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2等差数列及其前n项和(含解析)


数列(2)——等差数列及其前 n 项和

[知识能否忆起] 一、等差数列的有关概念 1.定义:如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这 个数列就叫做等差数列.符号表示为 an+1-an=d(n∈N*,d 为常数). a+b 2.等差中项:数列 a,A,b 成等差数列的充要条件是 A= ,其中 A 叫做 a,b 的等差 2 中项

. 二、等差数列的有关公式 1.通项公式:an=a1+(n-1)d. 2.前 n 项和公式:Sn=na1+ 三、等差数列的性质 1.若 m,n,p,q∈N*,且 m+n=p+q,{an}为等差数列,则 am+an=ap+aq. 2.在等差数列{an}中,ak,a2k,a3k,a4k,?仍为等差数列,公差为 kd. 3.若{an}为等差数列,则 Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,?仍为等差数列,公差为 n2d. 4.等差数列的增减性:d>0 时为递增数列,且当 a1<0 时前 n 项和 Sn 有最小值.d<0 时为递 减数列,且当 a1>0 时前 n 项和 Sn 有最大值. d 5.等差数列{an}的首项是 a1,公差为 d.若其前 n 项之和可以写成 Sn=An2+Bn,则 A= ,B 2 d =a1- ,当 d≠0 时它表示二次函数,数列{an}的前 n 项和 Sn=An2+Bn 是{an}成等差数列 2 的充要条件. [小题能否全取] 1.(2012· 福建高考)等差数列{an}中,a1+a5=10,a4=7,则数列{an}的公差为( A.1 C.3 B .2 D.4 ) n?n-1? ?a1+an?n d= . 2 2

? ?2a1+4d=10, 解析:选 B 法一:设等差数列{an}的公差为 d,由题意得? ?a1+3d=7. ? ? ?a1=1, 解得? 故 d=2. ?d=2. ?

法二:∵在等差数列{an}中,a1+a5=2a3=10,∴a3=5.又 a4=7,∴公差 d=7-5=2.

π? 3π 2.(教材习题改编)在等差数列{an}中,a2+a6= ,则 sin? ?2a4-3?=( 2 A. 3 2 3 2 1 B. 2 1 D.- 2

)

C.-

π? 3π 3π π 1 ?3π π? 解析:选 D ∵a2+a6= ,∴2a4= .∴sin? ?2a4-3?=sin? 2 -3?=-cos3=-2. 2 2 3.(2012· 辽宁高考)在等差数列{an}中,已知 a4+a8=16,则该数列前 11 项和 S11=( A.58 C.143 解析:选 B B.88 D.176 11?a1+a11? 11?a4+a8? S11= = =88. 2 2 )

4.在数列{an}中,若 a1=1,an+1=an+2(n≥1),则该数列的通项 an=________. 解析:由 an+1=an+2 知{an}为等差数列其公差为 2. 故 an=1+(n-1)×2=2n-1.答案:2n-1 1 5. (2012· 北京高考)已知{an}为等差数列, Sn 为其前 n 项和, 若 a1= , S =a , 则 a2=________, 2 2 3 Sn=________. 解析:设{an}的公差为 d, 由 S2=a3 知,a1+a2=a3,即 2a1+d=a1+2d, 1 1 又 a1= ,所以 d= ,故 a2=a1+d=1, 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 Sn=na1+ n(n-1)d= n+ (n2-n)× = n2+ n.答案:1 n2+ n 2 2 2 2 4 4 4 4 1.与前 n 项和有关的三类问题 (1)知三求二:已知 a1、d、n、an、Sn 中的任意三个,即可求得其余两个,这体现了方程思 想. d d a1- ?n=An2+Bn?d=2A. (2)Sn= n2+? 2? ? 2 (3)利用二次函数的图象确定 Sn 的最值时,最高点的纵坐标不一定是最大值,最低点的纵坐 标不一定是最小值. 2.设元与解题的技巧 已知三个或四个数组成等差数列的一类问题, 要善于设元, 若奇数个数成等差数列且和为定 值时,可设为?,a-2d,a-d,a,a+d,a+2d,?; 若偶数个数成等差数列且和为定值时,可设为?,a-3d,a-d,a+d,a+3d,?,其余各 项再依据等差数列的定义进行对称设元.

