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2016新课标三维人教B版数学选修4-4 1.2 极坐标系

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_1.2

极_坐_标_系

[对应学生用书 P4]

[读教材· 填要点] 1.平面上点的极坐标 (1)极坐标系的建立:在平面内取一个定点 O,由 O 点出发的一条射线 Ox, 一个长度单位及计算角度的正方向(通常取逆时针方向), 合称为一个极坐标系. O 点称为极点,Ox 称为极轴. (2)点的极坐标:平面上任一点 M 的位置可以由线段 OM 的长度 ρ 和从 Ox 到 OM 的角度 θ 来刻画,这两个数组成的有序数对(ρ,θ)称为点 M 的极坐标,ρ 称为极径,θ 称为极角. 2.极坐标与直角坐标的关系 (1)极坐标和直角坐标变换的前提条件: ①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合; ②极轴与 x 轴的正半轴重合; ③两种坐标系取相同的长度单位. (2)极坐标和直角坐标的变换公式: ρ2=x2+y2, ? ? x = ρ cos θ , ? ? 或? y tan θ=x?x≠0?. ?y=ρsin θ; ? ? [小问题· 大思维] 1.平面上的点与这一点的极坐标是一一对应的吗?为什么? 提示:不是.在极坐标系中,与给定的极坐标(ρ,θ)相对应的点是唯一确定 的; 反过来, 同一个点的极坐标却可以有无穷多个. 如一点的极坐标是(ρ, θ)(ρ≠0), 那么这一点也可以表示为(ρ,θ+2nπ)或(-ρ,θ+(2n+1)π)(其中 n∈Z). 2.若 ρ>0,0≤θ<2π,则除极点外,点 M(ρ,θ)与平面内的点之间是否是一一 对应的? 提示:如果我们规定 ρ>0,0≤θ<2π,那么除极点外,平面内的点可用唯一
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的极坐标(ρ,θ)来表示.这时,极坐标与平面内的点之间就是一一对应的关系. 3.若点 M 的极坐标为(ρ,θ),则 M 点关于极点、极轴、过极点且垂直于极 轴的直线的对称点的极坐标是什么? 提示:设点 M 的极坐标是(ρ,θ),则 M 点关于极点的对称点的极坐标是(- ρ,θ)或(ρ,θ+π);M 点关于极轴的对称点的极坐标是(ρ,-θ);M 点关于过极 点且垂直于极轴的直线的对称点的极坐标是(ρ,π-θ)或(-ρ,-θ).

[对应学生用书 P5]

极坐标系的概念

π? ? [例 1] 已知定点 P?4,3?. ? ? π? ? (1)将极点移至 O′?2 3,6?处,极轴方向不变,求 P 点的新坐标; ? ? π (2)极点不变,将极轴顺时针转动6,求 P 点的新坐标. [思路点拨] 本题考查极坐标系的建立及极坐标的求法.解答本题需要根据 题意要求建立正确的极坐标系,然后求相应的点的极坐标. [精解详析] (1)设 P 点新坐标为(ρ,θ),如图所示, 由题意可知|OO′|=2 3, |OP|=4, π π ∠POx=3,∠O′Ox=6, π ∴∠POO′=6. π 在△POO′中,ρ2=42+(2 3)2-2· 4· 2 3· cos6=16+12-24=4,∴ρ=2. 即|O′P|=2. ∴|OP|2=|OO′|2+|O′P|2, π ∠OO′P=2.

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π ∴∠OPO′=3. π π π ∴∠OP′P=π-3-3=3. 2π 2π ∴∠PP′x= 3 .∴∠PO′x′= 3 . 2π? ? ∴P 点的新坐标为?2, 3 ?. ? ? (2)如图,设 P 点新坐标为(ρ,θ), π π π 则 ρ=4,θ=3+6=2. π? ? ∴P 点的新坐标为?4,2?. ? ?

