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函数的概念和函数的表示法教案-人教版数学高一上必修1第一章1.2.1,1.2.2


人教版 数学教案 第一章 1.2

高一必修一

第一章 集合与函数概念 1.2 函数及其表示 1.2.1-1.2.2 函数的概念和函数的表示法 1 教学目标
1.1 知识与技能: [1] 理解函数的概念,了解构成函数的三要素. [2] 会判断给出的两个函数是否是同一函数. [3] 能正确使用区间表示数集. [4] 函数的三种表示

方法,并会求简单函数的定义域和值域. [5] 通过实例体会分段函数的概念. [6] 了解映射的概念及表示方法,并会判断一个对应关系是否是映射.

1.2 过程与方法



[1] 通过具体实例,体会函数的概念和函数三要素,会求简单函数的定义域和值域。 [2] 通过观察、画图等具体动手,体会分段函数的概念。 [3] 通过具体习题,了解映射的概念,并会判断一个对应关系是否是映射. 1.3 情感态度与价值观 : [1] 通过学习函数的概念及其表示法以及相关练习,培养学生逻辑思维。 [2] 通过细致作图,培养学生的动手能力和识图能力。

2 教学重点/难点/易考点
2.1 教学重点 [1] 函数的三种表示方法。 [2] 分段函数的概念。 2.2 教学难点 [1] 根据不同的需要选择恰当的方法表示函数, 什么才算 “恰当” ?分段函数的表示及其图象. [2] 会求函数的定义域和值域。

3 专家建议
此节为高中数学函数的第一节内容, 一定要让学生充分理解函数的概念, 结合具体习题提升学 生的逻辑思维和数学素养。

4 教学方法

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实例探究——归纳总结,提炼概念——补充讲解——练习提高

5 教学用具
多媒体,教学用直尺、三角板。

6 教学过程
6.1 引入新课 【师】 同学们好。 初中的时候我们就接触过函数, 并掌握了一次函数, 二次函数和反比例函数。 这节课我们来继续进一步学习和函数有关的内容。 【板书】 第一章 集合与函数概念 1.2 函数及其表示

6.2 新知介绍 [1] 函数的概念 【师】下面请同学们看三个实例,看有什么不同点和相同点。 【板演/PPT】PPT 演示三个实例。 【师】 那我们现在可以发现不同点是三个实例分别用解析式,图像和表格刻画变量之间的对 应关系。相同点是都有两个非空数集,并且两个数集之间都有一种确定的对应关系。由此我们 可以得出函数的概念。 【板演/PPT】函数的概念。 【师】请大家理解函数的概念,并从中找出关键词。理解什么事定义域,什么事值域。 【板书】 一、函数的概念 设 A,B 是非空的数集,如果按照某种确定的对应关系 f,使对于集合 A 中的任意一个数 x , 在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应,那么就称 f:A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个 函数,记作 y=f(x),x∈A.其中,x 叫做自变量,x 的取值范围 A 叫做函数的定义域;与 x 的 值相对应的 y 值叫做函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域. 【师】请大家注意,函数概念中的关键词: (1) A,B 是非空数集. (2)任意的 x∈A,存在唯一的 y∈B 与之对应. (3)构成函数的三要素:定义域、值域、对应关系(f:A→B). 【师】请大家完成及时训练和例 1. 【板书】 第
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即时训练: 下列可作为函数 y= f (x)的图象的是( )

例 1:已知函数 f ( x) ? x ? 3 ?

1 , x?2

2 (1)求函数的定义域.(2)求 f ( ?3), f ( ) 的值. 3

(3)当 a>0 时,求 f(a),f(a-1)的值.

[2] 函数相等
x2 【师】请大家思考:y=x 与 y ? 是同一函数吗? x

【生】不是,定义域不同 【师】请大家思考:两个函数相等与表示自变量和函数值的字母有关吗? 【生】因为函数是两个数集之间的对应关系,所以至于用什么字母表示自变量是无关紧要的, 如 f(x)=3x+4 与 f(t)=3t+4 表示相等函数. 【师】如何判断两个函数是否为同一函数? 【生】构成函数的三个要素是对应关系 f、定义域 A、值域{f(x)|x∈A},只有当这三要素完全 相同时,两个函数才能称为同一函数.由于值域是由定义域和对应关系决定的,所以,如果两 个函数的定义域和对应关系完全一致,即称这两个函数相等(或为同一函数). 【板书】 二、函数相等 如果两个函数的定义域和对应关系完全一致,即称这两个函数相等(或为同一函数). 【师】请大家完成例 2. 【板书】 例 2:下列函数中哪个与函数 y=x 相等( )



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A. y ? ( x ) 2 C. y ? x
2

B. y ?

3

x3

x2 D. y ? x

[3] 区间的概念 【师】现在我们来看一下区间的概念,以及课本 17 页的表格区间的几何表示。 【板书】 三、区间的概念 设 a,b 是两个实数,而且 a<b.我们规定: ⒈满足不等式 a≤x≤b 的实数 x 的集合叫做闭区间,表示为 [a,b]. ⒉满足不等式 a<x<b 的实数 x 的集合叫做开区间,表示为 (a,b). ⒊满足不等式 a≤x<b 或 a<x≤b 的实数 x 的集合叫做半开半闭区间,分别表示为 [a,b) , (a, b],这里的实数 a 与 b 都叫做相应区间的端点.

