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郸城一高2012-2013学年度高三年级数 学 试 题(理科)


2012-2013 学年度高三年级数 学 试 题(理 科)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的.) 1.设集合 P ? ?3,log2 a? , Q ? ?a, b? ,若 P ? Q ? ?0? ,则 P ? Q ? ( A. ?3, 0? 2. 复数 B. ?3,0,1? C. ?3

,0,2? D. ?3,0,1,2? )

3?i 3?i ? 的虚部为( ) 2?i 2?i A. 2i B.— 2i C.2 4 12 , 则 sin c 的值为( 3.在 ? ABC 中, sin A ? , cos B ? ) 5 13 63 33 33 13 33 63 或 或 A、 B、 C、 D、 65 65 65 65 65 65

D.-2

4.从一个棱长为 3 的正方体中切去一些部分,得到一个几何体,其三视图如图, 则几何体的体积为( ) A.3 B.7 C.9 D.18 5.运行如右所示的程序框图,输入下列四个函数,则可以输出的函数是 ( ) A. f ( x) ? x2 B. f ( x) ? cos 2 x C. f ( x) ? e x D. f ( x) ? sin ? x

? x ? y ?3?0 1 ? 6 . 设 实 数 x, y 满 足 ? y ? x ? 0 2 ? ? x ?1? 0
( A. ? ,2? ?2 ? )

, 则

u?

y x ? x y

的取值范围为

?1 ?

B. ?? ,2? ? 3 ?

? 2 ?

C.

? 2 3? ?? 3 , 2 ? ? ?

D. ?? , ? ? 2 2?

? 3 3?

7. 已 知

O

是 ?ABC 所 在 平 面 的 一 点 , 且 满 足 OA ?

sin A (OB ? OA ) sin A ? sin B

?

sin B (OC ? OA ) ? 0 ,则点 O ( ) sin B ? sin A A.在 AB 边上 B.在 AC 边上 C. 在 BC 边上

D. 在 ?ABC 的内部
2

8.定义在 R 上的函数 f ( x) 满足 f ( x ? 6) ? f ( x) .当 ?3 ? x ? ?1 时, f ( x) ? ?( x ? 2) ,当 ?1 ? x ? 3 时, f ( x) ? x .则 f (1) ? f (2) ? f (3) ? ??? ? f (2012) ? A. 335 B.338 C.1678 D.2012 ( )

9.定义域为[ a , b ]的函数 y ? f ( x) 图像的两个端点为 A、B,M(x,y)是 f ( x ) 图象上任意一点,其中
1

x ? ?a ? (1 ? ? )b , ? ? ?0,1? .已知向量 ON ? ?OA ? ?1 ? ? ?OB ,若不等式 MN ? k 恒成立,则称函数
f (x)在[a,b]上“k 阶线性近似”.若函数 y ? x ? 范围为( ) B. ?

1 在[1,2]上“k 阶线性近似”,则实数 k 的取值 x

A.[0,+∞)

?1 ? ,?? ? ?12 ?

C. ? ? 2 ,?? ?

?3 ?2

? ?

D. ? ? 2 ,?? ?

?3 ?2

? ?

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? 0, b ? 0) 上不存在点 P 使得右焦点 F 关于直线 OP(O 为双曲线的中心)的 a2 b2 对称点在 y 轴上,则该双曲线离心率的取值范围为 ( )
10.若双曲线 A. ( 2, ??) B. [ 2, ??) C. (1, 2] D. (1, 2)

11. 定 义 在 R 上 的 可 导 函 数 f ( x ) , 当 x ? (1, ??) 时 , f ( x) ? f '( x) ? xf '( x) 恒 成 立 ,

1 f (3) , c ? ( 2 ? 1) f ( 2) ,则 a, b, c 的大小关系为 2 A. c ? a ? b B. b ? c ? a C. a ? c ? b D. c ? b ? a a ? f (2) , b ?
12. 已知数列





满足

,一颗质地均匀的正方体骰子,其六 个面上的点数

分别为 1,2,3,4,5,6,将这颗骰子连续抛掷三次,得到的点数分别记为 a,b,c 则集合 {a,b,c}={a1,a2,a3}
(A) (B) (C) (D)

的概率是(



S
E
A

二、填空题:(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题中横线上)
H G 13. 三棱锥 S ? ABC 中,E 、F 、 、H 分别为 SA 、AC 、BC 、SB 的中点, 则截面 EFGH
将三棱锥 S ? ABC 分成两部分的体积之比为 14.如图, 用一块形状为半椭圆 x 2 ? .

