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专题3 导数-2014届高三名校数学(理)试题解析分项汇编

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一.基础题组
1.【宁夏银川一中 2014 届高三年级第一次月考理科】曲线 y ? 围成的封闭图形的面积为( A. 2ln 2 B. 2 ? ln 2 ) C. 4 ? ln 2 D. 4 ? 2ln 2

2 与直线 y ? x ? 1 及 x ? 4 所 x

2.【安徽省池州一中 2014 届高三第一次月考数学(理) 】等差

数列 ?an ? 中的 a1 、 a4025 是函数
1 f ( x) ? x3 ? 4 x2 ? 6 x ? 1 的极值点,则 log2 a2013 ? ( 3

) C. 4 D. 5

A. 2

B. 3

考点:等差数列的性质,函数的极值。

1

3.【江西省 2014 届高三新课程适应性考试理科数学】由幂函数 y ? x 2 和幂函数 y ? x 图像围
3

1

成封闭形的面积为( A.

) C.

1 12

B.

1 4

1 3

D.

5 12

4.【广东省广州市海珠区 2014 届高三入学摸底考试数学理试题】一物体在力

0 ? x ? 2, ?5, F ( x) ? ? (单位: N )的作用下沿与力 F 相同的方向,从 x ? 0 处运动到 x ? 4 ?3x ? 4, x ? 2
(单位: m )处,则力 F ( x) 做的功为 焦.

5.【江西省 2014 届高三新课程适应性考试理科数学】已知某物体运动位移 S (t ) 与时间 t 的函 数关系是 S (t ) ? 解是

1 3 2 t ? t (t ? 0) ,记这物体在 t 时刻的运动速度为 v(t ) ,则不等式 v(t ) ? 8 的 3
.

6.【广东省惠州市 2014 届高三第一次调研考试】一物体在力 F ( x) ? ?

0 ? x ? 2, ?5, (单位: ?3x ? 4, x ? 2

N )的作用下沿与力 F 相同的方向,从 x ? 0 处运动到 x ? 4 (单位:m )处,则力 F ( x) 做的功
为 焦.

2

7.【安徽省池州一中 2014 届高三第一次月考数学(理) 】抛物线 x2 ? 2 y 上点 (2,2) 处的切线方 程是 .

8.【江苏省南京市 2014 届高三 9 月学情调研】曲线 y ? x ? sin x 在点 ? 0, 0 ? 处的切线方程 是 .

9. 【广东省惠州市 2014 届高三第一次调研考试】 已知函数 f ( x) ? x ? 3x , 若过点 A ? 0,16 ?
3

且与曲线 y ? f ( x) 相切的切线方程为 y ? ax ? 16 ,则实数 a 的值是( A. ?3 B. 3 C.6 D.9

)

3

10.【2014 届新余一中宜春中学高三年级联考数学(理) 】 函数 f(x)=excosx 的图像在点(0,f(0)) 处的切线的倾斜角为 A.0 π B. 4 ( ) C.1 π D. 2

11.【广东省汕头四中 2014 届高三第一次月考数学(理) 】从如图所示的正方形 OABC 区域内 任取一个点 M ( x, y ) ,则点 M 取自阴影部分的概率为( (A) )

1 2

(B)

1 3

(C)

1 4

(D)

1 6

4

12.【江西省 2014 届高三新课程适应性考试理科数学】已知函数 f ( x) ?

1 2 x ? 4ln x ,若存 2

在满足 1 ? x0 ? 3 的实数 x0 ,使得曲线 y ? f ( x) 在点 ( x0 , f ( x0 )) 处的切线与直线

x ? my ? 10 ? 0 垂直,则实数 m 的取值范围是(
A. [5, ??) B. [4,5] C. [4,



13 ] 3

D. (??, 4)

13.【宁夏银川一中 2014 届高三年级第一次月考理科】方程 x3-3x=k 有 3 个不等的实根, 则 常数 k 的取值范围是

14. 【江苏省泰州中学 2013-2014 学年度第一学期高三数学考试】 已知点 A(1,1) 和点 B(?1, ?3) 在曲线 C : y ? ax ? bx ? d ( a, b, d 为常数上,若曲线在点 A 和点 B 处的切线互相平行,则
3 2

a3 ? b2 ? d ? _________.