考点一

等差数列的判断与证明

典题导入 [例 1] 在数列{an}中,a1=-3,an=2an-1+2n+3(n≥2,且 n∈N*). (1)求 a2,a3 的值; an+3 (2)设 bn= n (n∈N*),证明:{bn}是等差数列. 2 [自主解答] (1)∵a1=-3,an=2an-1+2n+3(n≥2,且 n∈N*),∴a2=2a1+22+3=1,a3

=2a2+23+3=13. (2)证明:对于任意 n∈N*, an+1+3 an+3 1 1 + ∵bn+1-bn= n+1 - n = n+1[(an+1-2an)-3]= n+1[(2n 1+3)-3]=1, 2 2 2 2 a1+3 -3+3 ∴数列{bn}是首项为 = =0,公差为 1 的等差数列. 2 2 由题悟法 1.证明{an}为等差数列的方法: (1)用定义证明:an-an-1=d(d 为常数,n≥2)?{an}为等差数列; (2)用等差中项证明:2an+1=an+an+2?{an}为等差数列; (3)通项法:an 为 n 的一次函数?{an}为等差数列; n?a1+an? (4)前 n 项和法:Sn=An2+Bn 或 Sn= . 2 2.用定义证明等差数列时,常采用的两个式子 an+1-an=d 和 an-an-1=d,但它们的意义 不同,后者必须加上“n≥2”,否则 n=1 时,a0 无定义. 以题试法 1.已知数列{an}的前 n 项和 Sn 是 n 的二次函数,且 a1=-2,a2=2,S3=6. (1)求 Sn; (2)证明:数列{an}是等差数列. 解:(1)设 Sn=An2+Bn+C(A≠0), -2=A+B+C, ? ? 则?0=4A+2B+C, 解得 A=2,B=-4,C=0.故 Sn=2n2-4n. ? ?6=9A+3B+C, (2)证明:∵当 n=1 时,a1=S1=-2.

当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=2n2-4n-[2(n-1)2-4(n-1)]=4n-6. ∴an=4n-6(n∈N*).an+1-an=4, ∴数列{an}是等差数列. 考点二 等差数列的基本运算 典题导入 [例 2] (2012· 重庆高考)已知{an}为等差数列,且 a1+a3=8,a2+a4=12. (1)求{an}的通项公式; (2)记{an}的前 n 项和为 Sn,若 a1,ak,Sk+2 成等比数列,求正整数 k 的值. [自主解答] (1)设数列{an}的公差为 d,由题意知
? ? ?2a1+2d=8, ?a1=2, ? 解得? ?2a1+4d=12, ? ? ?d=2.

所以 an=a1+(n-1)d=2+2(n-1)=2n. n?a1+an? n?2+2n? (2)由(1)可得 Sn= = =n(n+1). 2 2 因为 a1,ak,Sk+2 成等比数列,所以 a2 k =a1Sk+2. 从而(2k)2=2(k+2)(k+3),即 k2-5k-6=0, 解得 k=6 或 k=-1(舍去),因此 k=6. 由题悟法 n?a1+an? n?n-1? 1.等差数列的通项公式 an=a1+(n-1)d 及前 n 项和公式 Sn= =na1+ d,共 2 2 涉及五个量 a1,an,d,n,Sn,知其中三个就能求另外两个,体现了方程的思想. 2.数列的通项公式和前 n 项和公式在解题中起到变量代换作用,而 a1 和 d 是等差数列的两 个基本量,用它们表示已知和未知是常用方法. 以题试法 2.(1)在等差数列中,已知 a6=10,S5=5,则 S8=________. S4 S3 (2)(2012· 江西联考)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 - =1,则公差为________. 12 9 解析:(1)∵a6=10,S5=5,
?a1+5d=10, ?a1=-5, ? ? ∴? 解方程组得? 则 S8=8a1+28d=8×(-5)+28×3=44. ?5a1+10d=5. ?d=3. ? ?

