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第十五届北京高中数学知识应用竞赛初赛试题及参考解答


中学生数学·2 1 年 6 月上·第 4 3 期( 高中) 02 4

第十五届北京高中数学知识应用竞赛 初赛试题及参考解答
( 北京数学会普及委员会提供)

( 在 0     一、 满 分 2 分 ) 测 老 量课上, 师 交 给 的 任 务 是 测量楼 前 旗 杆 的 高 度 . 王 小 想 灵机一 动, 出 了 如 下 的

测 量 法: 同 学 小 李 当 “ 照 请 参 物” 在 旗 杆 下, 离 旗 杆 站 在 用 较近的 地 方, 手 机 拍 下 小 李和旗杆的 照 片, 图 所 示 . 后 把 照 片 放 在 如 然 计算机的屏幕上, 量出旗杆有 6 3 个小 李 的 高 . 小李的身高为 1 6 米, 于是得到 旗 杆 的 高 度, .5 度约为 6 3×1 6 . .5=1 . ( . 0 4 米) () 1 你认为这种测量方法如何?如 认 为 正 确, 请说明理 由 以 及 这 种 方 法 的 优 点; 认 为 如 请说 明 问 题 出 在 何 处, 果 偏 大 还 是 结 有问题, 偏小? ( ) 认 为 测 量 中 如 何 做 就 能 减 少 误 差, 2你 得到正确的结果? 参考解答:
() 但 1 这个 方 法 虽 然 操 作 简 单 易 行 , 却 是 有 问 题 这样得到 的 结 果, 实 际 真 实 的 结 果 相 比 , 小 . 与 偏 的, 照相者离旗杆越近, 误差 越 大 . 实 上, 这 张 照 片 上 事 从 可以看到, 同样大小的窗 户 框, 高 度 在 照 片 上 看, 其 四 层的只有 一 层 的 7 , 符 合 “ 大 远 小 ” 视 觉 规 近 的 0% 这 因此旗杆下面的“ 一人 高” 旗 杆 顶 端 的 “ 人 高” 和 一 律. 对应的真实高度是不一 样 的, 王 却 把 它 当 成 一 样 的 小 计算了 . 而顶端的“ 一人高” 下 端 的 一 人 高 所 对 应 的 比 实际尺寸要大, 故小王的结果偏小了 . () 一 用 2 减少误差的思 路 有 两 种, 是 远 离 旗 杆, 长 焦镜头拍照 . 这时摄影者 到 旗 杆 底 部 和 到 旗 杆 顶 部 的 从 但 距 距离差会 缩 小, 而 减 少 误 差 . 也 要 注 意, 离 远 了, 杆 和 人 像 也 会 变 小, 察 度 量 长 度 时 的 误 差 也 旗 观 会变大 . 二是 考 虑 “ 大 远 小 ” 变 化 率, 如 可 以 根 近 的 比 据图 片 量 出, 杆 下 端 一 米 对 应 a 毫 米, 杆 顶 端 用 旗 旗 可 国旗的实际宽度算出 一 米 对 应 b 毫 米, 以 认 为 整 个 旗杆平均一米等于图中的( + )2 毫 米, 是 用 旗 杆 于 a b/

, 毫米) 除以( + )2 就 是 旗 杆 的 在照片上的总长度( a b/ 真实高度( . 米)

