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“《数学周报》杯”2009年全国初中数学竞赛试题答案

时间:2011-01-23


责任编辑:Cencer 中考加油哦! Fighting!

中国教育学会中学数学教学专业委员会

《数学周报》 “ 数学周报》杯”2009 年全国初中数学竞赛试题参考答案
1.【答】C. 解 : 由题设知 a≥3,所以,题设的等式 为 b + 2 + (a ? 3)b 2 = 0 ,于是
a = 3,b = ?2 ,从而

a + b =1. 2.【答】A. 解:因为△BOC ∽ △ABC,所以

BO BC = ,即 AB AC

1 a = , a a +1
所以, 由 a > 0 ,解得 a =

a2 ? a ?1 = 0 .

1+ 5 . 2

3.【答】D.
解:当 2a ? b = 0 时,方程组无解.

6 ? 2b ? ? x = 2a ? b , ? 当 2a ? b ≠ 0 时,方程组的解为 ? ? y = 2a ? 3 . ? 2a ? b ?

?2a ? b > 0, ?2a ? b < 0, ? 6 ? 2b ? ? 2a ? b > 0, ? 3 3 ? ? ? 由已知,得 ? 即 ?a > , 或 ?a < , 2 2 ? 2a ? 3 > 0, ? ? ? 2a ? b ?b < 3, ?b > 3. ? ? ?
由 a , b 的实际意义为 1,2,3,4,5,6,可得

3, 5, ?a = 2, 4, 6, ?a = 1, 共有 5×2=10 种情况;或 ? 共 3 种情况. ? 2, 5, ?b = 1, ?b = 4, 6,
又掷两次骰子出现的基本事件共 6×6=36 种情况,故所求的概率为

13 . 36

4.【答】B.
解:根据图像可得 BC=4,CD=5,DA=5,进而求得 AB=8,故

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1 S△ABC= ×8×4=16. 2

5.【答】C. 解:可将原方程视为关于 x 的二次方程,将其变形为 x 2 + yx + (2 y 2 ? 29) = 0 . 由于该方程有整数根,则判别式 ? ≥ 0 ,且是完全平方数. 由 解得 y2 ≤ y2
?
? = y 2 ? 4(2 y 2 ? 29) = ?7 y 2 + 116 ≥ 0 ,
116 ≈ 16.57 .于是 7 0 116 1 109 4 88 9 53 16 4

显然,只有 y 2 = 16 时, ? = 4 是完全平方数,符合要求. 当 y = 4 时,原方程为 x 2 + 4 x + 3 = 0 ,此时 x1 = ?1, x2 = ?3 ; 当 y=-4 时,原方程为 x 2 ? 4 x + 3 = 0 ,此时 x3 = 1, x4 = 3 . 所以,原方程的整数解为

? x1 = ?1, ? ? y1 = 4;
6.【答】3750.

? x2 = ?3, ? ? y2 = 4;

? x3 = 1, ? ? y3 = ?4;

? x4 = 3, ? ? y4 = ?4.

设每个新轮胎报废时的总磨损量为 k,则安装在前轮的轮胎每行驶 1 km 解: 磨损量为
k k ,安装在后轮的轮胎每行驶 1km 的磨损量为 .又设一对新轮 5000 3000

胎交换位置前走了 x km,交换位置后走了 y km.分别以一个轮胎的总磨损量为 等量关系列方程,有
ky ? kx ? 5000 + 3000 = k , ? ? ? ky + kx = k , ? 5000 3000 ?

两式相加,得 则

k ( x + y) k ( x + y) + = 2k , 5000 3000 2 x+ y = = 3750 . 1 1 + 5000 3000
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7.【答】1/3. 解:如图,延长 AD 与⊙D 交于点 E,连接 AF,EF . 由题设知 AC =
1 1 AD , AB = AE ,在△FHA 和△EFA 中, 3 3
Rt△FHA∽Rt△EFA,

∠EFA = ∠FHA = 90° , ∠FAH = ∠EAF

所以

AH AF = . AF AE
而 AF = AB ,所以
8.【答】 10.

AH 1 = . AB 3

因为 ( b ? a1 )( b ? a2 )( b ? a3 )( b ? a4 )( b ? a5 ) = 2009 , a1,a2,a3,a4,a5 是 且 解: 五个不同的整数,所有 b ? a1,b ? a2,b ? a3,b ? a4,b ? a5 也是五个不同的整数. 又因为 2009 = 1× ( ?1) × 7 × ( ?7 ) × 41 ,所以
b ? a1 + b ? a2 + b ? a3 + b ? a4 + b ? a5 = 41 .

由 a1 + a2 + a3 + a4 + a5 = 9 ,可得 b = 10 .
9.【答】

60 2 . 7

解:如图,由勾股定理知 AD=9,BD=16,所以 AB=AD+BD=25 . 故由勾股定理逆定理知△ACB 为直角三角形,且 ∠ACB = 90° . 作 EF⊥BC,垂足为 F.设 EF=x,由 ∠ECF = 于是 BF=20-x.由于 EF∥AC,所以
EF BF = , AC BC x 20 ? x = , 15 20

1 ∠ACB = 45° ,得 CF=x, 2

即 解得 x =

60 60 2 .所以 CE = 2 x = . 7 7

10.【答】 ?2 .

