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高二数学数列中裂项求和的几种常见模型知识点分析新人教版

时间:2017-08-16


数列中裂项求和的几种常见模型
数列问题是高考的一大热点,而且综合性较强,既注重基础知识的掌握,又注重数学思想与方 法的运用。而此类问题大多涉及数列求和,所以数列求和方法是学生必须掌握的,主要的求和方法 有:公式法、拆项重组法、并项求和法,裂项相消法、错位相加法、倒序相加法等等,而裂项相消 法是其中较为基础、较为灵活的一种,也是出现频率最高,形式最多的一种。下面就例举几种

裂项 求和的常见模型,以供参考。 模型一:数列 {an } 是以 d 为公差的等差数列,且 d

? 0, an ? 0(n ? 1,2,3,?) ,则

1 1 1 1 ? ( ? ) a n a n?1 d an a n?1

例 1 已知二次函数 y ? f ( x) 的图像经过坐标原点,其导函数为 f ' ( x) ? 6 x ? 2 ,数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,点 (n, Sn )(n ? N ? ) 均在函数 y ? f ( x) 的图像上。 (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ? 正整数 m;
2

m 1 ,Tn 是数列 {bn } 的前 n 项和,求使得 Tn ? 对所有 n ? N ? 都成立的最小 20 an an?1
(2006 年湖北省数学高考理科试题)

解: (Ⅰ)设这二次函数 f(x)=ax +bx (a≠0) ,则 f`(x)=2ax+b,由于 f`(x)=6x-2,得 a=3 , b=-2, 所以 f(x)=3x -2x. 又因为点 (n, Sn )(n ? N ? ) 均在函数 y ? f ( x) 的图像上,所以 Sn =3n -2n.
2 2

当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=(3n -2n)- (n ? 1) ? 2(n ? 1) =6n-5. 3
2

?

2

?

当 n=1 时,a1=S1=3×1 -2=6×1-5,所以,an=6n-5 ( n ? N )
2

?

(Ⅱ)由(Ⅰ)得知 bn ?

1 1 1 3 3 ? ), = = ( a n a n ?1 (6n ? 5)?6(n ? 1) ? 5? 2 6n ? 5 6n ? 1

故 Tn=

?b = 2
i ?1 i

n

1 ? 1 1 1 1 1 1 ? 1 ). (1 ? ) ? ( ? ) ? ... ? ( ? )? = (1- ? 6n ? 1 7 7 13 6n ? 5 6 n ? 1 ? 2 ?

因此,要使

1 1 m 1 m (1- )< ( n ? N ? )成立的 m,必须且仅须满足 ≤ ,即 m≥10, 2 6n ? 1 20 2 20

所以满足要求的最小正整数 m 为 10.. 例 2 在 xoy 平面上有一系列点 P ( x1 , y1 ), P2 ( x2 , y 2 ) ,…, 1
2 ( ,点 Pn 在函数 y ? x ( x ? 0) 的图象上, Pn ( xn , y n ) ,…, n∈N*)

以点 Pn 为圆心的圆 Pn 与 x 轴都相切, 且圆 Pn 与圆 Pn+1 又彼此外切. 若 x1 ? 1, 且xn?1 ? xn . (I)求数列 {xn } 的通项公式; (II)设圆 Pn 的面积为 Sn , Tn ?

S1 ? S2 ? ? ? Sn , 求证 : Tn ?

3 ? 2

解: (I)圆 Pn 与 Pn+1 彼此外切,令 rn 为圆 Pn 的半径,
用心 爱心 专心

?| Pn Pn ?1 |? rn ? rn ?1 ,即 ( xn ? xn ?1 ) 2 ? ( y n ? y n ?1 ) 2 ? y n ? y n ?1 ,
两边平方并化简得 ( xn ? xn?1 ) 2 ? 4 yn yn?1 ,
2 2 2 由题意得,圆 Pn 的半径 rn ? yn ? xn , ( xn ? xn?1 ) 2 ? 4xn xn?1 ,

? xn ? xn ?1 ? 0, ? xn ? xn?1 ? 2 xn xn ?1 ,即
? 数列{

1 xn?1

?

1 ? 2(n ? N ? ), xn

1 1 }是以 ? 1 为首项,以 2 为公差的等差数列, xn x1 1 1 所以 ? 1 ? (n ? 1) ? 2 ? 2n ? 1,即xn ? xn 2n ? 1
(II) S n ? ?rn ? ?y n ? ?x n ?
2 2 4

?

(2n ? 1) 4



因为Tn ? S1 ? S 2 ? ? ? S n ? ? [1 ?
? ? (1 ?

