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简单的三角恒等变换


高考一轮总复习 ·数学(理)

第 6讲

简单的三角恒等变换

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板块一

板块二

板块三

板块四

板块五

高考一轮总复习 ·数学(理)

能运用两角和与差的正弦、余

弦、正切公式以及二倍角的正弦、余弦和正切公 式进行简单的恒等变换?包括导出积化和差、和差化积、半角公式,但对这三组公式 不要求记忆?.

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板块一 知识梳理· 自主学习

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[必备知识]

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[必会结论] 1.辅助角公式 asinx+bcosx= a2+b2sin(x+φ), 其中sinφ= b a , cos φ = . a2+b2 a2+b2

1-cosα α sinα 2.tan = = . 2 1+cosα sinα

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[双基夯实] 一、疑难辨析 判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
? α ? α α? α? 1.1+sinα=?sin2+cos2 ?2,1-sinα=?sin2-cos2 ?2.( √ ) ? ? ? ?

2.y=3sinx+4cosx的最大值是7.( × ) α 3 1 3.若sin = ,则cosα=- .( × ) 2 3 3 2tan15° 3 4. = .( ) 1-tan215° 3 √ 5.y=sin2xcos2x的最大值为1.( × )
?π ? 6.设sin2α=-sinα,α∈?2,π?,则tan(-α)= 3.( √ ) ? ?

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二、小题快练 1.[2016· 张家口模拟]计算:tan15° + A. 2 C.4 B.2 D.2 2 1 =( tan15° )

2 +cos215° 1 sin15° cos15° sin 15° 2 解析 tan15° + = + = = =4. tan15° cos15° sin15° sin15° cos15° sin30°

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1 α 2.[课本改编]已知cosα= ,α∈(π,2π),则cos 等于( 3 2 A. 6 3 B.- 6 3

)

3 C. 3

3 D.- 3
? 1 α ?π α ? ? , π 因为cosα= ,α∈(π,2π),所以 ∈ 2 ,所以cos =- 3 2 ? 2 ?

解析

1+cosα =- 2

1 1+ 3 6 =- . 2 3

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?π ? ? π? 1 ? ? ? ? , π α + 3.[2015· 合肥质检]若α∈ 2 ,tan 4?=7,则sinα=( ? ? ?

)

A.

3 5 3 5

4 B. 5 D.- 4 5

C.-

解析

1+tanα 1 ? ?π ? π? 1 3 3 ? ? ? ? 由tan α+4 = ,得 = ,即tanα=- ,又α∈ 2,π ,所以sinα= ,选A. 4 5 1-tanα 7 ? ? 7 ? ?

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sin2α-2cos2α 2 2cosα 4.[2016· 合肥模拟]化简: =________. ? π? sin?α-4? ? ?

解析

2sinαcosα-2cos2α 原式= =2 2cosα. 2 ?sinα-cosα? 2

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π 5.[2016· 江西模拟 ]函数 y=sin2 x+2 3sin 2x的最小正周期 T为________ .

解析 =π.

? π? 2π 因为y=sin2 x+ 3(1-cos2 x)=sin2 x- 3cos2 x+ 3 =2sin ?2x-3? + 3 ,所以最小正周期 T= 2 ? ?

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板块二 典例探究· 考向突破

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考向 例1 [2014· 广东高考]已知函数f(x)=
? ?5π? 3 2 π? Asin?x+3?,x∈R,且f?12?= . 2 ? ? ? ?

三角函数式的化简与求值

点击观看 考点视频

(1)求A的值;
? ?π ? π? (2)若f(θ)-f(-θ)= 3,θ∈?0,2?,求f?6-θ?. ? ? ? ?

[解]

? ?5π? 3 2 π? ? ? (1)∵f(x)=Asin x+3 ,且f?12?= , 2 ? ? ? ?

?5π π? 3 2 3π 3 2 ∴Asin?12+3?= ?Asin = ?A=3. 2 4 2 ? ?

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? π? ? ? x + (2)由(1)知f(x)=3sin 3 ?, ?

∵f(θ)-f(-θ)= 3,
? ? ?1 π? π? ∴3sin?θ+3?-3sin?-θ+3?= 3,展开得3?2sinθ+ ? ? ? ? ? ? ? 3 ? 3 3 1 ? ? ? cosθ -3 cosθ- sinθ = 3,化简得sinθ= 3 . 2 2 ? ?2 ? ? π? 6 ? ∵θ∈ 0,2?,∴cosθ= . 3 ? ? ?π ? ??π ? π? ∴f?6-θ?=3sin??6-θ?+ ? ? ? ?? ? 3? ?π ? =3sin?2-θ?=3cosθ= 6. ? ?