5

考点:利用导数研究曲线上某点切线方程. 15.【广东省珠海市 2014 届高三 9 月摸底考试数学(理) 】直线 y ? ? 的切线, 则实数 b ? .

1 1 x ? b 是函数 f ( x) ? 4 x

16.【河北省唐山市 2013-2014 学年度高三年级摸底考试理科】过坐标原点与曲线 y ? ln x 相 切的直线方程为 .

二.能力题组

6

17.【湖北省荆州中学 2014 届高三年级第一次质量检测数学】设函数 f ( x) 的导函数为 f ( x) , 对任意 x ? R 都有 f ( x) ? f ( x) 成立,则(
'

'



A. 3 f (ln 2) ? 2 f (ln 3) C. 3 f (ln 2) ? 2 f (ln 3)

B.

3 f (ln 2) ? 2 f (ln 3)

D. 3 f (ln 2) 与 2 f (ln 3) 的大小不确定

18.【吉林省白山市第一中学 2014 届高三 8 月摸底考试理】设函数 y ? f ( x), x ? R ,的导函 数为 f '( x) ,且 f ( x) ? f (? x) , f ?( x) ? f ( x) ,则下列不等式成立的是(注:e 为自然对数 的底数) ( ) B. e?1 f (1) ? f (0) ? e2 f (2) D. e2 f (2) ? f (0) ? e?1 f (1)

A. f (0) ? e?1 f (1) ? e2 f (2) C. e2 f (2) ? e?1 f (1) ? f (0)

19.【宁夏银川一中 2014 届高三年级第一次月考理科】设点 P 在曲线 y ? e 上,点 Q 在曲线
x

y ? ln x 上,则|PQ|最小值为(

)

7

A. 2 ? 1

B.

2

C. 1 ? 2

D. ln 2

同理,对于曲线 y ? e ,令 y? ? e ? 1 ,得 x ? 0 ,所以 P 点坐标为 (0,1) ,综上, | PQ | 最小
x x

值为 1 ? 1 ?

2 ,选 B.

考点:1.导数的几何意义;2.两点间的距离公式.

? ? x 2 ? 2 x, x ? 0 20.【宁夏银川一中 2014 届高三年级第一次月考理科】已知函数 f ( x) ? ? ,若 ?ln( x ? 1), x ? 0
| f ( x) |≥ ax ,则 a 的取值范围是( A. (??, 0] B. (??,1] ) C. [?2,1] D. [?2,0]

21.【江西省 2014 届高三新课程适应性考试理科数学】已知函数 y ? f ( x) 对任意的

x ? (?

? ?

,则下列 , ) 满足 f ' ( x) cos x ? f ( x)sin x ? 0 (其中 f ' ( x) 是函数 f ( x) 的导函数) 2 2 )

不等式成立的是( A. 2 f ( ? D. f (0) ?

?

) ? f (? ) 3 4 2f( ) 4

?

B. 2 f ( ) ? f ( )

?

?

?

3

4

C. f (0) ? 2 f ( )

?

3

8

22. 【 安 徽 省 望 江 四 中 2014 届 高 三 上 学 期 第 一 次 月 考 数 学 ( 理 ) 】已知函数

f ( x) ? ax 3 ? bx 2 ? 2(a ? 0) 有且仅有两个不同的零点 x1 , x2 ,则(
A.当 a ? 0 时, x1 ? x2 ? 0 , x1 x2 ? 0 C.当 a ? 0 时, x1 ? x2 ? 0 , x1 x2 ? 0



B.当 a ? 0 时, x1 ? x2 ? 0 , x1 x2 ? 0 D.当 a ? 0 时, x1 ? x2 ? 0 , x1 x2 ? 0

23.【成都外国语学校 2014 级高三开学检测试卷】已知函数

x 2 x3 x 4 x 2013 x 2 x3 x 4 x 2013 f ( x) ? 1 ? x ? ? ? ? ... ? ? ? ? ... ? , g ( x) ? 1 ? x ? ,设函数 2 3 4 2013 2 3 4 2013
且函数 F ( x) 的零点均在区间 [a, b](a ? b, a, b ? Z) 内, 则b ? a的 F ( x) ? f ( x ? 3) ? g ( x ? 4) , 最小值为( )
9

A、11

B、10

C、9

D、8

24.【山西省忻州一中 康杰中学 临汾一中 长治二中 2014 届高三第一次四校联考理】已知函 数 y ? f ( x) 定义域为 (?? , ? ) ,且函数 y ? f ( x ? 1) 的图象关于直线 x ? ?1 对称,当 (其中 f ?( x) 是 f ( x) 的导函数) ,若 x ? (0, ? ) 时, f ( x) ? ? f ?( ) sin x ? ? ln x , 2 1 ) a ? f (30.3 ), b ? f (log ? 3), c ? f (log 3 ) ,则 a, b, c 的大小关系是( 9 A. a ? b ? c B. b ? a ? c C. c ? b ? a D. c ? a ? b

?