1 1 ??? ] 2 3 (2n ? 1) 2

1 1 1 ? ??? ) 1.3 3.5 (2n ? 3)(2n ? 1) 1 1 1 1 1 1 ? ? {1 ? [(1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )]} 2 3 3 5 2n ? 3 2n ? 1 1 1 3 ? ? 3 ? ? ? [1 ? (1 ? )] ? ? ? . 2 2n ? 1 2 2(2n ? 1) 2

所以, Tn ?

3 ? . 2
1 n ? n ?1 ? n ?1 ? n
1 a n ?1 ) 在曲线 y ? g (x) 上

模型二:分母有理化,如: 例 3 已知 f ( x) ?
1 x2 ? 4

( x ? ?2) , f (x) 的反函数为 g (x) ,点 A( a n ,?

(n ? N ? ) ,且 a1 ? 1
(I)证明数列{ (Ⅱ)设 bn ?
1 an 2

}为等差数列; ,记 S n ? b1 ? b2 ? ? ? bn ,求 S n

1 1 1 ? a n a n ?1

解(I)∵点 An( a n ,? ∴点( ?

1 a n ?1

)在曲线 y=g(x)上(n∈N+),

1 a n ?1

, a n )在曲线 y=f(x)上(n∈N+) a n ?

1 1 (? ) 2 ? 4 an

,并且 an>0

?

1 a n?1

? 4?

1 an
2

,?

1 a n ?1
2

?

1 an
2

? 4(n ? 1, n ? N ) ,∴数列{

1 an 2

}为等差数列

用心

爱心

专心

1 (Ⅱ)∵数列{ 1 }为等差数列,并且首项为 2 =1,公差为 4, 2 a1 an



1 an
2

=1+4(n—1) ,∴ an 2 ?

1 ,∵an>0,∴ a n ? 4n ? 3
4n ? 1 ? 4n ? 3 , 4

1 4n ? 3



bn=

1 1 ? = 1 1 4n ? 3 ? 4n ? 1 ? a n a n?1

∴Sn=b1+b2+…+bn=

5 ?1 9? 5 ? ? ....... ? 4 4

4n ? 1 ? 4n ? 3 4n ? 1 ? 1 = 4 4

例 4 设 N ? 24012 ,则不超过

?
n ?1

N

1 的最大整数为 n



(2008 年全国高中数学联合竞赛浙江省预赛试题)

2 1 2 ? ? n ?1 ? n n n ? n ?1 1 ? 2( n ? n ? 1) , ? 2( n ? 1 ? n ) ? n N N N 1 ? 1 ? 2? ( n ? n ? 1) , ? 2? ( n ? 1 ? n ) ? ? n n ?1 n ?1 n ?2 N 1 ? 1 ? 2( N ? 1) , ? 2( N ? 1) ? 2( N ? 1 ? 1) ? ? n n ?1 N 1 ? 2 ? 22006 ? 1 , ? 2(22006 ? 1) ? 2( N ? 1 ? 1) ? ? n n ?1 N 1 2007 ?2。 的最大整数为 2 ? 不超过 ? n n ?1
解:? 模型三: 2 1 1 = n - n+1 n (2 -1)(2 -1) 2 -1 2 -1
n+1 n

例 5 设数列 ?an ? 的前 n 项的和 S n ? (Ⅰ)求首项 a1 与通项 an ; (Ⅱ)设 Tn ?

4 1 2 a n ? ? 2n ?1 ? ,n=1,2,3,…. 3 3 3

n 3 2n ,n=1,2,3,…,证明: ? Ti ? 2 Sn i ?1

(2006 年全国数学高考理科试题) . 4 1 4 1 2 n+1 2 解: (Ⅰ)由 Sn= an- ×2 + , n=1,2,3,… , ① 得 a1=S1= a1- ×4+ 所以 a1=2. 3 3 3 3 3 3

4 1 n 2 再由①有 Sn-1= an-1- ×2 + , n=2,3,4,… 3 3 3 4 1 n+1 n 将①和②相减得: an=Sn-Sn-1= (an-an-1)- ×(2 -2 ),n=2,3, … 3 3 整理得: an+2 =4(an-1+2
n n-1

),n=2,3, … , 因而数列{ an+2 }是首项为 a1+2=4,公比为 4 的等比数列,
用心 爱心 专心

n

即 an+2 =4×4

n

n-1

= 4 , n=1,2,3, …, 因而 an=4 -2 , n=1,2,3, …,

n

n

n

4 1 n+1 2 1 n n n n n+1 n+1 (Ⅱ)将 an=4 -2 代入①得 Sn= ×(4 -2 )- ×2 + = ×(2 -1)(2 -2) 3 3 3 3 2 n+1 n = ×(2 -1)(2 -1) 3 2 3 2 3 1 1 Tn= = × = ×( n - n+1 ) n+1 n Sn 2 (2 -1)(2 -1) 2 2 -1 2 -1 所以,
n n

