的延长线与 DC 的延长线交于点 E, 且 CB=CE (Ⅰ)证明:∠D=∠E; (Ⅱ)设 AD 不是⊙O 的直径,AD 的中点为 M,且 MB=MC,证明:△ADE 为等边三角形.

5. (2015 新课标 I,理 22)选修 4-1:几何证明选讲 如图,AB 是圆 O 的直径,AC 是圆 O 的切线,BC 交圆 O 于 E (Ⅰ) 若 D 为 AC 的中点,证明:DE 是 ? O 的切线; (Ⅱ)若 OA ? 3CE ,求∠ACB 的大小.

考点十九 不等式选讲

1. (2011 新课标 I,理 24)选修 4-5:不等式选讲 设函数 f ( x) ? x ? a ? 3x ,其中 a ? 0 。 (Ⅰ)当 a ? 1 时,求不等式 f ( x) ? 3x ? 2 的解集; (Ⅱ)若不等式 f ( x) ? 0 的解集为 ?x | x ? ?1

?

,求 a 的值。

2. (2012 新课标 I,理 24)选修 4 ? 5 :不等式选讲 已知函数 f ( x) ? x ? a ? x ? 2 (1)当 a ? ?3 时,求不等式 f ( x) ? 3 的解集; (2)若 f ( x) ? x ? 4 的解集包含 [1, 2] ,求 a 的取值范围。

3. (2013 新课标 I,理 24)选修 4—5:不等式选讲 已知函数 (Ⅰ)当 (Ⅱ)设 = =2 时,求不等式 >-1,且当 ∈[ , , < )时, = .

的解集; ≤ ,求 的取值范围.

4. (2014 新课标 I,理 24)选修 4—5:不等式选讲 若 a ? 0, b ? 0 ,且
3 3

1 1 ? ? ab . a b

(Ⅰ) 求 a ? b 的最小值; (Ⅱ)是否存在 a , b ,使得 2a ? 3b ? 6 ?并说明理由.

5. (2015 新课标 I,理 24)选修 4—5:不等式选讲 已知函数 =|x+1|-2|x-a|,a>0. (Ⅰ)当 a=1 时,求不等式 f(x)>1 的解集; (Ⅱ)若 f(x)的图像与 x 轴围成的三角形面积大于 6,求 a 的取值范围

考点二十 坐标系与参数方程

1. (2011 新课标 I,理 23)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为

? x ? 2cos ? ( ? 为参数) ? ? y ? 2 ? 2sin ?
M 是 C1 上的动点,P 点满足 OP ? 2OM ,P 点的轨迹为曲线 C2 (Ⅰ)求 C2 的方程 (Ⅱ)在以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线 ? ? 点的交点为 A,与 C2 的异于极点的交点为 B,求 AB .

uu u v

uuuv

?
3

与 C1 的异于极

2. (2012 新课标 I,理 23)选修 4—4;坐标系与参数方程 已知曲线 C1 的参数方程是 ?

?x ? 2cos? (?为参数) ,以坐标原点为极点, x 轴的正半 ?y ? 3sin?

轴为极轴建立坐标系,曲线 C 2 的坐标系方程是 ? ? 2 ,正方形 ABCD 的顶点都在 C 2 上, 且 A, B, C , D 依逆时针次序排列,点 A 的极坐标为 (2, (1)求点 A, B, C , D 的直角坐标; (2)设 P 为 C1 上任意一点,求 PA ? PB ? PC ? PD 的取值范围。
2 2 2 2

?
3

)

3. (2013 新课标 I,理 23)选修 4—4:坐标系与参数方 程 已知曲线 C1 的参数方程为 ( 为参数) ,以坐标原点为极点, 轴的正

半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 (Ⅰ)把 C1 的参数方程化为极坐标方程; (Ⅱ)求 C1 与 C2 交点的极坐标(ρ ≥0,0≤θ <2π ) 。



4. (2014 新课标 I,理 23)选修 4—4:坐标系与参数方程

?x ? 2 ? t x2 y 2 已知曲线 C : ( t 为 参数). ? ? 1 ,直线 l : ? 4 9 ? y ? 2 ? 2t
(Ⅰ)写出曲线 C 的参数方程,直线 l 的普通方程; (Ⅱ)过曲线 C 上任一点 P 作与 l 夹角为 30 的直线,交 l 于点 A ,求 | PA | 的最大值与最小 值.
o

5. (2015 新课标 I,理 23)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,直线 C1 :

x = ? 2,圆 C2 : ? x ? 1? ? ? y ? 2 ? ? 1 ,以坐标原点为极
2 2

点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系。 (Ⅰ)求 C1 , C2 的极坐标方程; (Ⅱ) 若直线 C3 的极坐标方程为 ? ? 的面积

?
4

? ? ? R ? ,设 C2 与 C3 的交点为 M , N

,求 ?C2 MN


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高考全国卷文科数学2009-2015年试题分类汇编

高考全国卷文科数学2009-2015年试题分类汇编_高三数学_数学_高中教育_教育专区。...N ,则 P 的子集共有 A.2 个 B.4 个 C .6 个 D.8 个(2010 卷 1...

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2013-2015年高考新课标全国卷数学(文)试题分类汇编_数学_高中教育_教育专区。...年 2005 年 2006 年 2007 年 2008 年 2009 年 2010 年 2011 年 2012 年...

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近5年高考数学理科试卷(全国卷1)分类汇编--三角函数(解析版)(大题版)(2011年2012年2013年2014年2015年)_高考_高中教育_教育专区。2011 无,该年出了数列 2012...

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