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解:设报 3 的人心里想的数是 x ,则报 5 的人心里想的数应是 8 ? x . 于是报 7 的人心里想的数是 12 ? (8 ? x) = 4 + x ,报 9 的人心里想的数是
16 ? (4 + x) = 12 ? x ,报 1 的人心里想的数是 20 ? (12 ? x) = 8 + x ,报 3 的人心里

想的数是 4 ? (8 + x) = ?4 ? x .所以
x = ?4 ? x ,

解得 x = ?2 .
11. 解:不一定,例如,当 k=0 时,函数的图像与 x 轴的交点为(0,0)和

(1,0) ,不都在直线 x = 1 的右侧.

………………5 分

设函数与 x 轴的两交点的横坐标为 x1 , x2 ,则 x1 + x2 = ?(2k ? 1), x1 x2 = k 2 ,当 且仅当满足如下条件

??≥0, ? ?( x1 ? 1) + ( x2 ? 1) > 0, ?( x ? 1)( x ? 1) > 0 ? 1 2
时,抛物线与 x 轴的两交点都在直线 x = 1 的右侧. 由
?(2k ? 1) 2 ? 4k 2≥0, ? ??2k ? 1 > 0, ? 2 ?k + 2k > 0,

………………10 分

解之, 得

1 ? ? k≤ 4 , ? 1 ? ?k < ? , 2 ? ?k < ?2 或 k > 0. ? ?

………………15 分

所以当 k < ?2 时,抛物线与 x 轴的两交点在直线 x = 1 的右侧. ………………20 分

12.解:设 y = m 2 , ( x ? 90) 2 = k 2 ,m,k 都是非负整数,则
k 2 ? m 2 = 7 × 701 = 1× 4907 , 即 (k ? m)(k + m) = 7 × 701 = 1× 4907 . ……………10 分

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则有

?k + m = 701, ? ?k ? m = 7;
?k1 = 354, ? ?m1 = 347;

?k + m = 4907, ? ?k ? m = 1.
?k2 = 2454, ? ?m2 = 2453.

解得

所以

? x1 = 444, ? x2 = ?264, ? x3 = 2544, ? x4 = ?2364, ? ? ? ? ? y1 = 120409; ? y2 = 120409; ? y3 = 6017209; ? y4 = 6017209.

故“好点”共有 4 个,它们的坐标是:
(444, 120409),( ? 264, 120409),(2544, 6017209),( ? 2364, 6017209).

………………20 分 13.解法 1:结论是 DF = EG .下面给出证明. 解 : ………………5 分

因为 ∠FCD = ∠EAB ,所以 Rt△FCD ∽ Rt△EAB.于是可得
CD . AB CE EG = AD ? . AB DF = BE ?

同理可得

………………10 分 又因为 tan ∠ACB =
AD BE = ,所以有 BE ? CD = AD ? CE ,于是可得 CD CE DF = EG



………………20 分 解法 2:结论是 DF = EG .下面给出证明. ……………… 5 分 连接 DE,因为 ∠ADB = ∠AEB = 90° ,所以 A,B,D,E 四点共圆,故
∠CED = ∠ABC .
(第 13 题)

………………10 分 ………………15 分

又 l 是⊙O 的过点 C 的切线,所以 ∠ACG = ∠ABC . 所以, ∠CED = ∠ACG ,于是 DE∥FG,故 DF=EG.

………………20 分 14.解:设 a1,a2, ,an 中去掉 ai 后剩下的 n-1 个数的算术平均数为正整数 bi , 解 ?
i = 1, ?,n .即 bi = 2,
(a1 + a2 + ? + an ) ? ai . n ?1

于是,对于任意的 1≤ i < j ≤n,都有
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bi ? b j = 从而 由于 b1 ? bn =

a j ? ai n ?1

, ………………5 分

n ? 1 (a j ? ai ) .

an ? a1 2008 = 是正整数,故 n ?1 n ?1 n ? 1 23 × 251 .

………………10 分

由于

an ? 1 = ( an ? an ?1 ) + ( an ?1 ? an ? 2 ) + ? + ( a2 ? a1 )
≥ ( n ? 1) + ( n ? 1) + ? + ( n ? 1) = (n ? 1) 2 ,

所以, (n ? 1) 2 ≤2008,于是 n ≤45. 结合 n ? 1 23 × 251 ,所以,n ≤9. ………………15 分

另一方面,令 a1 = 8 × 0 + 1, a2 = 8 ×1 + 1, a3 = 8 × 2 + 1 ,…, a8 = 8 × 7 + 1 ,
a9 = 8 × 251 + 1 ,则这 9 个数满足题设要求.

综上所述,n 的最大值为 9.

………………20 分

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