10

25.【宁夏银川一中 2014 届高三年级第一次月考理科】设集合 P={x|?x (3t2-10t+6)dt=0,

?0

x>0},则集合 P 的非空子集个数是

.

【答案】 3 . 【解析】 试题分析:将集合 P 化简为 P ? {x | x ? 5 x ? 6 x ? 0, x ? 0} ? {2,3} ,故其非空集合个数是
3 2

22 ? 1 ? 3 个.
考点:1.定积分;2.集合的子集. 26.如图放置的边长为 1 的正方形 PABC 沿 x 轴滚动, 点 B 恰好经过原点.设顶点 P( x, y ) 的轨 迹方程是 y ? f ( x) ,则对函数 y ? f ( x) 有下列判断:①函数 y ? f ( x) 是偶函数;②对任意 的 x ? R ,都有 f ( x ? 2) ? f ( x ? 2) ;③函数 y ? f ( x) 在区间 [2,3] 上单调递减;④

?

2

0

f ( x)dx ?

? ?1
2

.其中判断正确的序号是

.

11

三.拔高题组
27.【江西师大附中高三年级 2013-2014 开学考试】 (本小题满分 14 分) 设 f ( x) ? e ? a( x ? 1) .
x

(Ⅰ)若 a ? 0, f ( x) ? 0 对一切 x ? R 恒成立,求 a 的最大值. (Ⅱ)设 g ( x) ? f ( x) ?

a ,且 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )( x1 ? x2 ) 是曲线 y ? g ( x) 上任意两点,若对 ex

任意的 a ? ?1 ,直线 AB 的斜率恒大于常数 m ,求 m 的取值范围; (III)求证: 1 ? 3 ? ? ? (2n ? 1) ?
n n n

e (2n) n (n ? N * ) . e ?1

12

i i ? ? i i 2n ? i n 2n 2 ? e ,即 ( ) ?e , (III)由(1)知 e ≥x+1,取 x= ? , i ? 1,3,?2n ? 1, 得 12n 2n 2n

x

2 n ?1 2 n ?3 1 ? ? ? 1 3 2n ? 1 n e 2 (1 ? e ? n ) e ) ? e 2 ? e 2 ??? e 2 ? ? 累加得: ( ) n ? ( ) n ? ? ? ( , 2n 2n 2n e ?1 1 ? e ?1

?

1

∴ 1 ? 3 ? ? ? (2n ? 1) ?
n n n

e (2n) n 故存在正整数 a=2.使得 e ?1 ,

? 1n ? 3n ? ? ? (2n ? 1) n ?

e ( an ) n e?1 .
13

考点:1、利用导数判断单调性,2、利用导数求最值,3、构造法求函数问题. 28.【成都外国语学校 2014 级高三开学检测试卷】已知函数 f ( x) ? ax 2 ? ln( x ? 1) .
1 (Ⅰ)当 a ? ? 时,求函数 f ( x) 的单调区间; 4

(Ⅱ)当 x ?[0, ??) 时,不等式 f ( x) ? x 恒成立,求实数 a 的取值范围. (Ⅲ)求证: (1 ? 的底数).
2 4 8 2n )(1 ? )(1 ? ) ? ? ? [1 ? n ?1 ] ? e ( n ? N* ,e 是自然对数 2?3 3? 5 5?9 (2 ? 1)(2n ? 1)

14

29.【2014 届吉林市普通高中高中毕业班复习检测】已知定义在 (?

? ?

, ) 的函数 2 2

f ( x) ? eax tan x (a ? 0) ,在 x ?
(Ⅰ)求 a 及

?
4

处的切线斜率为 6e

?

f ( x) 的单调区间;

(Ⅱ)当 x ? [0,

?
2

) 时, f ( x) ? mx 恒成立,求 m 的取值范围.