( 二、 满 分 2 分 )人 们 日 常 生 产 的 产 0 — — 品— —大到飞 机、 车, 到 锅 碗 瓢 盆— —其 汽 小 在 表面通常是由一些光滑的曲面拼接而 成 的 . 不同曲面的衔接处, 我们往往也希望它 是 光 滑 如何能做到这一点呢? 的. 为简单起见, 我们只考虑平面 上 两 条 光 滑 曲线在衔接点是光滑( 没有尖角) . 的 给定平面上两条光滑的曲 线, 们 在 某 它 1. , 请 即 一点衔接 . 你 给 出 一 个 标 准 ( 给 出 定 义 ) 用它来说明, 在这个衔接点是光滑的 . 给 在 2. 定 平 面 直 角 坐 标 系, x=2 左 侧 的 2 曲线是函数 y=x -x+ ( ≤2) 图 像, 中 的 其 cx 在 c 是参数, x=2 右侧的曲线是函数 y=an lx ( ≥2 的图 像, 中 a 是 参 数 . 你 选 择 适 当 其 请 x ) 的参数 a,( 选 择 x=2 左 右 两 侧 适 当 的 曲 c 即, 线) 使得在 x=2 时上述两条曲线衔接, 且在衔 接点满足你所给出的光滑标准 . 参考答案:
两条光滑曲线在 衔 接 点 是 光 滑 的, 是 衔 接 后 就 1. 的整条曲线在该点的切 线 存 在 . 价 于 原 来 的 两 条 曲 等 线在衔接点的切线重合, 两 个 函 数 在 该 点 的 导 数 相 即 等.
2 在直线 x=2 左侧的曲线 y=x -x+ ( ≤2) 2. cx

应 用 与 建 模

的导数是 2 -1, x=2 的 值 都 是 3, 参 数 值 c 无 在 和 x 关 . x=2 右侧的曲 线 y=an ( ≥2) 导 数 是 a , 在 的 lx x x 在 x=2 的值是 a . 2 根据刚刚给出的定 义, 了 保 证 两 条 曲 线 衔 接 后 为 要 即 在衔接点处是 光 滑 的, 求 这 两 个 值 相 等, 要 求 解得 a=6. =3, 选择在直线 x=2 右 边 的 曲 线 为 函 数 y=6n ( lx x ) 由于 x=2 时 的 函 数 值 为 6n , 以 两 条 l2 所 ≥2 的图像 .

a 2

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·4 · 1

中学生数学·2 1 年 6 月上·第 4 3 期( 高中) 02 4 曲线的衔接点为( , n ) 26 2 . l
2 为使左边的曲线 y=x -x+ ( ≤2) 过 点 ( , 也 cx 2

速度 时刻 速度 时刻

3  5



9  2

19 0 

11 6

应 用 与 建 模

1 :6 1 :7 1 :8 1 :9 1 :1 70  70  70  70  71 12 5  13 6  13 6  18 5  13 6

2 满足 2 -2+ =6n 解 得c=6n 6n ) 则选取c, l2 , c l2. l2-

2.

( 三、 满分 2 分)0 1 年 8 月 7 日, 2 次 0 21 D2 列车 ( 春—北 京 动 车 组, 停 站: 春—四 长 经 长 平—铁 岭—沈 阳 北—盘 锦 北—北 戴 河—滦 县—北京) 上的一位乘客记录下了列车 运 行 全 程的时刻与速度对应表如下( 速度单位: 米/ 千 : 小时)
时刻 速度 时刻 速度 时刻 速度 时刻 速度 时刻 速度 时刻 速度 时刻 速度 时刻 速度 时刻 速度 时刻 速度 时刻 速度 时刻 速度 时刻 速度 时刻 速度 时刻 1 :8 1 :5 1 :6 1 :7 1 :8 51  52  52  52  52 0 10 3  18 5  16 5  14 5

1 :2 1 :3 1 :4 1 :6 1 :7 71  71  71  71  71 18 5  12 6  13 6  9  8 14 2

速度 时刻 速度 时刻 速度 时刻 速度 时刻 速度 时刻 速度 时刻 速度 时刻 速度 时刻 速度 时刻 速度 时刻 速度 时刻 速度 时刻 速度 时刻 速度 时刻 速度 时刻 速度 时刻 速度 时刻 速度

