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2006年浙江省预赛试题


2006 年全国高中数学联合竞赛浙江省预赛试卷
一、选择题 1、下列三数

3 , log16 82, log 27 124 的大小关系正确的是 ( ) 2 3 3 A、 ? log16 82 ? log 27 124 B、 ? log 27 124 ? log16 82 2 2 3 3 C、 log 27 124 ? ? log16 82 D、 l

og 27 124 ? log16 82 ? 2 2


2、已知两点 A(1,2) ,B(3,1)到直线 L 距离分别是 2 , 5 ? 2 ,则满足条件的直线 L 共有( A、1 条 B、2 条 C、 3 条 D、 4 条

3、设 f ( n) 为正整数 n(十进制)的各数位上的数字的平方之和,比如 记 f1n () ? fn () f ?123? ? 12 ? 22 ? 32 ? 14 。 A、20 B、4

k ? 1, 2,3... , ,f k ?1 (n) ? f ( f k (n)) , 则 f 2006 (2006) ? (
C、42 D、145



4、设在 xOy 平面上, 0 ? y ? x2 , 0 ? x ? 1 所围成图形的面积为

1 ,则集合 3


M ? ?( x, y ) || y | ? | x |? 1? , N ? ?( x, y ) || y |? x 2 ? 1? 的交集 M ? N 所表示的图形面积为(
A、

1 3

B、

2 3

C、 1

D、

4 3

5、在正 2006 边形中,与所有边均不平行的对角线的条数为( A、2006 B、 1003
2

) 。 D、1003 ? 1002
2

C、 1003 ? 1003
2

6 、函数 f ( x) ? ( ) 。 A、2

sin x ? cosx tanx ? cot x sin x ? cos x tan x ? cot x ? ? ? ? 在 x ? (o, ) 时的最小值为 sin x ? tan x cos x ? tan x cos x ? cot x sin x ? cot x 2
B、4 C、6 D 、8

二、填空题 7、手表的表面在一平面上。整点 1, 2,

,12 这 12 个数字等间隔地分布在半径为

2 的圆周上。从整点 i 2


到整点 ? i ?1? 的向量记作 titi ?1 ,则 t1t2 ? t2t3 ? t2t3 ? t3t4 ? 8、设 ai ? R? (i ? 1, 2,

? t12t1 ? t1t2 =

n), ? , ? , ? ? R, 且 ? ? ? ? ? ? 0 ,则对任意 x ? R,


?? 1? a ?
i ?1

n

? ?

x

i

? 1 1 1 ? ? ? (? ? ? ) x ?x ( ? ?? ) x ?x (? ?? ) x ? ? ai 1 ? ai ? ai 1 ? ai ? ai ?

9、在 1, 2,

, 2006 中随机选取三个数,能构成递增等差数列的概率是



10、设 a , b 是非零实数, x ? R ,若 11、已知 A ?

sin 4 x cos 4 x 1 sin 2008 x cos 2008 x ? ? ? 2006 ? ,则 a2 b2 a 2 ? b2 a 2006 b



?? x, y ? x

2

? y 2 ? 2 x cos ? ? 2 ?1 ? sin ? ??1 ? y ? ? 0, ? ? R ,
? k ? 。若 R A ? B 为单元素集,则
。 。

?

B ? ?? x , y ?

y? k ? x3 ,

12、 max? min ? ,
a ,b ,c?R

?1 1 1 ? , 3 , a ? b 2 ? c3 ? ? 2 ?a b c ?

三、解答题 13、在 x 轴同侧的两个圆:动圆 C1 和圆 4a2 x2 ? 4a2 y 2 ? 4abx ? 2ay ? b2 ? 0 外切 ? a, b ? N , a ? 0? , 且动圆 C1 与 x 轴相切,求 (1)动圆 C1 的圆心轨迹方程 L ; (2)若直线 4

?

7 ? 1 abx ? 4ay ? b2 ? a 2 ? 6958a ? 0 与曲线 L 有且仅有一个公共点,求 a , b 之值。

?

2 bn 14 、 已 知 数 列 ?an ? 满 足 a1 ? 1, an?1 ? an ? 2n ? n ? 1,2,3 ? , ?bn ? 满 足 b1 ? 1 , bn ?1 ? bn ? n

? n ? 1,2,3 ? ,证明:

1 n 1 ?? ? 1。 2 k ?1 ak ?1bk ? kak ?1 ? bk ? k

15、六个面分别写上 1,2,3,4,5,6 的正方体叫做骰子。问 1)共有多少种不同的骰子; 2)骰子相邻两个面上数字之差的绝对值叫做这两个面之间的变差,变差的总和叫做全变差 V 。在所有 的骰子中,求 V 的最大值和最小值。


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