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武汉市部分重点中学2012-2013学年度上学期期中联考高二数学答案(理)

时间:2012-11-09


高二数学(理)参考答案 一.选择题
题号 答案 1 A 2 B 3 C 4 D 5 A 6 C 7 A 8 B 9 B 10 D

二.填空题 11. ? 5 12. ? ?
? ,? 1? ? ? 14 ? , ?? ? ? 3 ? ?

13. 抛物线

14. 2

2

15. 2

三.解答题
16.解:设 G ( x, y ) , A ( x 0, y 0 ) ,由重心公式,
? 2 ? 1 ? x0 ? ?x ? 3 得? y0 ? y ? 3 ?
? x0 ? 3x ? 1 ?? ? y0 ? 3 y



………………………………….4’

又∵

A ( x 0, y 0 )

在抛物线 y

? x

2

上,∴
2

y0 ? x0

2



②…………………….6’

将①代入②,得 3 y ? ( 3 x ? 1) , …………………………………………….10’ 又 A , B , C 不共线,所以 y 0 ? 0 ,? y ? 0 即所求曲线方程是 y ? 3 x ? 2 x ?
2

1 3

( y ? 0 ) .……………………………...12’

17.解(1)解:依题设圆心坐标( a , 3 a ) ( a ? 0 )……………………………..1’ 又圆与 x 轴相切,所以圆的半径 R ? 3 a ……………………………..……2’ 所以圆 C 的方程可设为 ( x ? a ) ? ( y ? 3 a ) ? 9 a ………………………..3’
2 2 2

? R ? 3 a , 弦长为 2 7 ,? 圆心到直线

y ? x 的距离 d ?

9a

2

? ( 7)

2

…………………………………4’ 由点到直线的距离公式得 d ?
a ? 3a 1 ?1
2 2

?

9a

2

? 7 ………………………..5’

解得 a ? ? 1 ,又 a ? 0 ,所以 a ? 1
2 2

…………………………………….6’

所以圆 C 方程为 ( x ? 1) ? ( y ? 3 ) ? 9 ………………………………………7’ (2)方法一:三角换元 设 x ? 1 ? 3 cos ? , y ? 3 ? 3 sin ? ( ? ? ?0 , 2 ? ? )……………………..8’

-1-

则 m ? ? x ? y ? ? 4 ? 3 sin ? ? 3 cos ? ? ? 4 ? 3 2 sin( ? ?

?
4

) …….…9’

因为对任意 ? ? ?0 , 2 ? ? 恒成立,所以 m ? ( ? x ? y ) max …………………….10’ 所以 m ? ? 4 ? 3 2 ……………………………………………..12’ 方法二:几何法 作直线 y ? ? x ,然后向下平移至与圆 C 相切或相离时有 x ? y ? m ? 0 恒成立
1? 3? m 2

由点到直线距离公式得

? 3 ,且 m ? 0

所以得 m ? ? 4 ? 3 2 (此种方法请老师酌情给分) 18.解:由题知: x ? y ? z ? 100 ,? z ? 100 ? x ? y
? M ? 11 x ? 9 y ? 4 z ? 11 x ? 9 y ? 4 (1 0 0? x ? y )

……………………1’

=7x ? 5 y

? 400

…………………………………..3’

? 600 x ? 700 y ? 400 (100 ? x ? y ) ? 56000 ? 又依题有 ? 800 x ? 400 y ? 500 (100 ? x ? y ) ? 63000 ? x ? 0 , y ? 0 ,100 ? x ? y ? 0 ?

………………………5’

? 2 x ? 3 y ? 160 ? ? 3 x ? y ? 130 化简得 ? ? x ? y ? 100 ? x ? 0, y ? 0 ?
? x ? 50 , y ? 20 , z ? 30

……………………………8’

M

min

? 850

…………………………..12’

19.(1)证明:设 P ( x 0 , y 0 ) ,P 到两准线的距离记为 d 1 , d 2 而两准线为 x ? 2 y ? 0 , x ? 2 y ? 0 ……………………………………..2’
x0 ? 2 y0 5 x0 ? 2 y0 5
2

d1 ? d 2 ?

?

