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广东省汕头市2014届高三上学期期末调研考试数学(理)试题


绝密★启用前

试卷类型:A

2013---2014 年汕头市高三年级期末调研考试 数学(理科)
本试卷共 6 页,21 小题,满分 150 分.考试用时 120 分钟. 注意事项: 1.答卷前,考生首先检查答题卡是否整洁无缺损,监考教师分发的考生信息条形码是否正确;之后 务必用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写

自己的学校、姓名和考生号,同时,将 监考教师发放的条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区,请保持条形码整洁、不污损. 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦 干净后,再选涂其它答案,答案不能答在试卷上.不按要求填涂的,答案无效. 3.非选择题必须用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位 置上, 请注意每题答题空间,预先合理安排;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案; 不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.作答选做题时,请先用 2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再做答.漏涂、错涂、多涂的答 案无效. 5.考生必须保持答题卡的整洁,考试结束后,将答题卡交回. 参考公式:

2014.1

1 ① 体积公式: V柱体 ? S ? h,V锥体 ? S ? h ,其中 V , S , h 分别是体积、底面积和高; 3 n(ad ? bc)2 ② 独立性检验中的随机变量: K 2 ? ,其中 n ? a ? b ? c ? d 为样本容量. (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1.已知集合 A ? {0,1} , B ? {?1,0, a ? 3} ,且 A ? B ,则 a 等于 A. 1 B. 0 C. ?2 D. ?3 2.下列给出的定义在 R 上的函数中,既不是奇函数也不是偶函数的是 A. y ? 2
x

B. y ? x ? x
2

C. f ( x) ? x ? sin x
3

D. f ( x) ? e ? e
x

?x

3. 已知 e1 , e 2 是不共线向量, a ? 2e1 ? e2 , b ? ? e1 ? e2 ,当 a ∥ b 时,实数 ? 等于

A . ?1

B.0

C. ?

1 2

D . ?2

4. 三棱柱的侧棱与底面垂直,且底面是边长为 2 的等边三角形,其正视图(如图所示)的面 积为 8,则侧视图的面积为( ) A. 8 B. 4 C. 4 3 D. 3 ) 1 1 正视图

5.已知等比数列 {a n } 的公比为 2,且 a1 ? a3 ? 5 ,则 a2 ? a4 的值为 ( A.10 B.15 C.20 D.25

6.已知函数① y ? sin x ? cos x ,② y ? 2 2 sin x cos x ,则下列结论正确的是(



? , 0 ) 成中心对称 4 ? B.两个函数的图象均关于直线 x ? ? 对称 4 ? ? C.两个函数在区间 (? , ) 上都是单调递增函数 4 4 ? D.可以将函数②的图像向左平移 个单位得到函数①的图像 4
A.两个函数的图象均关于点 ( ?
7.若实数 a,b 满足 a ? 0, b ? 0, 且 ab ? 0 ,则称 a 与 b 互补,记 ? (a, b) ?

a 2 ? b 2 ? a ? b, ,

那么 ? ? a, b ? ? 0 是 a 与 b 互补的(



A.必要而不充分的条件 B.充分而不必要的条件 C.充要条件 D.即不充分也不必要的条件 8. 两人进行乒乓球比赛,先赢三局着获胜,决出胜负为止,则所有可能出现的情形(各人输赢 局次的不同视为不同情形)共有( ) A.10 种 B.15 种 C.20 种 D.30 种 二、填空题: (本大共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分,把答案填在答题卡的相应位置. ) (一)必做题(9-13 题) 9.复数

1 ? 2i 的虚部为___________________. 1? i
0 ln 3

10.计算 tan120 ? e

? log 3 3 3 ? 3 lg 10 ?

.

11.定义某种运算 ? , a ? b 的运算原理如右图所示. 设 f ( x) ? (0 ? x) x ? (2 ? x) .则 f (2) ? ___ 12.设 a ? ___.

?

?

0

sin xdx,则二项式(a x ?

1 6 ) 的展开式中含有 x 2 的项于 x

.