F

B y2 ? 1 ( y ? 0) 的铁皮截取一个以短轴 BC 为底的等腰梯形 4

G
(第 13 题图)

C

ABCD ,记所得等腰梯形 ABCD 的面积为 S ,则

1 的最小值是 S



y A

15.已知等比数列 ?an ? 的首项 a1 ? 8 ,令 bn ? log2 an , Sn 是数列 ?bn ? 的前 n 项和,若

D

S3 是数列 ?Sn ? 中的唯一最大项,则 ?an ? 的公比 q 的取值范围是

.

B
16.在平面直角坐标系中,若点 A, B 同时满足:①点 A, B 都在函数 y ? f (x) 图象上;

o

C

x

x ②点 A, B 关于原点对称.则称点对 ? A, B ? 是函数 y ? f (x) 的一个“姐妹点对”,当函数 g ( x) ? a ? x ? a ,

(a ? 0, a ? 1) 有“姐妹点对”时, a 的取值范围是

.

三、解答题: (共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 10 分)
2

已知等比数列 {an }满足an?1 ? an ? 9 ? 2n?1 , n ? N * . (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn,若不等式 Sn ? kan ? 2对一切n ? N * 恒成立,求实数 k 的取值范 围. 18. (本小题满分 12 分)如图,面积为 S 的正方形 ABCD 中有一个不规则的图形 M ,可按下面方法估计 M 的面积:在正方形 ABCD 中随机投掷 n 个点,若 n 个点中有 m 个点落入 M 中,则 M 的面积的估计值

m S ,假设正方形 ABCD 的边长为 2, M 的面积为 1,并向正方形 ABCD 中随机投 n D 掷 10000 个点,以 X 表示落入 M 中的点的数目. (I)求 X 的均值 EX ; (II)求用以上方法估计 M 的面积时, M 的面积的估计值与实际值之差在区间 (?0.03, ) 内的概率. ????
为 附表: P(k ) ?

C
M

?C
t ?0

k

t 10000

? 0.25t ? 0.7510000?t

A

B

k P(k )

2424

0.0403

2425 0.0423

2574 0.9570

2575 0.9590

. 19. (本大题满分 12 分) 某校高二年级共有学生 1000 名,其中走读生 750 名, 住宿生 250 名,现从该年级采用分层抽样的方法从 该年级抽取 n 名学生进行问卷调查,根据问卷取得 了这 n 名同学每天晚上有效学习时间(单位:分钟) 的数据,按照以下区间分为八组:[0,30),[30,60), [60,90),[90, 120),[120,150),[150,180) ,[180,210), [210.240), 得到频率分布直方图如右图,已知抽 取的学生中每天晚上有效学习时间少于 60 分钟的 人数为 5 人. (1)求 n 的值并求有效学习时间在[90,120)内的 频率; (2)如果把“学生晚上有效时间达到两小时”作为是否充分利用时间的标准,对抽取的 n 名学生,下 列 2×2 列联表,问:是否有 95%的把握认为 学生利用时间是否充分与走读、住宿有关?
[来源:Zxxk.Com]

(3)若在第①组、第②组、第⑦组、第⑧组中共抽出 3 人调查影响有效利用时间的原因,记抽到“有 效学习时间少于 60 分钟”的学生人数为 X,求 X 的分布列及期望. 参考公式: K ?
2

n(ad ? bc)2 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

参考列表:
3

12 分 20.(本小题满分 12 分)如图,在直三棱柱 ABC— A1 B1C1 中, AA1 ? 2, AB = 1, ?ABC ? 900 ;点 D、E 分别在 BB1、A 1 D 上,且 B1 E ? A1 D ,四棱锥 C ? ABDA 与直三棱柱的体积之比为 3:5。 1

(1)求异面直线 DE 与 B1C1 的距离; (2)若 BC = 2 ,求二面角 A1 ? DC1 ? B1 的平面角的正切值。 21. (本小题满分 12 分 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 上的点均在圆 C2 : ( x ? 5)2 ? y 2 ? 9 外,且对 C1 上任意一点 M , M 到直线 x ? ?2 的距离等于该点与圆 C2 上点的距离的最小值. (1)求曲线 C1 的方程; (2)设 P( x0 , y0 )( y0 ? ?3) 为圆 C2 外一点,过 P 作圆 C2 的两条切线,分别与曲线 C1 相交于点 A, B 和

C , D .证明:当 P 在直线 x ? ?4 上运动时,四点 A, B, C, D 的纵坐标之积为定值.
22. (本小题满分 12 分) 已知函数 g ( x ) ?

1 m ?1 ? ln x 在[1,+∞)上为增函数,且 ? ? ?0, ? ? , f ( x) ? mx ? ? ln x ,m ∈R. x x ? sin ?

(1)求θ 的值; (2)若 f ( x) ? g ( x) 在[1,+∞)上为单调函数,求 m 的取值范围; (3)设 h( x) ?

2e ,若在[1,e]上至少存在一个 x0 ,使得 f ( x0 ) ? g ( x0 ) ? h( x0 ) 成立,求 m 的取值范围. x

4


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