1 :8 1 :9 1 :1 1 :2 1 :3 71  71  72  72  72 13 6  16 3  14 2  17 5  15 5

1 :4 1 :7 1 :8 1 :0 1 :1 72  72  72  73  73 15 5  16 0  5  6 4  1 4 3

1 :2 1 :3 1 :5 1 :6 1 :7 73  73  73  73  73 1  0 0 0 3  4 4 0

1 :8 1 :9 1 :1 1 :2 1 :3 73  73  74  74  74 4  6 5  4 14 2  15 5  17 5

1 :0 1 :1 1 :2 1 :3 1 :5 53  53  53  53  53 16 5  12 6  11 6  12 5  10 6

1 :4 1 :6 1 :7 1 :8 1 :9 74  74  74  74  74 18 5  14 8  20 2  28 3  29 3

1 :6 1 :7 1 :8 1 :0 1 :1 53  53  53  54  54 11 6  17 5  11 6  11 6  11 6

1 :1 1 :2 1 :3 1 :4 1 :6 75  75  75  75  75 20 4  28 3  28 3  20 4  20 4

1 :2 1 :3 1 :5 1 :6 1 :7 54  54  54  54  54 11 6  11 6  12 5  11 6  11 6

1 :7 1 :8 1 :9 1 :1 1 :2 75  75  75  80  80 28 3  29 3  26 3  28 3  28 3

1 :8 1 :0 1 :1 1 :2 1 :3 54  55  55  55  55 15 5  10 6  17 5  19 5  10 6

1 :3 1 :4 1 :6 1 :7 1 :9 80  80  80  80  80 20 4  29 3  29 3  24 2  29 3

1 :5 1 :6 1 :7 1 :8 1 :0 55  55  55  55  60 16 5  16 5  10 6  11 6  16 5

1 :1 1 :2 1 :3 1 :4 1 :6 81  81  81  81  81 28 3  29 3  29 3  25 3  29 3

1 :1 1 :4 1 :5 1 :6 1 :8 60  60  60  60  60 15 5  16 3  6  5 3  6 1 2

1 :7 1 :1 1 :2 1 :3 1 :5 81  82  82  82  82 29 3  18 0  6  6 2  5 0

1 :9 1 :0 1 :2 1 :3 1 :5 60  61  61  61  61 0 0 4  3 7  7 17 1

1 :6 1 :7 1 :9 1 :0 1 :1 82  82  82  83  83 6  2 9  1 14 5  19 9  20 3

1 :6 1 :7 1 :8 1 :0 1 :1 61  61  61  62  62 16 2  16 5  15 5  14 4  16 5

1 :2 1 :4 1 :5 1 :6 1 :7 83  83  83  83  83 29 3  29 3  27 2  26 1  27 2

1 :2 1 :3 1 :5 1 :6 1 :7 62  62  62  62  62 16 5  15 5  16 5  16 5  16 5

1 :9 1 :0 1 :2 1 :4 1 :5 83  84  84  84  84 28 3  27 3  26 1  26 1  28 1

1 :8 1 :0 1 :1 1 :2 1 :3 62  63  63  63  63 10 6  10 6  11 6  11 6  18 5

1 :6 1 :7 1 :9 1 :0 1 :1 84  84  84  85  85 28 1  27 1  28 1  23 2  24 1

1 :5 1 :6 1 :7 1 :8 1 :0 63  63  63  63  64 11 6  15 5  11 6  11 6  11 6

1 :2 1 :4 1 :5 1 :6 1 :7 85  85  85  85  85 28 1  26 3  20 4  26 1  23 1

1 :1 1 :2 1 :3 1 :5 1 :6 64  64  64  64  64 16 5  16 5  16 5  16 5  16 5

1 :9 1 :0 85  90 23 0  28 3 

1 :1 1 :2 1 :4 90  90  90 29 3  27 3  29 3

1 :7 1 :8 1 :0 1 :6 1 :7 64  64  65  65  65 17 5  16 5  16 4  14 0  18 0

1 :5 1 :6 1 :7 1 :9 1 :0 90  90  90  90  91 29 3  28 3  29 3  29 3  29 3

1 :9 1 :0 65  70

1 :2 1 :3 1 :4 70  70  70