? x ? 2 y ? 0, 13.设实数 x , y 满足约束条件 ?2 x ? y ? 0, ,则目标函数 ? ? x 2 ? y 2 ? 2 x ? 2 y ? 0, ?
. (二)选做题(14—15 题,考生只能从中选做一题) 14. (坐标系与参数方程选做题)如图所示的极坐标系中,以 M (4, 为圆心,半径 r ? 1 的圆 M 的极坐标方程是 .

z ? x ? y 的最大值为

M

?
6

)
O x

15. (几何证明选讲选做题) 已知 PA 是圆 O 的切线, 切点为 A ,PA ? 2 .AC 是 圆 O 的 直 径 , PC 与 圆 O 交 于 点 B , PB ? 1 , 则 圆 O 的 半 径 . R? 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分。解答应写出文字说明,证明过程或 演算步骤。

16.(本小题满分 12 分) 已知数列 {an } 满足 a1 ? 0 , an ?1 ? 1 ? an (n ? N ) ,数列 {bn } 的前 n 项和为 S n ,

?

3 3 3 3 S1 ? 1, S2 ? 1, S 3 ? 1 , ……. S n ? 1 ……是首项和公比都为 4 的等比数列。 4 4 4 4 (Ⅰ)求数列 {an } 、 {bn } 的通项公式;
且数列 (Ⅱ)设数列 {an } 的前 n 项和为 Tn ,求

1 1 1 1 ? ? ? ??? ? 的值。 T2 T3 T4 Tn

17.(本小题满分 12 分)如图,在直角坐标系 xOy 中,角 ? 的顶点是原点,始边与 x 轴正半轴重合,终边交单

位 圆 于 点 A , 且 ? ??

? ?? ? ? , ? .将角 ? 的终边按逆时针方向旋转 ,交单位圆于点 B .记 6 ?3 2?

A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) .
(Ⅰ)若 x1 ?

1 ,求 x 2 ; 4

(Ⅱ)分别过 A, B 作 x 轴的垂线,垂足依次为 C , D .记△ AOC 的面积为

S1 ,△ BOD 的面积为 S 2 .若 S1 ? S 2 ,求角 ? 的值.

18.已知平行四边形 ABCD 中,AB=6,AD=10,BD=8,E 是线段 AD 的中点.沿直线 BD 将△BCD 翻折 成△ BC ?D ,使得平面 BC ?D ⊥平面 ABD. C? (Ⅰ)求证: C?D ? 平面 ABD; (Ⅱ)求直线 BD 与平面 BEC ? 所成角的正弦值; B C

A

E

D

19. 2013年2月20日,针对房价过高,国务院常务会议确定五条措施(简称 “国五条” 为此,记者对某城市的工 ).

薪阶层关于 “国五条” 态度进行了调查,随机抽取了60人,作出了他们的月收入的频率分布直方图(如图), 同时得到了他们的月收入情况与“国五条”赞成人数统计表(如下表): 月收入(百 元) [15,25) [25,35) [35,45) [45,55) [55,65) [65,75) 赞成人 数 8 7 10 6 2 1

(I)试根据频率分布直方图估计这 60 人的平均月收入; (Ⅱ)若从月收入(单位:百元)在[15,25),[25,35)的被调查者中各随机选取 3 人进行追踪调查,记选中的 6 人中不赞成 “国五条” 的人数为 X,求随机变量 X 的分布列及数学期望.

20. (本小题满分 14 分)为稳定房价,某地政府决定建造一批保障房供给社会.计划用 1 600 万元购得一块 土地,在该土地上建造 10 幢楼房的住宅小区,每幢楼的楼层数相同,且每层建筑面积均为 1 000 平方米, 每平方米的建筑费用与楼层有关, x 层楼房每平方米的建筑费用为(kx+800)元(其中 k 为常数) . 第 经测算, 若 每 幢 楼 为 5 层 , 则 该 小 区 每 平 方 米 的 平 均 综 合 费 用 为 1 270 元 . ( 每 平 方 米 平 均 综 合 费 用 = 购地费用+所有建筑费用 ). 所有建筑面积 (1)求 k 的值; (2)问要使该小区楼房每平方米的平均综合费用最低,应将这 10 幢楼房建成多少层?此时每平方米的平 均综合费用为多少元?

? x 3 ? ax 2 ? a 2 x ? 21.(本小题满分 14 分)设 a 为实数,函数 F ( x) ? ? 1 3 2 2 ? x ? ax ? a x ?3
(Ⅰ) 求函数 g (x) 的解析式; (Ⅱ)求函数 g (x) 的最小值; (Ⅲ)当 x ? a 时,求函数 f ( x) ? F ( x) ? x 的单调递增区间。

( x ? a) ( x ? a)
的导函数为 g (x)

2013—2014 学年(上)期末统考理科数学参考答案
一、选择题:CBDCA,CCB 8、解析:先分类:3:0,3:1,3:2 共计 3 类,当比分为 3:0 时,共有 2 种情形;当比分为 3:1 时,共有 2C 3 种情 形;当比分为 3:2 时,共有 2C 4 种情形;总共有 2+6+12=20 种,选 B. 二、填空题:9、
2
2

1 , 10、 2
4

0



11、

-2

, 12、 ? 192 x ,(若写为-192,
2

给 3 分),13、

, 14、 ? 2 ? 8? cos( ? ?