建立极坐标系的要素是:①极点;②极轴;③长度单位;④角度单位和它的 正方向.四者缺一不可.极轴是以极点为端点的一条射线,它与极轴所在的直线 是有区别的.极角 θ 的始边是极轴,它的终边随着 θ 的大小和正负而取得各个位 置;θ 的正方向通常取逆时针方向,θ 的值一般是以弧度为单位的量数;点 M 的 极径 ρ 表示点 M 与极点 O 的距离|OM|,因此 ρ≥0;但必要时,允许 ρ<0.

π? ? 1.在极坐标系中,点 A 的极坐标是?3,6?,则 ? ? (1)点 A 关于极轴的对称点是________; (2)点 A 关于极点的对称点的极坐标是________; π (3)点 A 关于直线 θ=2的对称点的极坐标是________.(规定 ρ>0,θ∈[0,2π)) 解析:如图所示,在对称的过程中极径的长度始终没有变化,主要在于极角 的变化. 另外, 我们要注意: 极角是以 x 轴正向为始边, 按照逆时针方向得到的.

11π? ? 答案:(1)?3, 6 ? ? ?

7π? ? (2)?3, 6 ? ? ?

5π? ? (3)?3, 6 ? ? ?

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点的极坐标和直角坐标的互化

[例 2] 以极点为原点,极轴为 x 轴正半轴建立直角坐标系. 5π? ? (1)已知点 A 的极坐标为?4, 3 ?,求它的直角坐标; ? ? (2)已知点 B 和点 C 的直角坐标为(2,-2)和(0,-15),求它们的极坐标.(ρ >0,0≤θ<2π) [思路点拨] 本题考查极坐标和直角坐标的互化.解答此题只需将已知条件 代入相关公式即可. 5π [精解详析] (1)∵x=ρcos θ=4· cos 3 =2, 5π y=ρsin θ=4sin 3 =-2 3, ∴A 点的直角坐标为(2,-2 3). (2)∵ρ= x2+y2= 22+?-2?2=2 2, -2 tan θ= 2 =-1,且点 B 位于第四象限内, 7π? 7π ? ∴θ= 4 .∴点 B 的极坐标为?2 2, 4 ?. ? ? 又∵x=0,y<0,ρ=15, 3π? ? ∴点 C 的极坐标为?15, 2 ?. ? ?

(1)将极坐标(ρ,θ)化为直角坐标(x,y)的公式是:x=ρcos θ,y=ρsin θ. y (2)将直角坐标(x, y)化为极坐标(ρ, θ)的公式是: ρ2=x2+y2, tan θ=x(x≠0). 在 利用此公式时要注意 ρ 和 θ 的取值范围.

π? 2π? ? 3 ? ? ? 2 . (1) 已知点的极坐标分别为 A ?3,-4? , B ?2,- 3 ? , C ? ,-π? , ? ? ? ? 2 ? ? π? ? D?4,-2?,求它们的直角坐标; ? ?
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? 5? (2)已知点的直角坐标分别为 A(3,- 3),B?0, ?,C(-2,2 3),求它们 3 ? ? 的极坐标,其中极角 θ∈[0,2π). ?3 2 3 2? ? , B( - 1 ,- 3), 解:(1)根据 x= ρcos θ ,y=ρsin θ 得 A ? ,- 2 ? ? 2 ? 3 ? C?- ,0?,D(0,-4). ? 2 ? 11π? 2π? y ? 5 π? ? ? (2)根据 ρ2=x2+y2,tan θ=x得 A?2 3, 6 ?,B? , ?,C?4, 3 ?. ? ? ? ? ? 3 2?