4×3 3×2 4a1+6d 3a1+3d (2)依题意得 S4=4a1+ d=4a1+6d, S3=3a1+ d=3a1+3d, 于是有 - 2 2 12 9 =1,由此解得 d=6,即公差为 6. 答案:(1)44 (2)6

等差数列的性质

典题导入 [例 3] (1)等差数列{an}中,若 a1+a4+a7=39,a3+a6+a9=27,则前 9 项和 S9 等于( A.66 C.144 B.99 D.297 ) )

(2)(2012· 天津)设等差数列{an}的前 n 项和 Sn, 若 S4=8, S8=20, 则 a11+a12+a13+a14=( A.18 C.16 B.17 D.15

[自主解答] (1)由等差数列的性质及 a1+a4+a7=39,可得 3a4=39,所以 a4=13.同理,由 9?a1+a9? 9?a4+a6? a3+a6+a9=27,可得 a6=9.所以 S9= = =99. 2 2 (2)设{an}的公差为 d,则 a5+a6+a7+a8=S8-S4=12,(a5+a6+a7+a8)-S4=16d,解得 d 1 = ,a11+a12+a13+a14=S4+40d=18. 4 [答案] (1)B (2)A 由题悟法 1.等差数列的性质是等差数列的定义、通项公式以及前 n 项和公式等基础知识的推广与变 形,熟练掌握和灵活应用这些性质可以有效、方便、快捷地解决许多等差数列问题. 2.应用等差数列的性质解答问题的关键是寻找项的序号之间的关系. 以题试法 3.(1)设数列{an},{bn}都是等差数列,若 a1+b1=7,a3+b3=21,则 a5+b5=________. (2)(2012· 海淀期末)若数列{an}满足:a1=19,an+1=an-3(n∈N*),则数列{an}的前 n 项和数 值最大时,n 的值为( A.6 C.8 ) B.7 D.9

解析:(1)设两等差数列组成的和数列为{cn}, 由题意知新数列仍为等差数列且 c1=7,c3=21,则 c5=2c3-c1=2×21-7=35. (2)∵an+1-an=-3,∴数列{an}是以 19 为首项,-3 为公差的等差数列,∴an=19+(n-
?ak≥0, ?22-3k≥0, ? ? 1)×(-3)=22-3n.设前 k 项和最大,则有? 即? ? ? ?ak+1≤0, ?22-3?k+1?≤0,

19 22 解得 ≤k≤ .∵k∈N*,∴k=7.故满足条件的 n 的值为 7. 3 3 答案:(1)35 (2)B

1. (2011· 江西高考){an}为等差数列, 公差 d=-2, Sn 为其前 n 项和. 若 S10=S11, 则 a1=( A.18 C.22 B.20 D.24

)

解析:选 B 由 S10=S11,得 a11=S11-S10=0,a1=a11+(1-11)d=0+(-10)×(-2)=20. 2. (2012· 广州调研)等差数列{an}的前 n 项和为 Sn, 已知 a5=8, S3=6, 则 S10-S7 的值是( A.24 C.60 B.48 D.72 )

? ? ?a5=a1+4d=8, ?a1=0, 解析:选 B 设等差数列{an}的公差为 d,由题意可得? 解得? 则 ? ? ?S3=3a1+3d=6, ?d=2,

S10-S7=a8+a9+a10=3a1+24d=48. 3.(2013· 东北三校联考)等差数列{an}中,a5+a6=4,则 log2(2a1· 2a2· ?· 2a10)=( A.10 C.40 解析:选 B B.20 D.2+log25 依题 意 得, a1 + a2 + a3 + ? + a10 = 10?a1+a10? = 5(a5 + a6) = 20 ,因此 有 2 )

log2(2a1· 2a2· ?· 2a10)=a1+a2+a3+?+a10=20.
2 * 4.(2012· 海淀期末)已知数列{an}满足:a1=1,an>0,a2 n+1-an=1(n∈N ),那么使 an<5 成

