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2014届高三数学一轮复习专讲专练(基础知识+小题全取+考点通关+课时检测):2.1函数及其表示


课时跟踪检测(四)

函数及其表示

1.下列函数中,与函数 y=

1 3 x

定义域相同的函数为(

)

A.y=

1 sin x
x

B.y= D.y=

ln x x sin

x x )

C.y=xe

2.(2012· 安徽高考)下列函数中,不满足 f(2x)=2f(x)的是( A.f(x)=|x| C.f(x)=x+1 3.设 f(x)=? A.-2 C.10
?lg x,x>0, ? ? ?10 ,x≤0,
x

B.f(x)=x-|x| D.f(x)=-x 则 f(f(-2))=( ) B.2 D.-10

4.现向一个半径为 R 的球形容器内匀速注入某种液体,下面图形中能表示在注入过程 中容器的液面高度 h 随时间 t 变化的函数关系的是( )

5.(2012· 天津模拟)设函数 f(x)=2x+3,g(x+2)=f(x),则 g(x)的表达式是( A.g(x)=2x+1 C.g(x)=2x-3 B.g(x)=2x-1 D.g(x)=2x+7

)

? x ?2 ,x>0, 6.(2011· 福建高考)已知函数 f(x)=? ? ?x+1,x≤0.

若 ?(a)+?(1)=0,则实数 a 的值等于( A.-3 C.1

) B.-1 D.3

7.若 f(x)对于任意实数 x 恒有 2f(x)-f(-x)=3x+1,则 f(x)=________.
?x2 +2ax,x≥2, ? 8.已知函数 f(x)=? x 若 f(f(1))>3a2 ,则 a 的取值范围是________. ? ? 2 +1,x<2,

9.已知 a,b 为两个不相等的实数,集合 M={a2 -4a,-1},N={b2 -4b+1,-2}, f:x→x 表示把 M 中的元素 x 映射到集合 N 中仍为 x,则 a+b 等于________. 10.如图 1 是某公共汽车线路收支差额 y 元与乘客量 x 的图像.

(1)试说明图 1 上点 A、点 B 以及射线 AB 上的点的实际意义. (2)由于目前本条线路亏损, 公司有关人员提出了两种扭亏为赢的建议, 如图 2、 所示. 3 你 能根据图像,说明这两种建议的意义吗? (3)图 1、图 2、图 3 中的票价分别是多少元? (4)此问题中直线斜率的实际意义是什么?

x 11.若函数 f(x)= (a≠0),f(2)=1,又方程 f(x)=x 有唯一解,求 f(x)的解析式. ax+b

12.甲同学家到乙同学家的途中有一公园,甲从家到公园的距离与乙 从家到公园的距离都是 2 km,甲 10 时出发前往乙家.如图所示,表示甲 从家出发到达乙家为止经过的路程 y(km)与时间 x(min)的关系.试写出 y =f(x)的函数解析式.

1 1.(2013· 江西红色六校联考)具有性质:f? ?=-f(x)的函数,我们称为满足“倒负”变 ?x ? 换的函数,下列函数:

?x,0<x<1, ?0,x=1, 1 1 ①y=x- ;②y=x+ ;③y=? x x ? 1 ?-x ,x>1.

其中满足“倒负”变换的函数是(

)

A.①② C.②③

B.①③ D.①

2.(2012· 衡水模拟)函数 f(x)的定义域为 D,若对于任意 x1 ,x2 ∈D,当 x1 <x2 时都有 f(x1 )≤f(x2),则称函数 f(x)在 D 上为非减函数,设函数 f(x)在[0,1]上为非减函数,且满足以下 x 1 1 1 三个条件:①f(0)=0;②f? ?= f(x);③f(1-x)=1-f(x),则 f? ?+f? ?等于( ?3? 2 ?3? ?2? A. 3 4 1 B. 2 2 D. 3
2

)

C.1

3.已知 f(x)=x -1,g(x)=? (1)求 f(g?2?)和 g(f(2))的值;

? ?x-1,x>0, ?2-x,x<0. ?

(2)求 f(g(x))和 g(f(x))的表达式.





课时跟踪检测(四) A级 1 1.选 D 函数 y= 的定义域为{x|x≠0},选项 A 中由 sin x≠0?x≠kπ,k∈Z,故 A 3 x 不对;选项 B 中 x>0,故 B 不对;选项 C 中 x∈R,故 C 不对;选项 D 中由正弦函数及分 式型函数的定义域确定方法可知定义域为{x|x≠0}. 2. C 对于选项 A, 选 f(2x)=|2x|=2|x|=2f(x); 对于选项 B, f(x)=x-|x|=?
?0,x≥0, ? ?2x,x<0, ?

当 x≥0 时,f(2x)=0=2f(x),当 x<0 时,f(2x)=4x=2· 2x=2f(x),恒有 f(2x)=2f(x);对于选 项 D,f(2x)=-2x=2(-x)=2f(x);对于选项 C,f(2x)=2x+1=2f(x)-1. 3.选 A ∵f(x)=? ∴f(-2)=10
-2,

?lg x,x>0, ? ? ?10 ,x≤0,
-2

x

又-2<0,
-2

10 >0,f(10 )=lg10 =-2.