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中学生数学·2 1 年 6 月上·第 4 3 期( 高中) 02 4
时刻 速度 时刻 速度 时刻 速度 时刻 速度 时刻 速度 时刻 速度 时刻 速度 时刻 速度 时刻 速度 时刻 速度 时刻 速度 时刻 速度 时刻 速度 时刻 速度 时刻 速度 时刻 速度 时刻 速度 时刻 速度 时刻 速度 时刻 1 :1 1 :7 1 :8 1 :0 1 :1 91  94  94  95  95 29 3  13 6  5  4 3  4 4 速度 3  1 2  7 1 4

根据这张数据表, 请你回答下列问题: ( ) 2 列 车 运 行 的 总 路 程 大 概 是 多 少? 1D 2 借助网络查 阅 一 下 具 体 的 数 值, 果 有 误 差, 如 请分析一下原因 . ( )9:1~1 :7 时 间 段 内 列 车 没 有 显 21 1 94 示数据, 因此数据缺失 . 请推算一下, 间 的 平 此 均速度 . () 出 列 车 在 不 同 时 间 运 行 的 速 度 曲 3 画 线, 描述列车全程的运行动态 . 参考解答:
() , 1 设时间为tt时刻的速度为v()D 2 次 列 车 t ,2 四 铁 沈 盘 北 经停站为长 春、 平、 岭、 阳 北、 锦 北、 戴 河、 滦县、 北京, 将这些站分别记作 A, , , , , , , , BCDEFG H 相邻经停站 间 的 距 离 分 别 记 为| B , B |, C |, A || C | D

1 :2 1 :3 1 :4 1 :5 1 :7 95  95  95  95  95 0 0 0 0 0

1 :8 1 :9 2 :1 2 :2 2 :3 95  95  00  00  00 0 3  8 6  8 7  2 15 5

2 :4 2 :6 2 :7 2 :8 2 :9 00  00  00  00  00 19 5  18 5  14 6  14 6  14 6

2 :1 2 :2 2 :3 2 :4 2 :6 01  01  01  01  01 11 6  18 5  18 5  14 6  14 6

应 用 与 建 模

2 :7 2 :8 2 :9 2 :1 2 :2 01  01  01  02  02 19 5  15 6  14 6  19 5  18 5

2 :5 2 :7 2 :8 2 :0 2 :1 02  02  02  03  03 17 1  9  7 3  8 0 2 7

2 :3 2 :4 2 :5 2 :6 2 :8 03  03  03  03  03 10 0  16 0  17 0  13 5  14 6

D || F | G | | E ,E |,F |,GH|.
方法 1: 将总路程分为七段, 求出 每 一 段 内 记 录 下 的所有 m 个速度值的和, 用 这 个 和 除 以 m 得 到 商, 在 把这个值当做这一段的平均速度 . 这七段的 平 均 速 度 分 别 为 :4 .1 9,3 .2 6, 1298 1828 1 0 4 0 ,8 .4 1,9 .7 2,3 .0 7,5 .3 3. 2 .8 0 1 6 3 2 1 6 0 3 1 0 6 8 1 3 0 1 再根据记 录 中 这 七 段 前 后 的 两 个 时 刻 得 到 每 一 段行车用时, 而 得 到 这 七 段 的 距 离 分 别 为| B 进 A |= 1 .9 5 | D 624 | E 1 8 6 7 ,B |=1 5 1 0 ,C |=6 .6 0, D | 2 .2 0 | C =1 5 2 5 ,E |=2 4 3 6 ,F |=6 .5 0,GH 5 .8 1 | F 8 .0 1 | G 968 | 0 .4 7. 2 |=2 9 1 2 于是 D 2 次 列 车 运 行 的 总 路 程 为 d = 1 1 2 . 千米 . 085 ( , 方法 2: 积分的思想) 将所给相 邻 两 个 时 刻 间 作 为一小段时间, 用这小段 时 间 末 端 的 速 度 当 作 这 小 段 ] 区间上的平均速度, 设 区 间 [() ti+1) 上 的 平 即 ti , ( , 均速度为 v(+1) 由 此 计 算 出 D 2 次 列 车 运 行 的 总 i 2 路程为 d =1 5 . 千米 . 039 2 ( , 方法 3: 积分的思想) 将所给相 邻 两 个 时 刻 间 作 为一小段时间, 用这小段 时 间 前 端 的 速 度 当 作 这 小 段 ] 区间上的平均速度, 设 区 间 [() ti+1) 上 的 平 即 ti , ( 均速度为 v() 由此计算出 D 2 次列车运行 的 总 路 程 i, 2 为 d =1 4 . 千米 . 032 3 ( , 方法 4: 积分的思想) 将所给相 邻 两 个 时 刻 间 作 为一小段时间, 用区间端 点 的 平 均 速 度 当 作 这 小 段 区 ] 间上的平均速度, 设 区 间 [() ti+1) 上 的 平 均 即 ti , ( () v(+1 ) , 此计算出 D 2次列车运行 速度 为vi + i 由 2 2