?
6

) ? 15 ? 0 , 15、 3



三、解答题: 16、 (本题主要考查等差、等比数列的概念、通项公式、前 n 项和公式等基本知识,简单的数列求和方法 等,属于容易的题型) 解:(Ⅰ)由题意知: a n ?1 ? a n ? 1, n ? N , a1 ? 0 , 所以数列 {a n } 是以 0 为首项,公差等于 1 的等差数列, 所以 a n ? a1 ? (n ? 1)d ? n ? 1 ;…………………………(3 分)
?

3 4 S n ? 1 ? 4 ? 4 n ?1 ? 4 n ,所以 S n ? (4 n ? 1) …………………………(5 分) 4 3 4 所以(1)当 n ? 1时, b1 ? S1 ? (4 ? 1) ? 4 3 4 n 4 n?1 n (2)当 n ? 2 时, bn ? S n ? S n?1 ? (4 ? 1) ? (4 ? 1) ? 4 3 3
又由题意可得: 检验 n ? 1时也符合,所以 bn ? 4 …………………………(7 分)
n

(Ⅱ)由(Ⅰ)知: Tn ?

n(a1 ? a n ) (n ? 1)n …………………………(9 分) ? 2 2

所以当 n ? 2 时,

1 2 1 1 ? ? 2( ? ) …………………………(10 分) Tn (n ? 1)n n ?1 n

所以

1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 ? ? ? ??? ? ? 2(1 ? ) ? 2( ? ) ? ....... ? 2( ? ) ? 2 ? …(12 分) T2 T3 T4 Tn 2 2 3 n ?1 n n

17、 (本题主要考查三角函数的定义与三角恒等变形,求值以及运用三角函数的知识解决问题的能力,属 于中档题) (Ⅰ)解:由三角函数定义,得 x1 ? cos ? , x2 ? cos( ? ? 因为 ? ? ?

?
6

) …………………(3 分)

1 ?? ? ? , ? , cos? ? , 4 ?3 2?

15 ?1? 所以 sin ? ? 1 ? cos ? ? 1 ? ? ? ? 4 ?4?
2

2

…………………(4 分)

所以 x 2 ? cos? ? ?

? ?

??

3 1 3 ? 15 cos? ? sin ? ? …………………(7 分) ?? 6? 2 2 8

(Ⅱ)解:依题意得 y1 ? sin ? , y 2 ? sin(? ? 所以 S1 ?

?
6

).

1 1 1 x1 y1 ? cos ? ? sin ? ? sin 2? , …………………(8 分) 2 2 4 1 1 ? ? 1 ? S 2 ? | x2 | y 2 ? sin(? ? ) | cos( ? ) |? ? sin(2? ? ) ……………(9 分) ? 2 2 6 6 4 3

依题意得 sin 2? ? ? sin(2? ? 整理得 tan 2? ? ? 因为

?

3

) ? ? sin 2? cos

?

3

? cos 2? sin

?

3

,

3 3

……………(10 分)

?
3

?? ?

?
2

, 所以

所以 2? ?