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延伸探究1

若将本例中的“f(θ)-f(-θ)= 3”改为“f(θ)+f(-θ)= 3”,如何求解?



? π? ∵f(x)=3sin?x+3?,f(θ)+f(-θ)= 3, ? ?

? ? ? ? π? π? π? π? 3 π 3 1 ∴3sin?θ+3?+3sin?-θ+3?= 3,sin?θ+3?-sin?θ-3?= ,∴2cosθsin = ,即cosθ= , 3 3 3 ? ? ? ? ? ? ? ? 3 ?π ? ?π π? ∴f?6-θ?=3sin?6-θ+3?=3cosθ=1. ? ? ? ?

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? ?5π? 3 π? 延伸探究2 若将本例条件改为“f(x)=Asin?x+4?,且f?12?= ”,如何求解? ? ? ? ? 2 ?5π? ?5π π? 3 解 (1)f?12?=Asin?12+4?= , ? ? ? ? 2

3 3 ∴ A= ,即A= 3. 2 2
? π? (2)由(1)知f(x)= 3sin?x+4?, ? ?

又f(θ)-f(-θ)= 3, ? ? π? π? ∴sin?θ+4?-sin?-θ+4?=1, ? ? ? ? ? ? π? π? π 即sin?θ+4?+sin?θ-4?=1.∴2sinθcos =1, 4 ? ? ? ? ? π? 2 π ∴sinθ= .又∵θ∈?0,2?,∴θ= . 2 4 ? ? ?π ? ? π? ? π π? ∴f?6-θ?=f?-12?= 3sin?-12+4?= ? ? ? ? ? ? π 3 3sin = . 6 2
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三角函数式的化简要遵循“三看”原则 (1)一看“角”,通过看角之间的差别与联系,把角进行合理的拆分,从而正确使用公式; (2)二看“函数名称”,看函数名称之间的差异,从而确定使用的公式; (3)三看“结构特征”,分析结构特征,找到变形的方向.

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? π? 1 π 4 ? ? β - 已知0<α< <β<π,cos 4?=3,sin(α+β)=5. 2 ?

【变式训练1】 (1)求sin2β的值;

? π? ? (2)求cos α+4?的值. ? ?



? π? π π 2 2 1 (1)解法一:∵cos?β-4?=cos cosβ+sin sinβ= cosβ+ sinβ= , 4 4 2 2 3 ? ?

∴cosβ+sinβ=

2 2 7 ,∴1+sin2β= ,∴sin2β=- . 3 9 9

?π ? π? 7 2? ? ? ? ? - 2 β β - 解法二:sin2β=cos 2 =2cos 4?-1=-9. ? ? ?

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π (2)∵0<α< <β<π, 2 π π 3 π 3π ∴ <β- < π, <α+β< , 4 4 4 2 2
? π? ? ∴sin β-4?>0,cos(α+β)<0. ? ? ? π? 1 4 ? ? ∵cos β-4?= ,sin? ?α+β?= , 5 ? ? 3 ? π? 2 2 3 ∴sin?β-4?= ,cos(α+β)=- . 3 5 ? ? ? ? ? π? π ?? ∴cos?α+4?=cos??α+β?-?β-4?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? π? π? =cos(α+β)· cos?β-4?+sin(α+β)sin?β-4? ? ?

3 1 4 2 2 8 2- 3 =- × + × = . 5 3 5 3 15
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例2

三角恒等式的证明 1 1 2 2 2 2 (1)化简:sin α· sin β+cos α· cos β- cos2α· cos2β=________. 2 2

考向

[解析]

解法一:(从“角”入手,倍角→单角)

1 原式=sin2α· sin2β+cos2α· cos2β- · (2cos2α-1)· (2cos2β-1) 2 1 =sin2α· sin2β+cos2α· cos2β- (4cos2α· cos2β-2cos2α-2cos2β+1) 2 1 =sin2α· sin2β-cos2α· cos2β+cos2α+cos2β- 2 1 =sin α· sin β+cos α· sin β+cos β- 2
2 2 2 2 2

1 1 1 =sin β+cos β- =1- = . 2 2 2
2 2

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解法二:(从“角”入手,单角→倍角) 1-cos2α 1-cos2β 1+cos2α 1+cos2β 1 原式= · + · - cos2α· cos2β 2 2 2 2 2 1 1 1 1 = (1-cos2α-cos2β+cos2α· cos2β)+ (1+cos2α· cos2β+cos2α+cos2β)- · cos2α· cos2β= . 4 4 2 2

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(2)[2016· 桂林模拟]已知sin(2α+β)=2sinβ,求证:tan(α+β)=3tanα.

