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对数函数的图像及性质


执教人:唐件生
2015年1月17日

复习回顾:
1、指数式与对数式的互化

指数式
幂:N>0

对数式

真数:N>0

a ?N
b
底数:a>0 且a≠1

b ? loga N

r />底数:a>0 且a≠1

2、引入课题
(1)、在细胞分裂中,得到细胞个数y与分裂次 数x是一个指数函数

y?2

x

x ? log2 y

y=log2x

(2)庄子曰:“一尺之棰,日取其半,万世不竭.” 则剩余的长度l与时间t也是一个指数函数:

?1? l ? ? ? ?2?

t

t=log1/2l ?对数形式 ?自变量在

对 数 函 数

真数位置 ?底数是常量

二:知识新授
1.对数函数: 一般地,我们把形如 y ? loga x(a ? 0, 且a ? 1) 的函数

叫做对数函数
(其中 X 是自变量, 定义域为(0,+?)。)

●典例探究

下列函数表达式中,是对数函数的有( B ) ①y=logx2; ②y=log(-2)x; ③y=log8x; ④y=2log4x ⑤y=lnx; ⑥y=log2(x+1). A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

方法小结:判断一个函数是否是对数函数,必须 满足4个条件: (1)函数右边只含一个项 (2)这个项系数为1. (3)底数为大于0且不等于1的常数. (4)真数为自变量x.

巩固练习
1、判断下列函数哪些是对数函数:

? y ? 4 log 2 x ? y ? log 0 .3 x ? 1 ? y ? log a x , ( a ? R ) ④y=2log 4(x-1)(x>1) ⑤y=lg x(x>0) ⑥ y ? log x 4 ⑤ 其中,是对数函数的是 ________ .(只填序号)

探究1:
1.在同一坐标系中用描点法画出对数函数

y ? log2 x和y ? log1 x
2

的图象。

作图步骤 : 1.列表

2.描点

3.连线

画出y=log2x图象

列 表

X

1/4
-2

1/2
-1

1
0

2
1

4
2



y=log2x
y



描 点
连 线

2 1 0 -1
11 42

1

2

3

4

x

-2

x

1/4
-2 2

1/2
-1 1

1
0 0

2
1 -1

4
2 -2

列 表 描 点 连 线

y=log2x
y ? log 1 x
y 2 1 0 -1
11 42

2

1

2

3

4

x

这两个函数的图象 有什么关系呢?

-2

关于x轴对称

探究2:

画出 y
y

y ? log 1 x y ? log4 x; y ? log1 x ; ? log3 x;
3
4

的图像

当a>1时,y=logax 5在 (0,+∞)为增函数 4321|

y ? log2 x

y ? log3 x
y ? log4 x
| | | | | | | | |

定点(1,0)
| | | | |

结论2:对数函数在第一象限内 的图像,越接近X轴,底数越大
| |

-1-2-3-4-5-

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14 15 16

17

x

y ? log1 x
4

当0<a<1时,y=logax 3 结论1:底数互为倒数的两个对数函数的图像 y ? log1 x 在(0,+∞)为减函数
关于X轴对称
2

y ? log1 x

a>1
x a>1) y y ? loga (
图象

y

0<a<1 y ? loga ( x 0<a<1)
(1, 0 )

x

x ?1
定义域 值域

定点
单调性

结论3:底数和真数的范围相同,则对数大于 0; (0, ?? ) 底数和真数的范围不同,则对数小于 0; 如:log1.059.8 比如 > R :log0.39<0 同正异负 ( 1,0 ) 比如 :log 0.8>0 0 0.5 如 :log 0.8 < 0 3 在(0, ??)上是减函数 在(0, ??)上是增函数

特别注意:真数>0

函数值 的符号 特点

loga x ? 0 loga x ? 0 0 ? a ? 1且x ? 1时, a ? 1且x ? 1时,

当x=1时,总有loga1=0

a ? 1且0 ? x ? 1时,loga x ? 0 0 ? a ? 1且0 ? x ? 1时, loga x ? 0

o

O (1, 0 )

O

x

o

x ?1

例题讲解 例2.求下列函数的定义域: (1) y=logax2 (2) y ? lg(2 ? x) 解: (1)要使函数有意义,必有 x2>0
(2)要使函数有意义,必有
x?2 ? ? x?2 ?? ?? ?lg(2 ? x) ? lg1 ?2 ? x ? 1

?x ? 0

所以函数y=logax2的定义域为 ?-???? ? (0,+??
2-x>0.....(1) lg(2-x)≥0......(2)

所以原函数的定义域为 ?? ?,1?