[4] 函数的三种表示方法 【师】在初中我们学习了函数的哪几种表示法?每种表示法的意思是什么? 【生】不同函数有三种表示法,即解析法、图象法、列表法. 解析法:用数学表达式表示两个变量之间的对应关系. 图象法:用图象表示两个变量之间的对应关系. 列表法:列出表格来表示两个变量之间的对应关系. 【师】下面我们对这三种方法进行详细的分析. 【板书】 四、函数的三种表示方法 1、解析法 2、图像法 3、列表法 【师】下面我们对这三种方法进行详细的分析. 优点 解析法 ①函数关系清楚; ②容易从自变量的值求出其 对应的函数值; ③便于研究函数的性质. 列表法 不必通过计算就知道当自变量取某些值时函数的 只适用于自变量数目较少的 对应值. 图像法 能形象直观的表示出函数的变化情况. 函数. 不精确 缺点 不够形象直观,而且并不是所 有的函数关系式都可以用数 学式子表示.



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【师】下面我们完成下面的例题,来具体体会下函数的不同表示方法。 【板书】 例 3:某种笔记本的单价是 5 元,买 x( x ?{1, 2,3, 4,5}) 个笔记本需要 y 元.试用函数的三种表示 法表示函数 y=f(x). 例 4:下表是某校高一(1)班三名同学在高一学年度六次数学测试的成绩及班级平均分表. 测试号 成绩 姓名 王伟 张城 赵磊 班级平均分 98 90 68 88.2 87 76 65 78.3 91 88 73 85.4 92 75 72 80.3 88 86 75 75.7 95 80 82 82.6 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次

请你对这三位同学在高一学年度的数学学习情况做一个分析.

[5] 分段函数 【师】现在我们通过下面这个例题来体会下分段函数的概念。 【板书】 五、分段函数 例 5:画出函数 y ?| x | 的图象. 例 6:某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定: (1)5 公里以内(含 5 公里),票价 2 元; (2)5 公里以上,每增加 5 公里,票价增加 1 元(不足 5 公里的按 5 公里计算). 如果某条线路的总里程为 20 公里,请根据题意, 写出票价与里程之间的函数解析式,并画出函数的图象. 【师】由此我们可以得出:分段函数在它的定义域中,对于自变量的不同取值范围,对应关系 不同. [6]映射 【师】我们来看映射的概念。



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【板书】 六、映射 一般地,设 A、B 是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应关系 f,使对于集合 A 中的任 意一个元素 x, 在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应, 那么就称对应 f:A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个映射. 【师】大家思考下:若对应是映射,必须满足哪两个条件? 【生】1、A 中任何一个元素在 B 中都有元素与之对应 2、A 在 B 中所对应的元素是唯一的. 【师】我们来看下面的例题。 【板书】 例7 以下给出的对应是不是从集合 A 到 B 的映射?

(1)集合 A={P|P 是数轴上的点}, 集合 B=R, 对应关系 f: 数轴上的点与它所代表的实数对应; (2)集合 A={P|P 是平面直角坐标系中的点},集合 B={(x,y)| x∈R,y∈R},对应关系 f: 平面直角坐标系中的点与它的坐标对应; (3)集合 A={x|x 是三角形},集合 B={x|x 是圆},对应关系 f:每一个三角形都对应它的内 切圆; (4)集合 A={x|x 是新华中学的班级},集合 B={x|x 是新华中学的学生},对应关系 f:每一 个班级都对应班里的学生.

[7]小结 【师】现在我们来总结一下,不同三角形的三条高都有这节课我们都学了哪些内容(投影)。 一、 函数的概念 1、函数的三要素:定义域,值域,对应区间 2、区间的概念 3、函数的相等 二、函数的表示法:解析法,图相法(分段函数),列表法 三、映射

6.3 复习总结和作业布置 [1] 课堂练习 1、下列图象中能作为函数图象的是( D ).