[证明]

分析角的差异进行变角,2α+β=(α+β)+α;β=α+β-α.∵sin(2α+β)=2sinβ,

∴sin[(α+β)+α]=2sin[(α+β)-α], ∴sin(α+β)cosα+cos(α+β)sinα =2sin(α+β)cosα-2cos(α+β)sinα, ∴3cos(α+β)sinα=sin(α+β)cosα,∴tan(α+β)=3tanα.

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三角恒等式证明的两种类型 (1)绝对恒等式的证明要根据等式两边的特征,化繁为简,左右归一,变更论证,通过三角恒等式变 换,使等式的两边化异为同. (2)条件恒等式的证明则要认真观察,比较已知条件与求证等式之间的联系,选择适当途径.常用代入 法、消元法、两头凑等方法.

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【变式训练2】 A.sinα C.tanα

(1)[2016· 枣庄模拟]化简 B.cosα D. cosα sinα

1+sin2α-cos2α =( 1+sin2α+cos2α

)

解析

1+2sinαcosα-?1-2sin2α? 原式= 1+2sinαcosα+?2cos2α-1?

2sinαcosα+2sin2α = 2sinαcosα+2cos2α 2sinα?cosα+sinα? = =tanα. 2cosα?sinα+cosα?

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1-2sinα· cosα 1-tanα (2)证明: = . cos2α-sin2α 1+tanα

sinα 1 - ?cosα-sinα? cosα-sinα cosα cosα-sinα 证明 左边= = ,右边= = ,左边=右边. sinα cosα+sinα ?cosα-sinα??cosα+sinα? cosα+sinα 1+ cosα
2

原式得证.

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考向 例3

三角恒等变换的综合应用

x x x [2015· 北京高考]已知函数f(x)= 2sin cos - 2sin2 . 2 2 2

(1)求f(x)的最小正周期; (2)求f(x)在区间[-π,0]上的最小值.
? π? 2 2 2 [解] (1)因为f(x)= sinx- (1-cosx)=sin?x+4?- ,所以f(x)的最小正周期为2π. 2 2 ? ? 2 3π π π (2)因为-π≤x≤0,所以- ≤x+ ≤ . 4 4 4

π π 3π 当x+ =- ,即x=- 时,f(x)取得最小值. 4 2 4
? 3π? 所以f(x)在区间[-π,0]上的最小值为f?- 4 ?= ? ?

-1-
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2 . 2
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1.三角函数综合问题的解决方案 高考对两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式的考查还往往渗透在研究三角函数性质 中.需要利用这些公式,先把函数解析式化为y=Asin(ωx+φ)的形式,再进一步讨论其定义域、值域和最 值、单调性、奇偶性、周期性、对称性等性质. 2.解决三角变换的综合问题的一般思路 (1)先化简所求三角函数式. (2)观察已知条件与所求三角函数式之间的联系(从三角函数名及角入手). (3)将已知条件代入所求三角函数式,化简求值.

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1 【变式训练3】 [2016· 随州模拟]已知函数f(x)=(2cos2x-1)sin2x+ cos4x. 2 (1)求f(x)的最小正周期和最大值;
?π ? 2 ? ? , π (2)当α∈ 2 时,若f(α)= ,求α的值. 2 ? ?

π? 1 1 1 2 ? 解 (1)因为f(x)=(2cos2x-1)sin2x+ cos4x=cos2xsin2x+ cos4x= (sin4x+cos4x)= sin?4x+4?, 2 2 2 2 ? ? π 2 所以f(x)的最小正周期为 ,最大值为 . 2 2 (2)因为f(α)=
? π? 2 ,所以sin?4α+4?=1. 2 ? ?

?π ? π ?9π 17π? 因为α∈?2,π?,所以4α+ ∈? 4 , 4 ?. 4 ? ? ? ? π 5π 9π 所以4α+ = .故α= . 4 2 16
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核心规律 三角恒等变换主要有以下四变 (1)变角:目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角,其方法通常是“配凑”. (2)变名:通过变换函数名称达到减少函数种类的目的,其手法通常有“切化弦”、正、余弦互化等. (3)变幂:通过“升幂与降幂”,把三角函数式的各项变成同次,目的是有利于应用公式. (4)变式:根据式子的结构特征进行变形,使其更贴近某个公式或某个期待的目标,其方法通常有: 常值代换、逆用或变用公式、通分约分、分解与组合、配方与平方等.

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满分策略 1.运用公式时要注意审查公式成立的条件,要注意和、差、倍角的相对性,要注意升幂、降幂的灵活 运用,要注意“1”的各种变通. 2.三角变换的应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合,通过变换把函数化为最简形式y= Asin(ωx+φ)再研究性质,解题时注意观察角、名、结构等特征,注意利用整体思想解决相关问题.