立的 n 的最大值为( A.4 C.24

) B.5 D.25

2 2 2 2 解析:选 C ∵a2 n+1-an=1,∴数列{an}是以 a1=1 为首项,1 为公差的等差数列.∴an=1

+(n-1)=n.又 an>0,∴an= n.∵an<5,∴ n<5.即 n<25.故 n 的最大值为 24. 5.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,并且 S10>0,S11<0,若 Sn≤Sk 对 n∈N*恒成立,则正 整数 k 的值为( A.5 C.4 ) B.6 D.7

解析:选 A 由 S10>0,S11<0 知 a1>0,d<0,并且 a1+a11<0,即 a6<0,又 a5+a6>0,所以 a5>0,即数列的前 5 项都为正数,第 5 项之后的都为负数,所以 S5 最大,则 k=5. 6.数列{an}的首项为 3,{bn}为等差数列且 bn=an+1-an(n∈N*).若 b3=-2,b10=12,则 a8=( )

A.0 C.8

B.3 D.11

解析:选 B 因为{bn}是等差数列,且 b3=-2,b10=12, 12-?-2? 故公差 d= =2.于是 b1=-6, 10-3 且 bn=2n-8(n∈N*),即 an+1-an=2n-8. 所以 a8=a7+6=a6+4+6=a5+2+4+6=?=a1+(-6)+(-4)+(-2)+0+2+4+6=3. 7.(2012· 广东高考)已知递增的等差数列{an}满足 a1=1,a3=a2 2-4,则 an=________.
2 2 解析:设等差数列公差为 d,∵由 a3=a2 2. 2-4,得 1+2d=(1+d) -4,解得 d =4,即 d=±

由于该数列为递增数列,故 d=2. ∴an=1+(n-1)×2=2n-1.答案:2n-1 8. 已知数列{an}为等差数列, Sn 为其前 n 项和, a7-a5=4, a11=21, Sk=9, 则 k=________. 解析:a7-a5=2d=4,则 d=2.a1=a11-10d=21-20=1, k?k-1? Sk=k+ ×2=k2=9.又 k∈N*,故 k=3.答案:3 2 Sn 2n-3 a9 9. 设等差数列{an}, {bn}的前 n 项和分别为 Sn, Tn, 若对任意自然数 n 都有 = , 则 Tn 4n-3 b5+b7 + a3 的值为________. b8+b4

解析:∵{an},{bn}为等差数列, ∴ ∵ a9 a3 a9 a3 a9+a3 a6 + = + = = . 2b6 b6 b5+b7 b8+b4 2b6 2b6 S11 a1+a11 2a6 2×11-3 19 a6 19 19 = = = = ,∴ = .答案: T11 b1+b11 2b6 4×11-3 41 b6 41 41

10.(2011· 福建高考)已知等差数列{an}中,a1=1,a3=-3. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若数列{an}的前 k 项和 Sk=-35,求 k 的值. 解:(1)设等差数列{an}的公差为 d,则 an=a1+(n-1)d. 由 a1=1,a3=-3,可得 1+2d=-3,解得 d=-2. 从而 an=1+(n-1)×(-2)=3-2n. (2)由(1)可知 an=3-2n, n[1+?3-2n?] 所以 Sn= =2n-n2. 2 由 Sk=-35,可得 2k-k2=-35, 即 k2-2k-35=0,解得 k=7 或 k=-5. 又 k∈N*,故 k=7.

11.设数列{an}的前 n 项积为 Tn,Tn=1-an,
?1? (1)证明?T ?是等差数列; ?
n?

?an? (2)求数列?T ?的前 n 项和 Sn. ?
n?

Tn 解:(1)证明:由 Tn=1-an 得,当 n≥2 时,Tn=1- , Tn-1 1 1 两边同除以 Tn 得 - =1. Tn Tn-1 ∵T1=1-a1=a1, 1 1 1 故 a1= , = =2. 2 T1 a 1
?1? ∴?T ?是首项为 2,公差为 1 的等差数列. ?
n?

