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青云学府高二数学国庆节作业一(解三角形、数列)

时间:2017-06-27


青云学府高二数学国庆节作业一
班级 一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1.数列 1,3,6,10,…的一个通项公式是( (A)an=n -(n-1)
2

姓名


n( n + 1) 2

(B)an=n -1

2

( C ) a n

=

( D ) a n= )

n( n ? 1) 2

2.在△ABC 中,若 a = 2 , b = 2 3 , A = 300 , 则 B 等于( A. 60 B. 60 或 120 C. 30 )

D. 30 或 150

3.在数列 1,1,2,3,5,8, x,21,34,55 中, x 等于( A.11 B.12 C.13 D.14

4.△ABC 中,

cos A a = ,则△ABC 一定是( cos B b

)

A.等腰三角形

B.直角三角形

C.等腰直角三角形 D.等边三角形 )

5.等比数列 {a n } 中, a 2 = 9, a 5 = 243, 则 {a n } 的前 4 项和为( A. 81 B.120 C.168 D.192

6.已知{an}是等差数列,且 a2+ a3+ a8+ a11=48,则 a6+ a7= ( A.12 B.16 C.20

) D.24 )

7.等差数列 {an } 的前 m 项和为 30,前 2m 项和为 100,则它的前 3m 项和是( A.130 B.170 C.210 D.260 )

1 a +a +a +a 8.已知等比数列 {an } 的公比 q = ? ,则 1 3 5 7 等于( 3 a2 + a4 + a6 + a8 1 1 B. ?3 C. 3 3 9.已知数列 3 ,3, 15 ,…, 3( 2n ? 1) ,那么 9 是数列的(

A. ?

D. 3 ) (D)第 15 项 )

(A)第 12 项 (B)第 13 项

(C)第 14 项

10.等差数列{an}共有 2n+1 项, 其中奇数项之和为 4, 偶数项之和为 3, n 的值是( 则 A.3 B.5 C.7 D.9
1

11.已知△ABC 中,a=4,b=4 3 ,∠A=30°,则∠B 等于( A.30° B.30°或 150° C.60°

)

D.60°或 120°

12.在△ABC 中,∠A=60°,a= 6 ,b=4,满足条件的△ABC( (A)无解 (B)有解 (C)有两解

)

(D)不能确定

二、填空题(每小题 4 分,共 16 分)
1 13.在 ?ABC 中, 若 a = 3, cos A = ? ,则 ?ABC 的外接圆的半径为 2

14.在△ABC 中,若 a 2 = b 2 + bc + c 2 , 则A =



15.黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案:

则第 n 个图案中有白色地面砖

块.

16. 已 知 钝 角 △ ABC 的 三 边 a=k , b=k+2 , c=k+4 , 求 k 的 取 值 范 围 --------------. 。

解答应写出文字说明, 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算 解答题 本大题共 小题, 步骤. 步骤. 17. (本小题满分 12 分)在△ABC 中, A = 1200 , a = 21, S ABC = 3 ,求 b, c 。

2

18. (本小题满分 12 分)已知数列{an } 是一个等差数列,且 a2 = 1 , a5 = ?5 。 (Ⅱ)求{an } 前 n 项和 Sn 的最大值. (Ⅰ)求{an } 的通项 an ;

19. (本小题满分 12 分)已知 A 、 B 、 C 为 ?ABC 的三内角,且其对边分别为 a 、 b 、

c ,若 cos B cos C ? sin B sin C =

1 . 2

(Ⅰ)求 A ; (Ⅱ)若 a = 2 3 , b + c = 4 ,求 ?ABC 的面积.

20、 (本小题满分 12 分)已知数列 {an } 的前 n 项和 S n = n 2 ? 48n 。 (1)求数列的通项公式; (2)求 S n 的最大或最小值。

3

21. (本小题满分 12 分)某房地产开发商投资 81 万元建一座写字楼,第一年装修费 为 1 万元,以后每年增加 2 万元,把写字楼出租,每年收入租金 30 万元. (Ⅰ)若扣除投资和各种装修费,则从第几年开始获取纯利润?