15

16

30.【江苏省苏州市 2014 届高三九月测试试卷】如图,某自来水公司要在公路两侧排水管, 公路为东西方向,在路北侧沿直线 l1 排,在路南侧沿直线 l2 排,现要在矩形区域 ABCD 内沿 直线将 l1 与 l2 接通.已知 AB ? 60m , BC ? 80m ,公路两侧排管费用为每米 1 万元,穿过 公路的 EF 部分的排管费用为每米 2 万元,设 EF 与 AB 所成的小于 90 的角为 ? . (Ⅰ)求矩形区域 ABCD 内的排管费用 W 关于 ? 的函数关系式; (Ⅱ)求排管的最小费用及相应的角 ? .
?

17

31. 【 江 苏 省 扬 州 中 学 2013 — 2014 学 年 高 三 开 学 检 测 】 已 知 a, b 是 实 数 , 函 数

f ( x) ? x3 ? ax, g ( x) ? x 2 ? bx , f ?( x) 和 g ?( x) ,分别是 f ( x), g ( x)
的导函数,若 f ?( x) g ?( x) ? 0 在区间 I 上恒成立,则称 f ( x) 和 g ( x) 在区间 I 上单调性一致.
18

(Ⅰ)设 a ? 0 ,若函数 f ( x) 和 g ( x) 在区间 [?1, ??) 上单调性一致,求实数 b 的取值范围; (Ⅱ)设 a ? 0 且 a ? b ,若函数 f ( x) 和 g ( x) 在以 a, b 为端点的开区间上单调性一致,求

a ? b 的最大值.

19

32.【湖北省荆门市龙泉中学 2014 届高三 8 月月考数学(理) 】已知函数 f ( x) ? x ? 2a ln x .
2

(1)若函数 f ( x) 的图象在 (2, f (2)) 处的切线斜率为 1 ,求实数 a 的值; (2)在(1)的条件下,求函数 f ( x) 的单调区间; (3)若函数 g ( x) ?

2 ? f ( x) 在 [1, 2] 上是减函数,求实数 a 的取值范围. x

20

33.【广东省广州市海珠区 2014 届高三入学摸底考试数学理试题】已知函数

f ( x) ? ln(ax ? 1) ?

2 ? 1( x ? 0, a ? 0) . x ?1

(1)若 f ( x) 在 x ? 1处取得极值,求 a 的值; (2)求 f ( x) 的单调区间;

21

(3)若 a ? 1 且 b ? 0 ,函数 g ( x) ?

1 3 bx ? bx ,若对于 ?x1 ? (0,1) ,总存在 x2 ? (0,1) 使得 3

f ( x1 ) ? g ( x2 ) ,求实数 b 的取值范围.

22

34.【安徽省六校教育研究会 2014 届高三素质测试理】 (本小题满分 13 分)设函数

f ? x ? ? ? x ? 1? e x ? kx 2 (其中 k ? R ).
(1) 当 k ? 1 时,求函数 f ? x ? 的单调区间和极值;

+? ? 时,函数 f ? x ? 在 R 上有且只有一个零点. (2) 当 k ? ? 0 ,

23

g ? ? t ? ? et ? 2t , g ??(t ) ? et ? 2 . ? t ? 2 , ? g ?? ? t ? ? 0 , g ? ? t ? 在

?2 , ? ? ?

上 单 增 ,

24

35. 【广东省佛山市南海区 2014 届普通高中高三 8 月质量检测理】 设 P 是曲线 C1 上的任一点,

Q 是曲线 C2 上的任一点,称 PQ 的最小值为曲线 C1 与曲线 C2 的距离.
(1)求曲线 C1 : y ? e 与直线 C2 : y ? x ? 1 的距离;
x

( 2 ) 设曲线 C1 : y ? e 与 直 线 C3 : y ? x? m( m ? R,m ? 0 ) 的 距离 为 d1 , 直线
x

C2 : y ? x ? 1 与直线 C3 : y ? x ? m 的距离为 d 2 ,求 d1 ? d 2 的最小值.

25

36.【安徽省望江四中 2014 届高三上学期第一次月考数学(理) 】 (本小题共 12 分)已知函数

f ( x) ?

1 2 x ? a ln x(a ? 0). 2

(1)若 a ? 2, 求 f ( x) 在 (1, f (1)) 处的切线方程; (2)若 f ( x) 在区间 (1, e) 上恰有两个零点,求 a 的取值范围.