?
i ?1

n

Ti =

3 2

? ( 2 -1 - 2
i

n

1

i+1

i?1

1 ) -1

3 1 1 3 = ×( 1 - i+1 ) < 2 2 -1 2 -1 2

模型四: a n ?1 ?

a n (a n ? k ) 1 1 1 ,且 an ? 0(n ? 1,2,3,?) ,则 ? ? k k ? a n a n a n ?1

1 3 x ? ax 2 的图象在 x ? 1 处的切线平行于直线 2 x ? y ? 0 .记 g ( x) 的导函数 3 1 为 f ( x ) .数列 ?an ? 满足: a1 ? , an?1 ? f (an ) . 2 (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的解析式;
例 6 设函数 g ( x) ? (Ⅱ)试判断数列 ?an ? 的增减性,并给出证明; (Ⅲ)当 n ? 2, n ? N* 时,证明: 1 ? 解: (Ⅰ)∵函数 g ( x) ?

1 1 1 ? ??? ? 2. 1 ? a1 1 ? a2 1 ? an

1 3 x ? ax 2 的导函数为 f ( x) ? x2 ? 2ax ,由于在 x ? 1 处的切线平行于 3 1 2 x ? y ? 0 ,∴ 1 ? 2a ? 2 ? a ? ,∴ f ( x) ? x2 ? x 2 1 (Ⅱ)∵ an?1 ? f (an ) ,∴ an?1 ? an 2 ? an ? an?1 ? an ? an 2 ,∵ a1 ? ,故 an ? 0 ,所以 2

an?1 ? an ? 0 ,所以 ?an ? 是单调递增.
(Ⅲ) ∵ an?1 ? an (an ? 1) ,∴ ∴

1 1 1 1 1 1 1 = ,∴ ? _ ? ? an?1 an (an ? 1) an 1 ? an 1 ? an an an ?1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? , ? ? , ? ? … ? ? 1 ? a1 a1 a2 1 ? a2 a2 a3 1 ? a3 a3 a4 1 ? an an an ?1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ??? ? ? 2? ?2 a1 a2 a2 a3 an?1 an?1

令 Sn ?

当 n ? 2 时, Sn ? ∴1 ?

1 1 1 1 1 2 4 26 ?1 ? ??? ? ? ? ? ? 1 ? a1 1 ? a2 1 ? an 1 ? a1 1 ? a2 3 7 21

1 1 1 ? ??? ?2 1 ? a1 1 ? a2 1 ? an

用心

爱心

专心

例 7 已 知 数 列 {an } 满 足 a1 ? 1, an?1 ? an ? 2n (n ? 1,2,3?) , {bn } 满 足 b1 ? 1,

bn ?1 ? bn ?

2 bn 1 n 1 (n ? 1,2,3?) ,证明: ? ? ? 1。 n 2 k ?1 ak ?1bk ? kak ?1 ? bk ? k

(2006 年全国高中数学联合竞赛浙江省预赛试题) 证明:记 I n ? 而 In ?

?
k ?1

n

1 ak ?1bk ? kak ?1 ? bk ? k
?

,则 I 1 ?
n

1 ? I2 ? ? ? In 。 2

?
k ?1
n

n

1 (ak ?1 ? 1)(bk ? k )
1
k ?1

?a
k ?1

n

1 。 k ?1 ? 1 k ?1 bk ? k ??

1

因为 a1 ? 1, an?1 ? an ? 2n ,所以 ak ?1 ? 1 ? k (k ? 1) 。 从而有

?a
k ?1

?1

??

1 1 ? 1? ? 1。 n ?1 k ?1 k (k ? 1)

n

(1)

又因为 bk ?1 即

bk2 bk (bk ? k ) 1 k 1 1 ? bk ? ? ,所以 , ? ? ? k k bk ?1 bk (bk ? k ) bk bk ? k

1 1 1 。从而有 ? ? bk ? k bk bk ?1

由(1)和(2)即得

1 1 1 1 ? ? ? ? 1 。 (2) b1 bn?1 b1 k ?1 k ? k 1 ? In ? 1。 I n ? 1 。 综合得到 2

?b

n

左边不等式的等号成立当且仅当 n=1 时成立。 以上我们通过几个典型问题的解析,总结了四类裂项求和的常见模型,可以让我们更清楚的认 识到裂项相消的来龙去脉,而这些模型是近几年高考中普遍采用的,要求我们注重培养学生的化归、 转化的能力。

用心

爱心

专心


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