-2

4.选 C 从球的形状可知,水的高度开始时增加的速度越来越慢,当超过半球时,增 加的速度又越来越快. 5.解析:选 B ∵g(x+2)=2x+3=2(x+2)-1 ∴g(x)=2x-1. 6. A 法一: a>0 时, f(a)+f(1)=0 得 2a +2=0, 选 当 由 可见不存在实数 a 满足条件, 当 a<0 时,由 f(a)+f(1)=0 得 a+1+2=0,

解得 a=-3,满足条件. 法二:由指数函数的性质可知:2 >0 ,又因为 f(1)=2,所以 a<0,所以 f(a)=a+1, 即 a+1+2=0,解得:a=-3. 法三:验证法,把 a=-3 代入 f(a)=a+1=-2,又因为 f(1)=2,所以 f(a)+f(1)=0, 满足条件. 7.解析:由题知,2f(x)-f(-x)=3x+1,① 将①中 x 换为-x,则有 2f(-x)-f(x)=-3x+1,② ①×2+②得 3f(x)=3x+3, ∴f(x)=x+1. 答案:x+1 8.解析:由题知,f(1)=2+1=3,f(f(1))=f(3)=32 +6a,若 f(f(1))>3a2 ,则 9+6a>3a2 , 即 a2 -2a-3<0, 解得-1<a<3. 答案:(-1,3) 9.解析:由已知可得 M=N, 故?
? 2 ?a -4a=-2, ?b -4b+1=-1, ?
2 x

得?

? 2 ?a -4a+2=0, ?b -4b+2=0, ?
2

所以 a,b 是方程 x2 -4x+2=0 的两根, 故 a+b=4. 答案:4 10.解:(1)点 A 表示无人乘车时收支差额为-20 元,点 B 表示有 10 人乘车时收支差 额为 0 元,线段 AB 上的点表示亏损,AB 延长线上的点表示赢利. (2)图 2 的建议是降低成本,票价不变,图 3 的建议是提高票价. (3)图 1、2 中的票价是 2 元.图 3 中的票价是 4 元. (4)斜率表示票价. 2 11.解:由 f(2)=1 得 =1,即 2a+b=2; 2a+b x ? 1 -1?=0, 由 f(x)=x 得 =x,变形得 x? ? ax+b ax+b 1-b 解此方程得 x=0 或 x= , a 1-b 又因方程有唯一解,故 =0, a 1 解得 b=1,代入 2a+b=2 得 a= , 2

2x 所以 f(x)= . x+2 12.解:当 x∈[0,30]时,设 y=k 1 x+b1 ,

?k 1 = , ? ? ?b1 =0, 15 由已知得? 解得? ? ?30k 1 +b1 =2, ? ?
1 b1 =0. 即 y= 1 x. 15

当 x∈(30,40)时,y=2; 当 x∈[40,60]时,设 y=k 2 x+b2 ,

?k 2 = , ? ? ?40k 2 +b2 =2, 10 由已知得? 解得? ? ?60k 2 +b2 =4, ?
1

?b2 =-2.

即 y=

1 x-2. 10

1 ?15x,x∈[0,30], ? 综上,f(x)=?2,x∈?30,40?, ? 1 x-2,x∈[40,60]. ?10 B级 1 1 1 1 1 1.选 B 对于①,f(x)=x- ,f? ?= -x=-f(x),满足;对于②,f? ?= +x=f(x), ?x ? x ?x ? x x 不满足;对于③,

1 f? ?= ?x ?

? ? 1 ?0,x=1, ?-x,1>1, ? x

1 1 ,0< <1, x x

?1,x>1, 1 ?x 即 f? ?=? ?x ? 0,x=1, ? ? -x,0<x<1,
1 故 f? ?=-f(x),满足.综上可知,满足“倒负”变换的函数是①③. ?x ? 2.选 C ∵f(0)=0,f(1-x)=1-f(x), 1 1 ∴f(1)=1,又 f? ?= f(1), ?3? 2

1 1 ∴f? ?= ,又∵f(1-x)+f(x)=1, ?3? 2 1 1 1 1 ∴f? ?+f? ?=1,∴f? ?= , ?2? ?2? ?2? 2 1 1 ∴f? ?+f? ?=1. ?3? ?2? 3.解:(1)由已知,g(2)=1,f(2)=3, 故 f(g(2))=f(1)=0, g(f(2))=g(3)=2. (2)当 x>0 时,g(x)=x-1, 故 f(g(x))=(x-1) -1=x -2x; 当 x<0 时,g(x)=2-x, 故 f(g(x))=(2-x)2 -1=x2 -4x+3;
?x2 -2x,x>0, ? 所以 f(g(x))=? 2 ? ?x -4x+3,x<0.
2 2

当 x>1 或 x<-1 时,f(x)>0, 故 g(f(x))=f(x)-1=x -2; 当-1<x<1 时,f(x)<0, 故 g(f(x))=2-f(x)=3-x2. 所以 g(f(x))=?
?x2 -2,x>1或x<-1, ? ?3-x ,-1<x<1. ?
2 2


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