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空间向量的数量积


空间向量的数量积运算
合肥七中 左华

复习引入

问题1:如何求空间中两条异面直线所成的角?
a

b

复习引入

问题1:空间向量

? ? a, b

的数量积如何定义?

a ? b ?

a b cos?a, b?
? ? 其中 ? a, b? 表示向量 a, b 的夹角

二、.空间向量的数量积性质
对于非零向量 a , b ,有:

1) a ? e ? a cos? a, e? 2) a ? b ? a ? b ? 0 3) a ? a ? a ? a ? a ? a 4) cos? a, b? ? a ?b | a || b |
2 2 2

注意:①性质2)是证明两向量垂直的依据; ②性质3)是求向量的长度(模)的依据; (3)性质4是求两个向量夹角的依据;

例1:正方体ABCD-A1B1C1D1求异面直线B1C与AD1所 成的角 D1 C1
A1 D A B1

C B

变式1:试求直线B1C与BD1所成的角
解析:此时如果利用平移直线的方法, 不太容易作出两异面直线所成角,我们 A1 可以考虑使用其他方法,比如我们可以 利用刚学习的空间向量通过求空间中两 条异面直线所在的向量的夹角,从而求 出两条异面直线所成的角 A

D1 B1 D B

C1

C

方法总结:根据空间中两个向量数量积的定义 ? ? 可以得到空间中两个向量 a, b的夹角的余弦值为 ?
? ? ? a ?b cos ? a, b ?? ? ? | a || b |

从而可以把立体几何中两条直线所成角转化为 两个向量的夹角来求解。

变式2:证明:BD1⊥平面AB1C A1

D1 B1 D A B

C1

C

问题2:如何求空间中某条线段的长度?
例2:边长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中求线段A1C的长

D1

C1 B1

A1 D A

C B

变式1:在平行六面体 ABCD ? A?B ?C ?D ?中AB=4 ? ? ? ? ?BAA ? ?DAA ? 60 AA? ? 5, AD=3, ?BAD ? 90 , (1)用 AB, AD, AA? 表示 AC? (2)求 AC ? 的长
? ? ? 根据向量的性质 | a |? a ? a

可以先把空间中某条线段所构成 的向量先表示成基向量的线性和再 利用上面的性质公式就可以求出线 段的长

随堂练习
BD ? AB , 1. 如图, 线段 AB, BD 在平面 ? 内, 线段 AC ? ? , 且 AB=a, BD=b, AC=c 求 C,D 两点间的距离。
C

c D α A a b B

2. 平行六面体 ABCD ? A?B ?C ?D ? 中,底面 ABCD 是边长 为 a 的正方形, 侧棱 AA? ? b , 且 ?A?AB ? ?A?AD ? 120 . 求:
?

(1) AC ? 的长; (2)直线 BD ? 与 AC 夹角的余弦值。
D' B' C' A'

D

C

A

B

课堂小结

通过本节课的学习,你有哪些收获? 1.可以利用空间向量的数量积运算求空间中两 条异面直线所成的角 2.可以利用空间向量的性质求空间中某条线段 的长


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