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板块三 启智培优· 破译高考

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规范答题系列3——逆向思维构造辅助角公式解题 ? π? [2015· 天津高考]已知函数f(x)=sin2x-sin2?x-6?, ? ? x ∈R . (1)求f(x)的最小正周期; ? π π? (2)求f(x)在区间?-3,4?上的最大值和最小值. ? ? [解题视点] 在具体问题中,我们面对的往往不是简单的正弦函数、余弦函数,而是需要变形处理的 三角函数,这些三角函数式大都可以转化成形如y=Asin(ωx+φ)+k的函数加以解决;化简时,主要应用两 角和差公式的逆用、倍角的变用等三角恒等变换知识进行等价变形,然后根据函数y=Asin(ωx+φ)+k的有 关性质解题. ? π? ? 2 x- ? 1 - cos ? 1 3 ? 1 ?1 1-cos2x 3 1 ? 3 [解] (1)由已知,有f(x)= - = ? cos2x+ sin2x ? - cos2x= sin2x- cos2x 2 2 2 ?2 4 4 2 ? 2 π? 1 ? = sin?2x-6?. 2 ? ? 2π 所以,f(x)的最小正周期T= =π. 2
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? π ? π π? ? π? π? 1 ? π? 1 (2)因为f(x)在区间 ?-3,-6? 上是减函数,在区间 ?-6,4? 上是增函数,f ?-3? =- ,f ?-6? =- , 4 ? 2 ? ? ? ? ? ? ? ?π? ? π π? 3 3 1 f?4?= .所以,f(x)在区间?-3,4?上的最大值为 ,最小值为- . 4 2 ? ? 4 ? ?

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[答题模板] 第一步:将f(x)化为asinx+bcosx的形式.
? a sin x · 第二步:构造f(x)= a +b ? 2 2+cosx· a +b ?
2 2

b ? ?. a2+b2? 第三步:和差公式逆用f(x)= a2+b2sin(x+φ)(其中φ为辅助角). 第四步:利用f(x)= a2+b2sin(x+φ)研究三角函数的性质. 第五步:反思回顾,查看关键点、易错点和解题规范. ①化简时公式的准确应用是灵魂;②研究三角函数性质时注意整体思想的应用.

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答题启示

(1)利用asinx+bcosx= a2+b2sin(x+φ),把形如y=asinx+bcosx+k的函数化为一个角的一

种函数的一次式,可以求三角函数的周期、单调区间、值域、最值和对称轴等. b (2)化asinx+bcosx= a2+b2sin(x+φ)时φ的求法:①tanφ= ;②φ所在象限由(a,b)点确定. a

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跟踪训练
? π? 3 [2014· 天津高考]已知函数f(x)=cosx· sin?x+3?- 3cos2x+ ,x∈R. 4 ? ? (1)求f(x)的最小正周期; ? π π? (2)求f(x)在闭区间?-4,4?上的最大值和最小值. ? ? 解 (1)由已知,有 ?1 ? 3 3 ? sinx+ cosx?- 3cos2x+ f(x)=cosx· 4 2 ?2 ? 1 3 3 = sinx· cosx- cos2x+ 2 2 4 1 3 3 = sin2x- (1+cos2x)+ 4 4 4 1 3 = sin2x- cos2x 4 4 π? 1 ? = sin?2x-3?. 2 ? ? 2π 所以f(x)的最小正周期T= =π. 2
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? π π? π ? 5π π? (2)由x∈?-4,4?得2x- ∈?- 6 ,6?, 3 ? ? ? ? ? π? ? 1? 则sin?2x-3?∈?-1,2?, ? ? ? ?

π? ? 1 1 ? 1 ? 即函数f(x)= sin?2x-3?∈?-2,4?. 2 ? ? ? ?
? π π? 1 1 ? ? - , 所以函数f(x)在闭区间 4 4 上的最大值为 ,最小值为- . 4 2 ? ?

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3.2 简单的三角恒等变换教学设计

所以学生对三角变换与代数变换 3.2 简单的三角恒等变换 1 普通高中课程标准实验教科书 数学(人教 A 版)必修 4 教学设计 的区分理解会比较困难, 在教学中教师应...

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教学设计备课 组长 备课 题目 董诗林 中心发 言人 张自石 年级 高一 周次十 备课 日期 2010. 4.27. 3.2 简单的三角恒等变换 第几课时 2 学科长签名 一...

简单的三角恒等变换—教案

2、理解并掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式,并会利用公式进行简单的恒等变形,体会三 角恒等变形在数学中的应用。 学习三角变换的内容、 思路和方法, 在与代数...

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