26

37.【安徽省望江四中 2014 届高三上学期第一次月考数学(理) 】 (本小题 14 分)已知函数

f ( x) ? ( x 2 ? x ? a)e a ( a ? 0 ).
(1)当 a ? 1 时,求函数 f ( x) 的单调区间; (2)当 x ? ?5 时, f ( x) 取得极值. ① 若 m ? ?5 ,求函数 f ( x) 在 ? m, m ? 1? 上的最小值; ② 求证:对任意 x1 , x2 ? [?2,1] ,都有 | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? 2 .

x

27

x

(??, ?5)
+ ↗ ,

?5
0

(?5,0)


0
0

(0, ??)
+ ↗

f ?( x) f ( x)
所以函数 f ( x) 在 ? ??, ?5 ?

? 0 ? ? ? 递增,在 ? ?5, 0 ? 递减

28

38. 【四川省德阳中学 2014 届高三“零诊”试题理科】 (本小题满分 14 分)已知函数

f ( x) ?

1 ? ln x . x 1 3

(1)若函数 f ( x) 在区间 (a, a ? )(a ? 0) 上存在极值点,求实数 a 的取值范围; (2)当 x ? 1 时,不等式 f ( x) ? (3)求证: ? (n ? 1)!? ? ( n ? 1)e
2

k 恒成立,求实数 k 的取值范围; x ?1
n ? 2? 2 n ?1

. ( n ? N ? , e 为自然对数的底数)

29

?a ? 0 ? x ? 1??1 ? ln x ? ,然后令 2 ? 值点,故 ? (2)根据条件可得 k ? 1 ? ? a ? 1; x 3 a ?1? a ? ? 3 ?

30

39.【宁夏银川一中 2014 届高三年级第一次月考理科】设 a 为实数,函数

f ( x) ? e x ? 2 x ? 2a, x ? R.
(Ⅰ)求 f ( x) 的单调区间与极值; (Ⅱ)求证:当 a ? ln 2 ? 1且 x ? 0 时, e ? x ? 2ax ? 1.
x 2

31

40.【山西省忻州一中 康杰中学 临汾一中 长治二中 2014 届高三第一次四校联考理】(本小 题满分 12 分)设函数 f ( x) ? x (e ? 1) ? ax
2 x 3

(1) 当 a ? ? 时,求 f ( x) 的单调区间; (2) 若当 x ? 0 时, f ( x) ? 0 恒成立,求 a 的取值范围.

1 3

32

41.【广东省珠海市 2014 届高三 9 月摸底考试数学(理) 】已知函数 f ( x) ? (1)当 a ? 1 时,求 f ( x) 在 [ , 2] 上的最小值; (2)若函数 f ( x) 在 [ , +?) 上为增函数,求正实数 a 的取值范围;

1? x ? ln x ax

1 2

1 2

(3)若关于 x 的方程 1 ? x ? 2 x ln x ? 2mx ? 0 在区间 ? , e ? 内恰有两个相异的实根,求实 e 数 m 的取值范围. 【答案】 (1)0; (2) a ? 2 ; (3) {m | 【解析】 试题分析: (1)对函数求导,求出给定区间上唯一的极小值就是最小值; (2)求导,求出函 数的增区间即可; (3)将方程的根转化为两函数图象交点来处理,体现了数学转化思想. 试题解析: (1)当 a ? 1 f ( x) ?

?1 ?

? ?

1 e?3 ? ln 2 ? m ? }. 2 2

1 1 1 x ?1 ? ln x ? 1 , f '( x) ? ? 2 ? 2 , x x x x

于是,当 x 在 [ , 2] 上变化时, f '( x), f ( x) 的变化情况如下表:

1 2

x
f '( x) f ( x)

1 2



1 ,1) 2


1 0 极小值 0

(1,2) + 单调递增

2

1 ? ln 2

单调递减

ln 2 ?