1 1 (2)由(1)知 =n+1,则 Tn= , Tn n+1 n an 从而 an=1-Tn= .故 =n. T n+1 n
?an? ∴数列?T ?是首项为 1,公差为 1 的等差数列. ?
n?

n?n+1? ∴Sn= . 2 12.已知在等差数列{an}中,a1=31,Sn 是它的前 n 项和,S10=S22. (1)求 Sn; (2)这个数列的前多少项的和最大,并求出这个最大值. 解:(1)∵S10=a1+a2+?+a10, S22=a1+a2+?+a22,又 S10=S22, ∴a11+a12+?+a22=0, 12?a11+a22? 即 =0,故 a11+a22=2a1+31d=0. 2 又∵a1=31,∴d=-2, n?n-1? ∴Sn=na1+ d=31n-n(n-1)=32n-n2. 2 (2)法一:由(1)知 Sn=32n-n2, 故当 n=16 时,Sn 有最大值,Sn 的最大值是 256. 法二:由 Sn=32n-n2=n(32-n),欲使 Sn 有最大值, 应有 1<n<32,从而 Sn≤?

?

n+32-n?2 2 ? =256,

当且仅当 n=32-n,即 n=16 时,Sn 有最大值 256.

1.等差数列中,3(a3+a5)+2(a7+a10+a13)=24,则该数列前 13 项的和是( A.156 C.26 B.52 D.13

)

解析:选 C ∵a3+a5=2a4,a7+a10+a13=3a10, 13?a1+a13? 13?a4+a10? ∴6(a4+a10)=24,故 a4+a10=4.∴S13= = =26. 2 2 2.在等差数列{an}中,a1>0,a10· a11<0,若此数列的前 10 项和 S10=36,前 18 项和 S18=12, 则数列{|an|}的前 18 项和 T18 的值是( A.24 C.60 B.48 D.84 )

解析:选 C 由 a1>0,a10· a11<0 可知 d<0,a10>0,a11<0,故 T18=a1+?+a10-a11-?-a18 =S10-(S18-S10)=60. 3.数列{an}满足 an+1+an=4n-3(n∈N*). (1)若{an}是等差数列,求其通项公式; (2)若{an}满足 a1=2,Sn 为{an}的前 n 项和,求 S2n+1. 解:(1)由题意得 an+1+an=4n-3,① an+2+an+1=4n+1,② ②-①得 an+2-an=4, ∵{an}是等差数列,设公差为 d,∴d=2. ∵a1+a2=1,∴a1+a1+d=1, 1 ∴a1=- , 2 5 ∴an=2n- . 2 (2)∵a1=2,a1+a2=1,∴a2=-1. 又∵an+2-an=4,∴数列的奇数项与偶数项分别成等差数列,公差均为 4, ∴a2n-1=4n-2,a2n=4n-5, S2n+1=(a1+a3+?+a2n+1)+(a2+a4+?+a2n) ?n+1?n n?n-1? =(n+1)×2+ ×4+n×(-1)+ ×4 2 2 =4n2+n+2.

3 1 1 1.已知数列{an}中,a1= ,an=2- (n≥2,n∈N*),数列{bn}满足 bn= (n∈N*). 5 an-1 an-1

(1)求证:数列{bn}是等差数列; (2)求数列{an}中的最大项和最小项,并说明理由. 解:(1)证明:∵an=2- 1 1 (n≥2,n∈N*),bn= . an-1 an-1

1 1 ∴n≥2 时,bn-bn-1= - an-1 an-1-1 = 1 1 - 1 a - n 1-1 ?2- ?-1 a

?


n-1

?

an-1 1 - =1. an-1-1 an-1-1

1 5 又 b1= =- . 2 a1-1 5 ∴数列{bn}是以- 为首项,1 为公差的等差数列. 2 7 (2)由(1)知,bn=n- , 2 1 2 则 an=1+ =1+ , bn 2n-7 设函数 f(x)=1+ 2 , 2x-7

7? ?7 ? 易知 f(x)在区间? ?-∞,2?和?2,+∞?内为减函数. 故当 n=3 时,an 取得最小值-1;当 n=4 时,an 取得最大值 3. 2.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足:a2+a4=14,S7=70. (1)求数列{an}的通项公式; 2Sn+48 (2)设 bn= ,数列{bn}的最小项是第几项,并求出该项的值. n
?2a1+4d=14, ? 解:(1)设等差数列{an}的公差为 d,则有? ?7a1+21d=70, ? ?a1+2d=7, ?a1=1, ? ? 即? 解得? ? ? ?a1+3d=10, ?d=3.