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2、下列两个函数是否表示同一个函数?
(1) f ( x) ?| x |; g (t ) ? t 2 x2 ? 4 ; g ( x) ? x ? 2 x?2 (3) f ( x) ? x 2 , g ( x) ? ( x ) 4 (2) f ( x) ? (4) f ( x) ? x, x ? [0,1], f ( x) ? x 2 , x ? [0,1],

解:(1)是 (2)不是,定义域不同 (3) 不是,定义域不同 (4) 不是,对应关系不同 3、求下列函数的定义域: (1) y ? 2 ?
3 (2) y ? 3 ? x ? x ?1 x?2

解:(1)当且仅当 x-2≠0,即 x≠2 时,函数有意义,所以这个函数的定义域为{x| x≠2 }. (2)要使函数有意义,当且仅当 3-x≥0,且 x-1≥0,解得 1≤x≤3,所以函数的定义域为 {x| 1≤x≤3 }. 4、求下列函数的值域:
(1) y ? x ?1(2) y ? x2 ? 4x ? 6, x ?[1,5]

解:(1) [1, ??) (2) [2,11]

? x 2 ? 2, ( x ? ?1) ? 5、已知函数 f ( x) ? ? x 2 , (?1 ? x ? 2) ,若 f ( x) ? 3 ,则 x 的值是( D ) ?2 x, ( x ? 2) ? 3 A.1 B.1, 2 3 C.1, ? 3, D. 3 2
6、集合 A={a,b,c},B={d,e},则从 A 到 B 可以建立不同的映射个数为( C A.5 B.6 C.8 D.9 第
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7、已知 f(x)=3x-2, x∈{0,1,2,3,5},求 f(0), f(3)和函数的值域. 解:
f (0) ? 3 ? 0 ? 2 ? ?2 ,值域为 {?2,1, 4, 7,13} 。 f (3) ? 3 ? 3 ? 2 ? 7

[2] 作业布置 1、完成配套课后练习题 2、预习下一节内容。

7 板书设计
第一章 集合与函数概念 1.2 函数及其表示 一、函数的概念 设 A,B 是非空的数集,如果按照某种确定的对应关系 f,使对于集合 A 中的任意一个数 x , 在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应,那么就称 f:A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个 函数,记作 y=f(x),x∈A.其中,x 叫做自变量,x 的取值范围 A 叫做函数的定义域;与 x 的 值相对应的 y 值叫做函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域. 即时训练: 下列可作为函数 y= f (x)的图象的是( )

例 1:已知函数 f ( x) ? x ? 3 ?

1 , x?2

2 (1)求函数的定义域.(2)求 f ( ?3), f ( ) 的值. 3

(3)当 a>0 时,求 f(a),f(a-1)的值.

二、函数相等 如果两个函数的定义域和对应关系完全一致,即称这两个函数相等(或为同一函数). 例 2:下列函数中哪个与函数 y=x 相等( )



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A. y ? ( x ) 2 C. y ? x
2

B. y ?

3

x3

x2 D. y ? x

三、区间的概念 设 a,b 是两个实数,而且 a<b.我们规定: ⒈满足不等式 a≤x≤b 的实数 x 的集合叫做闭区间,表示为 [a,b]. ⒉满足不等式 a<x<b 的实数 x 的集合叫做开区间,表示为 (a,b). ⒊满足不等式 a≤x<b 或 a<x≤b 的实数 x 的集合叫做半开半闭区间,分别表示为 [a,b) , (a, b],这里的实数 a 与 b 都叫做相应区间的端点.

四、函数的三种表示方法 1、解析法 2、图像法 3、列表法 例 3:某种笔记本的单价是 5 元,买 x( x ?{1, 2,3, 4,5}) 个笔记本需要 y 元.试用函数的三种表示 法表示函数 y=f(x). 例 4:下表是某校高一(1)班三名同学在高一学年度六次数学测试的成绩及班级平均分表. 测试号 成绩 姓名 王伟 张城 赵磊 班级平均分 98 90 68 88.2 87 76 65 78.3 91 88 73 85.4 92 75 72 80.3 88 86 75 75.7 95 80 82 82.6 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次

请你对这三位同学在高一学年度的数学学习情况做一个分析.

五、分段函数 例 5:画出函数 y ?| x | 的图象. 例 6:某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定: (1)5 公里以内(含 5 公里),票价 2 元;



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(2)5 公里以上,每增加 5 公里,票价增加 1 元(不足 5 公里的按 5 公里计算). 如果某条线路的总里程为 20 公里,请根据题意, 写出票价与里程之间的函数解析式,并画出函数的图象.

六、映射 一般地,设 A、B 是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应关系 f,使对于集合 A 中的任 意一个元素 x, 在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应, 那么就称对应 f:A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个映射. 例7 以下给出的对应是不是从集合 A 到 B 的映射?

(1)集合 A={P|P 是数轴上的点}, 集合 B=R, 对应关系 f: 数轴上的点与它所代表的实数对应; (2)集合 A={P|P 是平面直角坐标系中的点},集合 B={(x,y)| x∈R,y∈R},对应关系 f: 平面直角坐标系中的点与它的坐标对应; (3)集合 A={x|x 是三角形},集合 B={x|x 是圆},对应关系 f:每一个三角形都对应它的内 切圆; (4)集合 A={x|x 是新华中学的班级},集合 B={x|x 是新华中学的学生},对应关系 f:每一 个班级都对应班里的学生.



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