?x ? 2 ?? ?x ?1

?x ? 1

[思路点拨]

求与对数有关的函数的定义域, 除考虑使根式、

分式有意义外,还要考虑使对数有意义,即真数大于零,底 数大于零且不等于 1.

巩固练习二
1、求下列函数的定义域

(1) y ? log2 ( x ? 4)
2

? x2 ? 4 ? 0

?? ?,?2?U ?2,??? ?函数的定义域为
2

? x ? ?2或x ? 2

(2) y ? log1 ( x ? 3)
? x ?3 ? 0 ? ? ?log ( x ? 3) ? 0 1 ? ? 2
?6 ? 4 x ? 0 ? ? ? x ?1 ? 0 ? x ?1 ? 1 ?

?x ? 3 ?? ?x ? 4

?3 ? x ? 4

?3,4? ?定义域为

(3) y ? logx ?1 (6 ? 4 x)
3 ? x ? ? 2 ? ? ? x ? ?1 ?x?0 ?

? 3? ?定义域为?? 1,0? U ? 0, ? ? 2?

例3.比较下列各组数中两个数的大小:

(1)log 2 3.4, log 2 8.5

解 因为函数 y ? log2 x 在 ?0,?? ? 上是增函数 : 而3.4<8.5 ? log2 3.4 ? log2 8.5
?

构造函数 y ? log2 x

(2)log 0.31.8 > log 0.3 2.7 构造函数 y=log x 0.3

(3)log a 5.1,log a 5.9 5 1< . loga 5 9 . 当 a ? 1 时 loga
5 1> . loga 5 9 . 当0<a<1 时 loga

1 1 因为log2 6 ? , log3 6 ? lg6 2 lg6 3 ? log2 6 ? log3 6 而 log6 2 ? lg6 3

(4) log2 6; log3 6

(5) log56,log65
? log5 6 ? log5 5
又 Q log6 5 ? log6 6

? log5 6 ? 1
? log6 5 ? 1

? log5 6>log6 5

比较两个对数的大小方法有: ①同底不同真,则用单调性去判或当底数不确定时分类讨论; ?同真不同底,则可用换底公式化为同底,再进行比较或利用图像 数形结合去判定 ?底数、真数都不同,则常借助 0,1 等中间量进行比较。

巩固练习三
1、下列式子正确的是( D)
A) lg 5 ? lg10;
C ) log0.3 0.5 ? log0.3 0.6
B) log1 6 ? log1 5
2 2

D) log1.5 1.4 ? log1.5 1.6

2、比较下列各组数中两个数的大小:

(1)lg6   8 lg

> (3)log ?     . < log 08 (4) log 5 > log 5
3 3 0 5 . 0 6 .

(2)log2 0 5    . log2 0 6 .

<

2

3

3、 已知下列不等式,比较正数m,n 的大小 (1) log 3 m < log 3 n (2) log 0.3 m > log 0.3 n (3) log a m < loga n (0<a<1) (4) log a m > log a n (a>1)
(1) m < n (3) m > n (2) m < n (4) m > n

小结:
本节课我们学习了:

①、对数函数的定义:注意底数、真数的范围;
②、探究对数函数的图象及性质:定义域、值 域、过点、单调性;(共性异性源于a) ③、应用性质比较两个对数: (同底不同真、同真不同底、底真都不同);

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作业:
? 课本P79页习题T1、T2;

谢谢大家莅临指导!


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