?

x0 ? 4 y0 5
2

2

2

………………………..4’

而因为点 P 在曲线 C 上,所以 x 0 ? 4 y 0 ? 4 所以 d 1 ? d 2 ?
4 5

为一常数……………………………………………….6’

(2)由点点距离公式得:
-2-

PA

2

? ( x 0 ? 5) ? y 0
2

2

? x 0 ? 10 x 0 ? 25 ?

2

x0 4

2

? 1 ………………8’

=

5 4

( x 0 ? 4 ) ? 4 ………………………………………………..9’
2

? x0 ? 2

? PA

mi n

? 2

…………………………………… .11’

当 x 0 ? 4 时取“ ?”………………………………………………….12’ 20.解: (1)根据抛物线定义得 4 ?
p 2 ? 5

得 p ? 2 抛物线方程 x ? 4 y …………..3’
2

(2)设 A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ) ,
AC ? AF ? CF ? AF ? 1 BD ? BF ? DF ? BF ? 1 …….5’ BF ? y 2 ? 1

由抛物线定义得: AF ? y 1 ? 1

? AC ? BD ? y 1 y 2 …………………………………………………………6’

设直线 AB 方程: y ? kx ? 1 与抛物线方程联立得:
x
2

? 4 kx ? 4 ? 0

? x1 ? x 2 ? 4 k
x1 4
2

x1 x 2 ? ? 4

? AC ? BD ? y 1 y 2 ?

?

x2 4

2

? 1 为定值………………………………8’

(3)设直线 AB 方程: y ? kx ? 1 与抛物线方程联立得:
x
2

? 4 kx ? 4 ? 0

? x1 ? x 2 ? 4 k

x 1 x 2 ? ? 4 …………9’
2

由弦长公式 AB ?

1? k

2

x 1 ? x 2 ? 4 (1 ? k ) ……………………10’
1 k x ? 1 与抛物线方程联立得: ? 4 (1 ? 1 k 1 2 AB MN
2 2

同理直线 MN 方程: y ? ?
x
2

?

4 k

x ? 4 ? 0 由弦长公式得 MN

) ………………..11’
2

所以四边形 AMBN 的面积 S ?

? 8 (1 ? k )( 1 ? 1 k
2

1 k
2

)

=8(2 ? k ?

) ? 32 …………………12’

当 k ? ? 1时取“ ?”………………………………13’

-3-

21.解 (1)设椭圆方程
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? 0 , b ? 0 ) ,依题意可得

? a ? 2b ? ? 4 ? 1 ? 1 ………………………………………………………2’ 2 ?a2 b ?

可得 ?

?a 2 ? 8 ?b
2

? 2

所以椭圆方程为
1 2

x

2

?

y

2

? 1 ………………….4’

8
x? m

2

(2)设 l 方程为: y ?
x
2

与椭圆方程联立得: 由韦达定理得:
x1 x 2 ? 2 m
2

? 2 mx ? 2 m

2

?4 ? 0

? x1 ? x 2 ? ? 2 m

? 4 ……………………6’

设 A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ) ,因为 ? AOB 为钝角 所以 OA ? OB ? x 1 x 2 ? y 1 y 2 ? x 1 x 2 ? ( = = 又 l 平行 OM
5 4 5 2
? m ? (? 2 ,0 ) ? ( 0 , 2 ) ……………….8’

1 2

x 1 ? m )(
2

1 2

x2 ? m)

x1 x 2 ? m
2

m 2

( x1 ? x 2 ) ? m

?5 ? 0

……………………………7’

(3)依题即证 k AM ? k BM ? 0 ………………………………9’ 而 k AM ? k BM ?
1 2

y1 ? 1 x1 ? 2

?

y2 ? 1 x2 ? 2
1 2

?

( y 1 ? 1 )( x 2 ? 2 ) ? ( x 1 ? 2 )( y 2 ? 1 ) ( x 1 ? 2 )( x 2 ? 2 )

..…10’

将 y1 ?

x1 ? m , y 2 ?

x 2 ? m 代入上式,得

k AM ? k BM ?

x 1 x 2 ? ( m ? 2 )( x 1 ? x 2 ) ? 4 ( m ? 1 ) ( x 1 ? 2 )( x 2 ? 2 )

………………………….12’

将(2)中韦达定理代入得 上式= 即证.
2m
2

? 4 ? ( m ? 2 )( ? 2 m ) ? 4 m ? 4 ( x 1 ? 2 )( x 2 ? 2 )

=0 14’

……

-4-


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