22. (本小题满分 14 分)设数列 {a n } 的前项 n 和为 S n ,若对于任意的正整数 n 都有 S n = 2a n ? 3n . (1)设 bn = an + 3 ,求证:数列 {bn } 是等比数列,并求出 {a n } 的通项公式。 (2)求数列 {nan } 的前 n 项和.

4

青云学府高二数学国庆节作业一
一、选择 CBCAB 二、填空 三、解答 DCBCA 13、 3 DA 14、 14、120° 15. 4n+2 16. (2,6)

答案

1 17、 由 S ABC = bc sin A, a 2 = b 2 + c 2 ? 2bc cos A , 解: 即……, b = 4, c = 1 或 b = 1, c = 4 。 得 2

?a1 + d = 1 , 18、 (Ⅰ)设 {an } 的公差为 d ,由已知条件, ? 18、解: ?a1 + 4d = ?5
解出 a1 = 3 , d = ?2 . 所以 an = a1 + (n ? 1)d = ?2n + 5 . (Ⅱ) S n = na1 +
n(n ? 1) d = ? n 2 + 4n = 4 ? (n ? 2)2 . 2

所以 n = 2 时, Sn 取到最大值 4 . 19、 (Ⅰ)∵ cos B cos C ? sin B sin C = 19、解:
∴ cos( B + C ) =
1 2 1 2

又∵ 0 < B + C < π ,∴ B + C =
∵ A + B + C = π ,∴ A =

π
3

2π . 3

(Ⅱ)由余弦定理 a 2 = b 2 + c 2 ? 2bc ? cos A 得 (2 3 ) 2 = (b + c) 2 ? 2bc ? 2bc ? cos
2π 3

1 即: 12 = 16 ? 2bc ? 2bc ? (? ) ,∴bc = 4 2

∴ S ?ABC =

1 1 3 = 3. bc ? sin A = ? 4 ? 2 2 2

? S1 = ?47 (n = 1) ? 20、解: (1) an = ? ? S n ? S n ?1 = ? = 2n ? 49 (n ≥ 2) ?
5

= 2n ? 49
(2)由 an = 2n ? 49 ≤ 0 ,得 n ≤ 24 。 ∴当 n=24 时, S n = ( n ? 24) 2 ? 576 有最小值:-576 21、 (Ⅰ)设第 n 年获取利润为 y 万元 21、解: n 年共收入租金 30n 万元,付出装修费构成一个以 1 为首项,2 为公差的等差数列, 共n +
n(n ? 1) × 2 = n2 2

因此利润 y = 30n ? (81 + n 2 ) ,令 y > 0 解得: 3 < n < 27 所以从第 4 年开始获取纯利润. 22、解: (1)∵ S n = 2a n ? 3n 对于任意的正整数都成立, ∴ S n+1 = 2a n +1 ? 3(n + 1) 两式相减,得 S n+1 ? S n = 2a n +1 ? 3(n + 1) ? 2a n + 3n ∴ a n +1 = 2a n+1 ? 2a n ? 3 , 即 a n +1 = 2a n + 3
∴ a n+1 + 3 = 2(a n + 3) ,即 bn =
an +1 + 3 = 2 对一切正整数都成立。 an + 3

∴数列 {bn } 是等比数列。 由已知得 S1 = 2a1 ? 3 即 a1 = 2a1 ? 3,∴ a1 = 3

∴首项 b1 = a1 + 3 = 6 ,公比 q = 2 ,∴ bn = 6 ? 2n ?1 。∴ an = 6 ? 2n ?1 ? 3 = 3 ? 2n ? 3 。
(2) ∵ nan = 3 × n ? 2 n ? 3n, ∴ S n = 3(1 ? 2 + 2 ? 22 + 3 ? 23 + ? + n ? 2n ) ? 3(1 + 2 + 3 + ? + n), 2 S n = 3(1 ? 22 + 2 ? 23 + 3 ? 24 + ? + n ? 2n +1 ) ? 6(1 + 2 + 3 + ? + n), ? S n = 3(2 + 22 + 23 + ? + 2 n ) ? 3n ? 2n +1 + 3(1 + 2 + 3 + ? + n), 2(2 n ? 1) 3n( n + 1) ? 6n ? 2 n + 2 ?1 2 3n(n + 1) ∴ S n = (6n ? 6) ? 2 n + 6 ? . 2 = 3?
6