2 :9 2 :0 2 :1 2 :3 2 :4 03  04  04  04  04 17 4  13 6  18 4  13 5  19 5

2 :5 2 :6 2 :8 2 :9 2 :0 04  04  04  04  05 13 6  13 6  18 5  11 5  14 5

2 :1 2 :3 2 :4 2 :5 2 :6 05  05  05  05  05 13 6  14 6  13 6  19 5  15 6

2 :8 2 :9 2 :0 05  05  10 23 0  24 0  24 0 

2 :1 2 :3 10  10 24 0  24 0

2 :4 2 :5 2 :6 2 :8 2 :9 10  10  10  10  10 21 0  24 0  24 0  20 0  23 0

2 :0 2 :2 2 :3 2 :4 2 :5 11  11  11  11  11 24 0  24 0  23 0  16 8  18 9

2 :6 2 :8 2 :9 2 :0 2 :1 11  11  11  12  12 18 8  24 0  24 0  24 0  24 0

2 :3 2 :4 2 :5 2 :6 2 :8 12  12  12  12  12 24 0  22 0  24 0  23 0  24 0

2 :9 2 :0 2 :1 2 :3 2 :4 12  13  13  13  13 24 0  23 0  20 0  16 3  18 1

2 :5 2 :6 2 :8 2 :9 2 :0 13  13  13  13  14 15 0  19 1  19 1  14 0  19 0

2 :1 2 :5 2 :6 2 :7 2 :9 14  14  14  14  14 8  6 14 1  7  0 3  9 3 8

2 :0 2 :1 2 :2 15  15  15

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中学生数学·2 1 年 6 月上·第 4 3 期( 高中) 02 4 的总路程为 d =1 4 . 千米 . 086 4 网络数据: 长春到北京 的 火 车 距 离 为 d=1 0 千 03 程. 在前三 段 基 本 为 一 个 较 慢 的 恒 速:6 千 米/小 15 时; 第三、 四段 运 行 在 较 高 的 速 度 上 :3 千 米/小 时; 29 第六段和第 七 段 的 大 约 前 四 分 之 一 又 回 到 了 较 慢 的 第 约 1 5 千米/小时; 七 段 的 中 间 时 段 ( 占 第 七 段 的 一 6 半) 速 度 大 约 是 2 4 千 米/小 时; 七 段 的 后 四 分 之 的 第 0 一是逐渐减速 . 列车运行过程中因 为 有 停 靠 站, 有 七 段 运 行 过 共

