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函数复习(一)

时间:2015-02-22


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函数复习(一)
1.不等式 log2 ( x ?

1 ? 6) ? 3 的解集为 x

2.已知函数 f ( x) ? ?

? x 2 ? 1, x ? 0 ,则满足不等式 f (1 ? x 2 ) ? f (2x) 的 x 的取值范围是 1 , x ? 0 ?



3.设函数 f ( x) ? x | x ? a | ,若对于任意 x1 , x2 ? [2,??) 且 x1 ? x 2 ,不等式 则实数 a 的取值范围是 4.函数 y ? 。
x 2 ?5 x ? 4

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 恒成立, x1 ? x2

x 2 ? 2x ? 2

的最小值为



5.若函数 f ( x) ? loga (2x 2 ? x)(a ? 0, a ? 1) 在区间 (0, ) 内恒有 f ( x) ? 0 ,则函数 y ? f ( x) 的单调递 增区间是 。

1 2

6.设 F ( x) ? f ( x) ? f (? x), x ? R, [?? ,?

?
2

] 是函数 F(x)的单调递增区间,将 F(x)的图象按 a ? (? ,0) 平

移得到一个新的函数 G(x)的图象,则 G(x)的单调递减区间是 7.记函数 f ( x) ? 3 ? x 2 sin x 在区间[-2,2]上的最大值为 M,最小值为 m,那么 M+m= 8. 定义在 (??,0) ? (0,??) 上的奇函数 f ( x), 在(0,??) 上为增函数, 当 x>0 时, f ( x) 的图象如图所示. 则 不等式 x[ f ( x) ? f (? x)] ? 0 的解集是

9.定义在 R 上的函数 f ( x) 满足 f ( x ? ) ? f ( x) ? 0 ,且函数 y ? f ( x ? ) 为奇函数,给出下列命题: ①函数 f ( x) 的最小正周期是

3 2

3 4

3 3 ;②函数 y ? f ( x) 的图象关于点 (? ,0) 对称;③函数 y ? f ( x) 的图象关 2 4

于 y 轴对称。其中正确命题的序号是 10. 若 n – m 表示[m,n( ] m<n) 的区间长度, 函数 f ( x) ? 则实数 a 值为 .

a ? x ? x (a ? 0) 的值域区间长度为 2( 2 ? 1) ,

2 11. 已知 f ? x ? ? x ? px ? q 和 g ? x ? ? x ?

4 5 是定义在 A ? { x | 1≤ x ≤ }上的函数,对任意的 x ? A , x 2

存在常数 x0 ? A ,使得 f ? x ? ≥ f ? x0 ? , g ? x ? ≥ g ? x0 ? ,且 f ? x0 ? = g ? x0 ? ,则 f ? x ? 在 A 上的最大值 为 。

?a, 12 . 对于任意实数 a , b ,定义 min{ a ,b }? ? ?b,
h( x) ? min{ f ( x ), g ( x )} 的最大值是__________ .

a? b, 设函数 f ( x) ? ? x ? 3, g ( x ) ? log 2 x ,则函数 a?b .

1

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13 .已知集合 C1 ? {( x, y) | y ?

x ? 4} , C2 ? {( x, y) | y ? | x | ?4} , C3 ? {( x, y) | y ? 4 ? x} ,

C4 ? {( x, y) | y ? 4? | x |} ,给出以下四个命题:
① C1 ?C 2 ;② C4 ?C 3 ;③ (C1 ?C 3 ) ? (C2 ? C4 ) ;④ (C1 ?C 3 ) ? (C2 ? C4 ) 其中正确命题的序号是 。

14.已知点 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y 2 ) 是函数 y ? sin x(?? ? x ? 0) 上的两个不同点,且 x1 ? x 2 ,给出下列 四个不等式:①

x ? x2 sin x1 sin x2 1 ;② sin x1 ? sin x2 ;③ (sin x1 ? sin x 2 ) ? sin 1 ;④ ? 2 2 x1 x2

sin

x1 x ? sin 2 。其中正确不等式的序号是 2 2
2

15. 设奇函数 f ? x ? 在区间 ??11 函数 f ? x ? ? t ? 2at ?1 , , , 1 ? 时, ? 上是增函数,且 f ? ?1? ? ?1 。当 x ???1 对一切 a ?? ?1,1? 恒成立,则实数 t 的取值范围为

16.设函数 f ( x ) ? lg

?i
i ?1

m ?1

x

? mxa m
,其中 a ? R, m 是给定的正整数,且 m ? 2 ,如果不等式 .

f ( x) ? ( x ?1) lg m 在区间 [1, ??) 有解,则实数 a 的取值范围是
17.已知 f ( x) 是定义在实数集 R 上的函数。 (1)求证: f ( x) 可以表示为一个偶函数 g ( x) 与一个奇函数 h( x) 的和; (2)若 f ( x) ? 2 ,
x

①求出(1)中的 g ( x) 与 h( x) 的解析式; ②若 g (2 x) ? ah( x) ? 0 对任意 x ? (0,1) 恒成立,求实数 a 的取值范围。 18.已知函数 f ( x) ? 2 ? k ? 2
x ?x

, k 为实常数且 k ? 0

(1)当 k ? ?1 时,求函数 y ? f ( x) 的图像的对称中心; (2)当 k ? 9 时,如果 x ? (1,2) ,求此时 f ( x) 的最小值 (3)当 k ? ?3 时,请你探索函数 y ? f ( x) 的图像是否有对称中心?如果有,请求出一个对称中心,如果 没有请说明理由。

2

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19.对于定义域为 D 的函数 y ? f ( x) ,若同时满足:① f ( x) 在 D 内单调递增或单调递减;②存在区间 [ a , b ] ? D ,使 f ( x) 在 [ a, b] 上的值域为 [ a, b] ;那么把函数 y ? f ( x) ( x ? D )叫做闭函数. (Ⅰ)求闭函数 y ? ? x 3 符合条件②的区间 [ a, b] ; (Ⅱ)判断函数 f ( x) ? (Ⅲ)若 y ? k ?

3 1 x ? ( x ? 0) 是否为闭函数?并说明理由; 4 x

x ? 2 是闭函数,求实数 k 的取值范围.

20.对于函数 f ( x) ,若存在 x0 ? R ,使 f ( x0 ) ? x0 成立,则称 x0 为 f ( x) 的不动点。已知函数

f ( x) ? ax2 ? (b ? 1) x ? (b ? 1)(a ? 0) ⑴ 当 a ? 1 , b ? 2 时,求函数的不动点; ⑵ 若对任意实数 b ,函数 f ( x) 恒有两个不相等的不动点,求实数 a 的取值范围; ⑶ 在⑵的条件下,若 y ? f ( x) 图像上 A,B 两点的横坐标是函数 f ( x) 的不动点,且 A,B 两点关于直线 1 y ? kx ? 2 对称,求 b 的最小值。 2a ? 1

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