1 2

33

42. 【 广 东 省 广 州 市 越 秀 区 2014 届 高 三 上 学 期 摸 底 考 试 ( 理 ) 】已知函数

x f ( x)? 1? l n 2? x

(? 0x ? . 2 )

(1)是否存在点 M (a, b) ,使得函数 y ? f ( x) 的图像上任意一点 P 关于点 M 对称的点 Q 也

34

在函数 y ? f ( x) 的图像上?若存在,求出点 M 的坐标;若不存在,请说明理由; (2)定义 Sn ?
2 n ?1 i ?1

? f ( n ) ? f ( n ) ? f ( n ) ? ??? ? f (

i

1

2

2n ? 1 ) ,其中 n ? N* ,求 S 2013 ; n
a m

* (3)在(2)的条件下,令 Sn ? 1 ? 2an ,若不等式 2 n ? (an ) ? 1 对 ?n ? N 且 n ? 2 恒成立,

求实数 m 的取值范围.

35

43.【江苏省南京市 2014 届高三 9 月学情调研】已知函数 f ? x ? ? ax ? ln x ( a 为常数) .
2

(1)当 a ?

1 时,求 f ? x ? 的单调递减区间; 2

(2)若 a ? 0 ,且对任意的 x ? ?1, e ? , f ? x ? ? ? a ? 2 ? x 恒成立,求实数 a 的取值范围.

36

37

44. 【浙江省绍兴市第一中学 2014 届高三上学期回头考】 已知函数 f ? x ? ? x x ? a ? ln x , a? R .

e ? 上的最值; (Ⅰ)若 a ? 2 ,求函数 f ? x ? 在区间 ?1 ,
(Ⅱ)若 f ? x ? ? 0 恒成立,求 a 的取值范围. 注: e 是自然对数的底数

38

所以 a ? 1 ;

39

②当 a ? 1 时, x ? a 的最小值为 0 ,而 ln x ? 0 ? x ? 1? ,显然不满足题意.

x

1? . 综上可得,满足条件的 a 的取值范围是 ? ?? ,
考点:利用导数求函数的最值、分段函数、参数分离法 45.【2014 届新余一中宜春中学高三年级联考数学(理) 】已知函数 f(x)=aex,g(x)=lnx-lna, 其中 a 为常数,e=2.718…,且函数 y=f(x)和 y=g(x)的图像在它们与坐标轴交点处的切线互 相平行. (1)求常数 a 的值;(2)若存在 x 使不等式

x?m > x成立,求实数 m 的取值范围; f ( x)

(3)对于函数 y=f(x)和 y=g(x)公共定义域内的任意实数 x0,我们把|f(x0)-g(x0)|的值称为两函数 在 x0 处的偏差.求证:函数 y=f(x)和 y=g(x)在其公共定义域内的所有偏差都大于 2.

40

46.【吉林市普通中学 2013-2014 学年度高中毕业班摸底测试理】已知函数 f ( x ) ? 中k ?R 且k ? 0. (I)求函数 f ( x ) 的单调区间; (II)当 k ? 1时,若存在 x ? 0 ,使 ln f ( x) ? ax 成立,求实数 a 的取值范围.
2 【答案】 (I)减区间是 (0, 2) ,增区间是 (0, 2) ; (II) ( ??, ? 1) . e

kx 2 ,其 ex

【解析】 试题分析: (I) 先对函数求导, 再分 k>0 和 k<0 两种情况讨论, 可得函数 f ( x ) 的单调区间; (II)

k ? 1 时,

47.【广东省汕头四中 2014 届高三第一次月考数学(理) 】已知函数

41

(1)设函数 f(x)的图象与 x 轴交点为 A,曲线 y=f(x)在 A 点处的切线方程是 y ? 3x ? 3 ,求

1 1 f ( x) ? x3 ? ax 2 ? x ? b(a ? 0) , f '( x) 为函数 f ( x) 的导函数. 3 2

a, b 的值;
(2)若函数 g ( x) ? e
? ax

? f '( x) ,求函数 g ( x) 的单调区间.






2



: (

1





1 1 f ( x) ? x3 ? ax 2 ? x ? b(a ? 0) 3 2





f'

(? x

) ? x

? a x 1 .…………………… 1分
? f '(1) ? 3 ,……………………3 分 ? f (1) ? 0
…………………5 分

∵ f ( x) 在 (1, 0) 处切线方程为 y ? 3x ? 3 ,∴ ? ∴ a ? 1, b ? ? (2) g ( x) ?

11 . (各 1 分) 6

f '( x) x 2 ? ax ? 1 ? ( x ? R) . eax eax
………………7 分

g '( x) ?