应 用 与 建 模

d +d 米. 距离误差百分比定义为| i |. d
上述四种算 法 的 距 离 误 差 百 分 比 分 别 为 0 0 5 .2 4 ,.5 8,.4 1,.4 4. 000 000 005 误差原因分析: 数据的误差可能来源 于 数 据 缺 失, 一 个 重 要 原 另 因是所估计的 平 均 速 度 的 误 差 使 得 结 果 出 现 较 大 误 差, 速度区间的划分是比较关键的因素 . 误差可能的原因为平 均 速 度 的 假 设 过 于 粗 糙, 间 隔大的数据对结果有影响 . () 来 2 我们选用第一种距离估 算 方 法, 研 究 1 :1 91 假 94 ~1 :7 时 间 段 内 的 缺 失 数 据, 设 缺 失 数 据 是 导 致 总体距离误差的主要因素 . 列车实际 距 离 为 精 确 的 1 0 千 米, 照 第 一 种 按 03 多走了 2 . 千米 . 算法可估算出距离为 1 2 . 千米, 085 55 该时 间 段 经 历 时 间 为 3 分 钟. 第 一 种 算 法 估 计 的 用 6 于 平均速度为 1 6 0 3 千 米/小 时, 是 知 道 这 段 缺 失 9 .7 2 数据对应的更为 准 确 的 平 均 速 度 v 满 足 (9 .7 2- 1603 · 66 v) 3 / 0=2 . , 5 5 解得

四、( 分 2 分 ) 满 0 薄 A B 是从密度均匀、 O D 厚一 致、 径 为 r 的 圆 形 半 纸板 上 剪 下 来 的 开 角 为 2 的 扇 形 纸 板, D 为 对 O θ 已知 这 块 扇 形 纸 板 称轴 .
图2

r iθ 的重心 Ce 位于 距 离 圆 心 O 为2 sn 的 位 置 . sc 3θ
请你确定弓形 纸 板 A D 的 重 心 位 置, 给 出 即 B 一个用r 和θ 表示的数学模型 . 参考解答:
由图可知, 形 O B 是 关 于 O 对 称 的 . 此 扇 因 AD D 扇形的重心应位 于 O 上, 重 心 在 距 离 点 O 为 xsc 则 D e 2 sn r iθ的点 = Csc处 . e 3 θ 扇形 O B 可以分为三角形O B 和弓形 AD E AD A B 两部分 . 知 三 角 形 O B 的 重 心 位 于 对 称 轴 O 上, 又 A D 与点 O 的距离为xti= 2roθ 的点 Cti处 . cs e r 3 显然弓形的重 心 Ce 也 应 该 在 半 径 O 上 . 该 设 D sg 点据圆心 O 点的距离为xsg. e 根据假设, 可知这三 个 重 心 的 位 置 应 与 这 个 扇 形 以及组成它的三角形和弓形的面积有关 . 有关系

v=1 7 5 3 千米/小时 . 4 .7 2
由此看出在这个时间段内有减速现象更为准确 . 由第二种估计方法, 得此段的平均速度 v 满足 (6 v) 6 6 1 3- ×3 / 0=1 5 . 0 3 9-1 0 , 03 解得 v=7 千米/小时 . 8 由第三种估计方法估计此段的平均速度 v 满足 (3 v) 6 6 2 9- ×3 / 0=1 4 . 0 3 2-1 0 , 03 解得 v=1 2 千米/小时 . 7 由第四种估计方法估计此段的平均速度 v 满足 (1 3+2 9 / v) 6 6 (6 3 )2- ×3 / 0=1 4 . 0 8 6-1 0 , 03 解得 v=1 5 千米/小时 . 2 () 3 时间 - 速度图像如图 1:

Ar ( sc-Cr ) Asg( sg-Ce ) t Ce i t i = e Ce sc ,
或者有

Ar ( sc-xr ) Asg( sg-xe ) t xe i t i = e xe sc .
式中 Ar 、 sg分 别 表 示 三 角 形 和 弓 形 的 面 积 . 显 t Ae i 然如果用 Asc 表 示 扇 形 的 面 积, 该 有 Asc =Ar + 应 e e t i 由此, 前面的式子就可以改写成 Asg. e