5? , 即 6

2? ? 2? ? ? , 3 5? ……………(12 分) ?? 12

(注意:如果学生没有通过合理的运算得到正确的结果,而是自己估计所得到结果,给 3 分) 18、证明:证明: (Ⅰ)平行四边形 ABCD 中,AB=6,AD=10,BD=8, 沿直线 BD 将△BCD 翻折成△ BC ?D 可知 CD=6,BC’=BC=10,BD=8, 即 BC '2 ? C ' D2 ? BD2 , ??????2 分 C ' D ? BD . ∵平面 BC ?D ⊥平面 ABD ,平面 BC ?D ? 平面 ABD = BD , C?D ? 平面 BC ?D , ∴ C?D ? 平面 ABD . ??????5 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 C?D ? 平面 ABD,且 CD ? BD , 如图,以 D 为原点,建立空间直角坐标系 D ? xyz . ??????(6 分) 则 D(0,0,0) , A(8,6,0) , B(8,0,0) , C '(0,0,6) . z ∵E 是线段 AD 的中点, ??? ? C? ∴ E (4,3,0) , BD ? (?8,0,0) . ??? ? ???? ? x 在平面 BEC ? 中, BE ? (?4,3,0) , BC ' ? (?8,0,6) , ? B 设平面 BEC? 法向量为 n ? ( x, y, z ) , ??? ? ? ? BE ? n ? 0 ??4 x ? 3 y ? 0 ? ∴ ? ???? ? ,即 ? , ? ??8 y ? 6 z ? 0 ? BC ' ? n ? 0 ? ? D A E 令 x ? 3 ,得 y ? 4, z ? 4 ,故 n ? (3,4,4) .??????(9 分) 设直线 BD 与平面 BEC ? 所成角为 ? ,则 ? ??? ? ? ??? ? | n ? BD | 3 41 ? sin ? ?| cos ? n, BD ?|? ? ??? ? .??????(10 分) 41 | n | ? | BD | y

C

3 41 ∴ 直线 BD 与平面 BEC ? 所成角的正弦值为 . ??????(11 分) 41 ? (Ⅲ)由(Ⅱ)知平面 BEC? 的法向量为 n ? (3,4,4) , ???? ? 而平面 DBE 的法向量为 DC ? ? (0,0,6) ,??????(12 分)

? ???? ? ? ???? ? n? ?D C 4 41 ? ∴ cos ? n, C ?D ?? ? ???? ? , ??????(13 分) 41 | n | ? | C ?D | 因为二面角 D ? BE ? C? 为锐角, 4 41 所以二面角 D ? BE ? C? 的余弦值为 . ??????(14 分) 41 19、解: (Ⅰ)这 60 人的月平均收入为:
(5 (20 ? 0.015 ? 30 ? 0.015 ? 40 ? 0.025 ? 50 ? 0.02 ? 60 ? 0.01) ? 10 ? 43.5 (百元) 分) (Ⅱ)根据频率分布直方图可知道:

??????(7 分)

??(12 分) (每算对一个一分,正确给出 x 的取值 1 分,共 5 分)

??????(14 分)

(正确写出分布列 1 分,正确算出期望值 1 分)
20、解: (Ⅰ)当每栋楼建为 5 层时,那么每栋楼的建筑费用为:

{(k ? 1 ? 800 ) ? (k ? 2 ? 800 ) ? (k ? 3 ? 800 ) ? (k ? 4 ? 800 ) ? (k ? 5 ? 800 )} ? 1000
??????(1 分)

? (15k ? 5 ? 800 ) ? 1000 ? 5(3k ? 800 ) ? 1000
所有 10 栋楼的建筑总费用为: 50(3k ? 800 ) ? 1000 ??????(2 分) 所有楼房的建筑总面积为 10 ? 5 ?1000 (温馨提示:不要急于计算)??(3 分) 所以该小区楼房每平方米的平均综合费用为

1600 ? 10000 ? 50(3k ? 800 ) ? 1000 1600 ? 5(3k ? 800 ) ? 10 ? 5 ? 1000 5 ? 320 ? 3k ? 800 ? 1270 所以 k ? 50 ??????(6 分)
(Ⅱ)假设将这 10 栋楼房都建设为 n 层,那么我们需要弄清楚以下几个问题: (1) 每栋楼的建筑费用:

[50(1 ? 2 ? 3 ? ......? n) ? 800 n] ? 1000 ? [50 ?
??????(8 分) n(n ? 1) ? 800 n] ? 10000 ? [25n(n ? 1) ? 800 n] ? 1000 2

(2) 这 10 栋楼的总建筑面积 10000n 平方米??????(9 分) (3) 所以该小区楼房每平方米的平均综合费用为:

1600 ? 10000 ? [25 n(n ? 1) ? 800 n] ? 10000 1600 ? 25 n(n ? 1) ? 800 n ? 10000 n n (12 分) 1600 1600 ? ? 25n ? 800 ? 25 ? 2 ? 25n ? 800 ? 25 ? 1250 (元) n n
当且仅当

1600 ? 25n ( n ? N ? ) ,即 n ? 8 时平均综合费用最小,最小值为 1250 元 n
???(14 分)

?3 x 2 ? 2ax ? a 2 ? 21、解: (Ⅰ)可求得 g ( x ) ? ? 2 ? x ? 2ax ? a 2 ?