极坐标系中两点间的距离

4π? 5π? 7π? ? ? ? [例 3] △ABC 的顶点的极坐标为 A?4, 3 ?,B?6, 6 ?,C?8, 6 ?. ? ? ? ? ? ? (1)判断△ABC 的形状; (2)求△ABC 的面积; (3)求△ABC 的边 AB 上的高. [思路点拨] 本题考查极坐标与直角坐标的互化、极坐标系中两点间的距离 公式. 解答此题可直接利用极坐标系中两点间的距离公式求解,也可以先将极坐 标化为直角坐标,然后利用两点间的距离公式求解. 4π 5π π 7π 5π π 4π 7π [精解详析] ∠AOB= 3 - 6 =2,∠BOC= 6 - 6 =3,∠COA= 3 - 6 = π 6.(O 为极点) (1)∵|AB|= |OA|2+|OB|2= 42+62=2 13. |BC|= |OB|2+|OC|2-2|OB|· |OC|cos∠BOC =2 13, |AC|= |OA|2+|OC|2-2|OA|· |OC|cos∠AOC =4 5-2 3. ∴△ABC 是等腰三角形. 1 (2)S△AOB=2|OA|· |OB|=12,

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1 S△BOC=2|OB|· |OC|sin∠BOC=12 3, 1 S△COA=2|OC|· |OA|sin∠COA=8. ∴S△ABC=S△BOC+S△COA-S△AOB=12 3-4. (3)设 AB 边上的高为 h, 2S△ABC 24 3-8 12 39-4 13 则 h= |AB| = = . 13 2 13

对于这类问题的解决方法,可以直接用极坐标内两点间的距离公式 d =
2 ρ2 1+ρ2-2ρ1ρ2cos?θ1-θ2?求得;也可以把 A,B 两点由极坐标化为直角坐标,利

用直角坐标中两点间的距离公式 d= ?x1-x2?2+?y1-y2?2求得,极坐标与直角坐 标的互化体现了化归的解题思想;还可以考虑其对称性,根据对称性求得.

π? 5π? ? ? 3.在极坐标系中,如果等边三角形的两个顶点是 A?2,4?,B?2, 4 ?,求第 ? ? ? ? 三个顶点 C 的坐标. 解:由题设知,A,B 两点关于极点 O 对称.又|AB|=4,所以由正三角形的 3π? ? π? π ? 性质知,|CO|=2 3,∠AOC=2,从而 C 的极坐标为?2 3, 4 ?或?2 3,-4?. ? ? ? ?

[对应学生用书 P6]

一、选择题 π? ? 1.在极坐标系中,与点 A?2,-3?关于极轴所在的直线对称的点的极坐标 ? ? 是( ) 2π? ? A.?2, 3 ? ? ? 4π? ? C.?2, 3 ? ? ? π? ? B.?2,3? ? ? 5π? ? D.?2, 6 ? ? ?

π? ? 解析:选 B 与 A?2,-3?关于极轴所在的直线对称的点的极坐标可以表示 ? ?

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π? ? 为?2,2kπ+3?(k∈Z),只有选项 B 满足. ? ? π? ? π? ? 2.在极坐标系中,若点 A,B 的坐标分别是?3,3?,?4,-6?,则△AOB 为 ? ? ? ? ( ) A.钝角三角形 C.锐角三角形 B.直角三角形 D.等边三角形

π ? π? π 解析:选 B 由题意知∠AOB=3-?-6?=2,故选 B. ? ? π? ? 13π? ? 3.已知 A,B 的极坐标分别是?3,4?和?3, 12 ?,则 A 和 B 之间的距离等于 ? ? ? ? ( ) A. C. 18+ 6 2 B. D. 18- 6 2 3 6-3 2 2

3 6+3 2 2

解析:选 C

A,B 在极坐标中的位置,如图,

13π π 5π 则由图可知∠AOB= 12 -4= 6 . 在△AOB 中,|AO|=|BO|=3, 所以,由余弦定理,得 5π |AB|2=|OB|2+|OA|2-2|OB|· |OA|· cos 6 ? 3? =9+9-2×9×?- ? ? 2? 9 =18+9 3=2(1+ 3)2. ∴|AB|= 3 6+3 2 . 2

5π? ? 4.已知极坐标平面内的点 P?2,- 3 ?,则 P 关于极点的对称点的极坐标与 ? ?
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直角坐标分别为(

) π? ? B.?2,-3?,(1,- 3) ? ? 2π? ? D.?2,- 3 ?,(-1,- 3) ? ?

π? ? A.?2,3?,(1, 3) ? ? 2π? ? C.?2, 3 ?,(-1, 3) ? ?