Asg·xe =Asc·xe - Ar ·xr , e sg e sc t i t i
由此解得

Asc sc-Arxr , exe t t i i xe = sg Asg e


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中学生数学·2 1 年 6 月上·第 4 3 期( 高中) 02 4 不难算出
2 Asc= rθ π= 2 , ti= 2 iθoθ. π / rθ Ar rsncs e

比 . E=p S. 即 1 又已知动物体 内 消 耗 的 能 量 E 与 通 过 其 心 脏 的 血流量 Q 成正比, E=p Q. 即 2 因此得 Q=p . S 另一方面, 因为体积 V 与 体 重 W 成 正 比, 表 为 可 而表面积 S 大 约 与 体 积 V 的 三 分 之 二 次 方 V = 1W . r 可表为 S= 2 3 . 成正比, rV 因此得 S= W 3 . r 所以血流量与体重关系模型: = k·W 3 . Q
2 2 2

由此可得 Asg= (-sncs ) 代入上面的公式 r θ iθoθ . e


可以算出

r snθ 2 i3 xe = . sg 3 -sncs θ iθoθ

( 五、 满分 2 分) 生物学家认为, 在 休 息 正 0 时的温血动 物 体 内 消 耗 的 能 量 就 是 为 了 保 持 体内消耗的能量 E 与通过心脏的血流 其体温 . 量 Q 成 正 比, 重 与 体 积 成 正 比 . 知 一 些 动 体 已 物的体重与脉搏率如表 1 所示:
表 1  一些动物的体重和脉搏率 动物名 鼠 大鼠 豚鼠 兔 小狗 大狗 羊 马 体重( 克) 2  5 20 0  30 0  20  00 50  00 300 00  500 00  400  500 脉搏率 ( 心跳次数/分钟) 60 7 40 2 30 0 25 0 10 2 8 5 7 0 3 8

应 用 与 建 模

Q 又根据假设, () 有 有 q= W . 2 根据定义, f= . c q Q 得 再由( ) 1 的结论 Q= ·W 3 和 f= , k q


f=

Q k 3, W 也就是 k = f= 1 . c W q W3



这个脉搏率与体重 关 系 的 模 型 说 明, 血 动 物 的 温 体重越大, 搏 率 越 底 . 搏 率 与 体 重 的 三 分 之 一 次 脉 脉 方成反比 . () 1 的 数 据 基 本 上 反 映 了 这 个 反 比 例 的 关 3表 系 . 3 是 原 始 数 据 的 散 点 图, 4 是 以 l ( ) l 图 图 nW 和 n () f 为坐标的散点图 .

1 请    ( ) 你 根 据 上 面 提 供 的 生 物 学 家 的 认 给出血流量与体重关系的数学模型 . 识, () 体 2 从表 1 可以看 到, 重 W 越 轻 的 动 物 脉搏率f 越高 . 通 过 各 量 之 间 的 比 例 关 系, 请 建立脉搏率与体重关系的数学模型 . ( ) 据 表 1, 出 动 物 的 体 重 和 脉 搏 率 作 3根 的散点图, 验证你建立的数学模型 . 名词解释: 血流量 Q 是单位时间流过的血 量, 脉博率 f 是单位时间心跳的次数 . 假设: 心脏每次收缩挤压 出 来 的 血 量 q 与 动物的心脏大小与其体 积 大 心脏大小成正比, 小成正比 . 参考解答:
() 表 1 因为 动 物 体 温 通 过 身 体 表 面 散 发 热 量 . 面 积 越 大, 发 的 热 量 越 多, 保 持 体 温 需 要 的 能 量 越 散 为 大, 以 动 物 体 内 消 耗 的 能 量 E 与 其 表 面 积 S 成 正 所
图 4  对 数 坐 标 下 脉 搏 率 f 与 体 重 W 的 散 点 图 图 3  脉 搏 率 f 与 体 重 W 的 散 点 图

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