所以 an=3n-2. 3n2-n n (2)因为 Sn= [1+(3n-2)]= , 2 2 3n2-n+48 48 所以 bn= =3n+ -1≥2 n n 48 当且仅当 3n= ,即 n=4 时取等号, n 故数列{bn}的最小项是第 4 项,该项的值为 23. 48 3n· -1=23, n

3.已知数列{an},对于任意 n≥2,在 an-1 与 an 之间插入 n 个数,构成的新数列{bn}成等差 数列,并记在 an-1 与 an 之间插入的这 n 个数均值为 Cn-1. n2+3n-8 (1)若 an= ,求 C1,C2,C3; 2 (2)在(1)的条件下是否存在常数 λ, 使{Cn+1-λCn}是等差数列?如果存在, 求出满足条件的 λ, 如果不存在,请说明理由. 解:(1)由题意 a1=-2,a2=1,a3=5,a4=10, 1 ∴在 a1 与 a2 之间插入-1,0,C1=- . 2 在 a2 与 a3 之间插入 2,3,4,C2=3. 15 在 a3 与 a4 之间插入 6,7,8,9,C3= . 2 an-an-1 (2)在 an-1 与 an 之间插入 n 个数构成等差数列,d= =1, n+1 n?an-1+an? 2 an-1+an n2+2n-9 ∴Cn-1= = = . n 2 2 假设存在 λ 使得{Cn+1-λCn}是等差数列. ∴(Cn+1-λCn)-(Cn-λCn-1) =Cn+1-Cn-λ(Cn-Cn-1) 2n+5 2n+3 = -λ· 2 2 5 3 =(1-λ)n+ - λ=常数,∴λ=1. 2 2 即 λ=1 时,{Cn+1-λCn}是等差数列.


2等差数列及其前n项和(含解析)

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等差数列及其前n项和(含解析)

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(1)求{an}的通项公式; (2)记{an}的前 n 项和为 Sn,若 a1,ak,Sk+2 成等比数列,求正整数 k 的值. 2.(1)在等差数列中,已知 a6=10,S5=5,则 ...

高二数学试卷2.3 等差数列的前n项和练习题及答案解析

2 2 一、选择题 1.(2011 年杭州质检)等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a2=1,a3=3,则 S4=( A.12 B.10 C.8 D.6 解析:选 C.d=a3-a2=2,a1...

2.3_等差数列的前n项和练习题及答案解析_必修5

2.3_等差数列的前n项和练习题及答案解析_必修5_数学_高中教育_教育专区。等差数列前 n 项和 1.等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a2=1,a3=3,则 S4=...

29等差数列及其前n项和2

、基础自测: 1.已知等差数列{an}的公差为 3,a3=4,若 an=25,则 n=___. 1 2.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a1= ,S4=20,则 S6 等于__...

数列2(第二节等差数列及其前n项和)

2.前 n 项和公式:Sn=na1+ 三、等差数列的性质 1.若 m,n,p,q∈N*,且 m+n=p+q,{an}为等差数列,则 am+an=ap+aq. 2.在等差数列{an}中,ak,a...

(人教A版)数学必修五 :2-3-1《等差数列的前n项和(一)》教案(含答案)

(人教A版)数学必修五 :2-3-1《等差数列的前n项和(一)》教案(含答案)_数学_高中教育_教育专区。教学设计 2.3 等差数列的前 n 项和 2.3.1 等差数列的...

2015高考复习5-2 等差数列及其前n项和

2015高考复习5-2 等差数列及其前n项和_数学_高中教育_教育专区。2015高考复习带...解析:∵an=an-1+2(n≥2),∴an-an-1=2,又∵a1=1,∴数列{an}是以 1...

2等差数列及其前n项和 (P)

等差数列{ a n }的前 n 项和为 S n ,已知 a 3 =12, S 12 >0, S 13 <0, (1) 求公差 d 的取值范围; (2) 指出 S 1 , S 2 , S 3 ...