5π? 5π ? ? ? 解析:选 D 点 P?2,- 3 ?关于极点的对称点为?2,- 3 +π?, ? ? ? ? 2π? π ? ? 2π? 即?2,- 3 ?,且 x=2cos?- 3 ?=-2cos3=-1, ? ? ? ? π ?2π? y=2sin-? 3 ?=-2sin3=- 3,所以选 D. ? ? 二、填空题 5.限定 ρ>0,0≤θ<2π 时,若点 M 的极坐标与直角坐标相同,则点 M 的直角 坐标为________. 解析:点 M 的极坐标为(ρ,θ),设其直角坐标为(x,y).依题意得 ρ=x,θ =y,即 x2+y2=x2. ∴y=θ=0,ρ>0.∴M(ρ,0). 答案:(ρ,0) π? ? 6.已知极坐标系中,极点为 O,0≤θ<2π,M?3,3?,在直线 OM 上与点 M ? ? 的距离为 4 的点的极坐标为________. π 解析:如图所示,|OM|=3,∠xOM=3,在直线 OM 上取 π 4π 点 P,Q,使|OP|=7,|OQ|=1,∠xOP=3,∠xOQ= 3 .显然 有|PM|=|OP|-|OM|=7-3=4,|QM|=|OM|+|OQ|=3+1=4. π? ? 4π? ? 答案:?7,3?或?1, 3 ? ? ? ? ? π? π? ? ? 7.直线 l 过点 A?3,3?,B?3,6?,则直线 l 与极轴夹角等于________. ? ? ? ? 解析:如图所示,先在图形中找到直线 l 与极轴夹角(要注 意夹角是个锐角),然后根据点 A,B 的位置分析夹角大小. π π π 因为|AO|=|BO|=3,∠AOB=3-6=6,

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5π 所以∠OAB= 2 =12. π 5π π 所以∠ACO=π-3-12=4. π 答案:4 8 .写出与直角坐标系中的点 ( - 2,2 3) 表示同一个点的所有点的极坐标 ________________. 解析:∵ρ= x2+y2= ?-2?2+?2 3?2=4,

π π-6

y 2 3 tan θ=x= =- 3, -2 2π ∴θ= 3 . 2π? ? ∴点(-2,2 3)用极坐标表示为?4,2kπ+ 3 ?(k∈Z). ? ? 2π? ? 答案:?4,2kπ+ 3 ?(k∈Z) ? ? 三、解答题 π? ? 9.设点 A?1,3?,直线 l 为过极点且垂直于极轴的直线,分别求出点 A 关于 ? ? 极轴,直线 l,极点的对称点的极坐标(限定 ρ>0,-π<θ≤π). π? ? 解:如图所示,关于极轴的对称点为 B?1,-3?, ? ? 2π? ? 关于直线 l 的对称点为 C?1, 3 ?, ? ? 2π? ? 关于极点 O 的对称点为 D?1,- 3 ?. ? ? ?x′=2x, 10.已知点 P 的直角坐标按伸缩变换? 变换为点 P′(6,-3), ?y′= 3y 限定 ρ>0,0≤θ≤2π 时,求点 P 的极坐标. ?6=2x, 解:设点 P 的直角坐标为(x,y),由题意得? ?-3= 3y.

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?x=3, 解得? ?y=- 3. ∴点 P 的直角坐标为(3,- 3). - 3 ρ= 32+?- 3?2=2 3,tan θ= 3 . 11π ∵0≤θ<2π,点 P 在第四象限,∴θ= 6 . 11π? ? ∴点 P 的极坐标为?2 3, 6 ?. ? ? π 11.在极轴上求与点 A(4 2,4)的距离为 5 的点 M 的坐标. π? ? 解:设 M(r,0),因为 A?4 2,4?, ? ? 所以 π ?4 2?2+r2-8 2r· cos4=5.

即 r2-8r+7=0.解得 r=1 或 r=7. 所以 M 点的坐标为(1,0)或(7,0).

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