(2 x ? a )e ax ? a ( x 2 ? ax ? 1)e ax ? ? x[ax ? (a 2 ? 2)]e? ax . ax 2 (e )
①当 a ? 0 时, g '( x) ? 2 x ,

x
g '( x)
g ( x)

(??,0)
-

0 0 极小值

(0, ??)
+

?

?
………………9 分 ……………10 分

g ( x) 的单调递增区间为 (0, ??) ,单调递减区间为 (??,0) .
②当 a ? 0 时,令 g '( x) ? 0 ,得 x ? 0 或 x ? (ⅰ)当

2 ?a a

2 ? a ? 0 ,即 0 ? a ? 2 时, a

42

x
g '( x) g ( x)

(??,0)
-

0 0 极小值

(0,

2 ? a2 ) a
+

2 ? a2 a
0 极大值

(

2 ? a2 , ??) a
-

?

?

?

48.【安徽省池州一中 2014 届高三第一次月考数学(理) 】已知函数 f ( x) ? (Ⅰ)求 f ( x) 的极值;

1 ? a ? ln x ,a?0. x

(Ⅱ)当 a ? 1 时,若不等式 f ( x) ? k ? 0 在 ? 0, ?? ? 上恒成立,求 k 的取值范围.

43

49. 【 广 东 省 广 州 市 “ 十 校 ”2013-2014 学 年 度 高 三 第 一 次 联 考 理 】 已 知 函 数

f ( x )? l n ( a 2x ?

x2 1 ?) 3

?2 x ? a 2x a ( ? R )

44

(1)若 x ? 2 为 f ( x) 的极值点,求实数 a 的值; (2)若 y ? f ( x) 在 ?3, ?? ? 上为增函数,求实数 a 的取值范围; (3)当 a ? ?

(1 ? x)3 b 1 时,方程 f (1 ? x) ? ? 有实根,求实数 b 的最大值. 3 x 2

45

(3)解: a ? ?

(1 ? x)3 b 1 b 时,方程 f (1 ? x) ? ? 可化为, ln x ? (1 ? x)2 ? (1 ? x) ? . 3 x x 2

46

50. 【 内 蒙 古 赤 峰 市 全 市 优 质 高 中 2014 届 高 三 摸 底 考 试 ( 理 ) 】 已 知 a>0 , 函 数
2 f ( x) ? a x ? x , g ( x )? l n.x

(1)若 a ?

1 ,求函数 y ? f ( x) ? 2 g ( x) 的极值, 2

(2)是否存在实数 a ,使得 f ( x) ? g (ax) 成立?若存在,求出实数 a 的取值集合;若不存在, 请说明理由.

47

51.【江苏省泰州中学 2013-2014 学年度第一学期高三数学考试】已知

P ? x, y ?

为函数

y ? 1 ? ln x 图象上一点, O 为坐标原点,记直线 OP 的斜率 k ? f ? x ? .
(1)若函数 f ? x ? 在区间 ? m, m ? (2)当 x ? 1时,不等式 f ? x ? ?
n

? ?

1? ? ? m ? 0 ? 上存在极值,求实数 m 的取值范围; 3?

t 恒成立,求实数 t 的取值范围; x ?1
*

(3)求证:

? ln[i ? (i ? 1)] ? n ? 2 ? n ? N ? .
i ?1

48

49

52. 【湖北省荆州中学 2014 届高三年级第一次质量检测数学】 (本题满分 12 分)设函数

f ( x) ? a ln x , g ( x) ?
'

1 2 x . 2
'

(1) 记 g ( x) 为 g ( x) 的导函数, 若不等式 f ( x) ? 2 g ( x) ? (a ? 3) x ? g ( x) 在 x ? [1, e] 上有解, 求实数 a 的取值范围; (2) 若 a ? 1, 对任意的 x1 ? x2 ? 0 , 不等式 m[ g ( x1 ) ? g ( x2 )] ? x1 f ( x1 ) ? x2 f ( x2 ) 恒成立. 求

m



m? Z



m ?1







50

53.【河北省唐山市 2013-2014 学年度高三年级摸底考试理科】 (本小题满分 12 分)已知函数

f ( x) ? 2ln x ? ax ? a(a ? R) .
(Ⅰ)讨论 f ( x) 的单调性; (Ⅱ)若 f ( x) ? 0 恒成立,证明:当 0 ? x1 ? x2 时,

f ( x2 ) ? f ( x1 ) 1 ? 2( ? 1) . x2 ? x1 x1

51

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