( x ? a) ( x ? a)

???(2 分)

? 2 a 2a 2 3 x ? 2ax ? a 2 ? 3( x ? ) 2 ? ? (Ⅱ)由于 g ( x) ? ? 3 3 ? x 2 ? 2ax ? a 2 ? ( x ? a ) 2 ? 2a 2 ?
(1) 当 a ? 0 时, g ( x) min ? ?2a ???(4 分)
2

( x ? a) ( x ? a)

???(3 分)

(2) 当 a ? 0 时, g ( x) min ?

2a 2 ???(5 分) 3
? g ( a ) ? 2 a 2 ( a ? 0) ? ?? a ; 2a 2 g( ) ? ( a ? 0) ? 3 ? 3

f (x 详解如下:当 x ? a 时, g (x) ? 3x 2 ? 2ax ? a 2 , g (x) min

f (x 当 x ? a 时, g( x))? x ? 2ax ? a , g ( x ) min
2 2

2 ? ? g ( ? a ) ? ?2 a ( a ? 0) ?? ? g ( a ) ? 2 a 2 ( a ? 0) ?

(x ∴综上 gf(x)) min

??2a 2 ? a ? 0 ? ? ? ? 2a 2 ? a ? 0? ? ? 3
3 2 2

(Ⅲ)当 x ? a 时, f ( x) ? F ( x) ? x ? x ? ax ? (a ? 1) x 所以 f ( x) ? 3x ? 2ax ? (a ? 1)
/ 2 2 2 2

( x ? a) ???(6 分)
2

先求 ? ? (?2a) ? 12(a ? 1) ? 4(3 ? 2a ) 分类讨论如下: (1) 当 ? ? 0 ,即 a ? ?

6 6 / 2 2 或a ? 时, f ( x) ? 3x ? 2ax ? (a ? 1) ? 0 在 x ? a 时恒成立,所以 2 2

函数 f (x) 的单调增区间为 (a,??) ???(7 分)

(2) 当 ? ? 0 ,即 ?

6 6 2 2 时,方程 3x ? 2ax ? (a ? 1) ? 0 在 R 上有两个不相等的实数根 ?a? 2 2

x1 ?

a ? 3 ? 2a 2 a ? 3 ? 2a 2 , x2 ? ,显然 x1 ? x2 ;我们注意到 x ? a ,因此我们有必要对 3 3

x1 , a, x 2 的大小进行比较。此时可作如下的分类讨论:???(9 分)
① 当 a ? x1 即 a ?
/ 2

a ? 3 ? 2a 2 6 2 时,在(2)的大前提下,可解得: ? ?a?? 3 2 2
2

此时 f ( x) ? 3x ? 2ax ? (a ? 1) ? 0 在 x ? a 时的解集为 (a, x1 ] ? [ x2 ,??) , 所以函数 f (x) 的增区间为

( a,

a ? 3 ? 2a 2 a ? 3 ? 2a 2 ] 与[ ,??) 。???(10 分) 3 3 a ? 3 ? 2a 2 a ? 3 ? 2a 2 2 2 ?a? ?a? 时, (2) 在 的大前提下, 可解得:? , 3 3 2 2
2

②当 x1 ? a ? x 2 即
/ 2

此 时 f ( x) ? 3x ? 2ax ? (a ? 1) ? 0 在 x ? a 时 的 解 集 为 [ x 2 ,??) , 所 以 函 数 f (x) 的 增 区 间 为

a ? 3 ? 2a 2 [ ,??) 。???(11 分) 3
③当

a ? x2

即a?

a ? 3 ? 2a 2 2 6 ?a? 时,在(2)的大前提下,可解得: ,此时 3 2 2

f / ( x) ? 3x 2 ? 2ax ? (a 2 ? 1) ? 0 在 x ? a 时的解集为 (a,??) , 所以函数 f (x) 的增区间为 (a,??) ???
(12 分) 综上所述: (1) 当 a ? ?

6 2 或a ? 时,函数 f (x) 的增区间为 (a,??) 2 2

(2) 当 ?

6 2 ?a?? 时,函数 f (x) 的增区间为 2 2

( a,

a ? 3 ? 2a 2 a ? 3 ? 2a 2 ] 与[ ,??) 3 3

a ? 3 ? 2a 2 2 2 ,??) ???(14 分) ?a? (3) 当 ? 时,函数 f (x) 的增区间为 [ 3 2 2


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