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直线和圆的位置关系导学案

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学案 48

直线、圆的位置关系

导学目标: 1.能根据给定直线、圆的方程,判断直线与圆、圆与圆的位置关系.2.能用 直线和圆的方程解决一些简单的问题 .3.在学习过程中,体会用代数方法处理几何问题的思 想.

自主梳理 1.直线与圆的位置关系 位置关系有三种:________、________、________. 判断直线与圆的位置关系常见的有两种方法: ①代数法:利用判别式 Δ,即直线方程与圆的方程联立方程组消去 x 或 y 整理成一元二 >0? ? ? 次方程后,计算判别式 Δ=b -4ac?=0? ? ?<0?
2

, , .

②几何法:利用圆心到直线的距离 d 和圆半径 r 的大小关系: d<r?________,d=r?________,d>r?________. 2.计算直线被圆截得的弦长的常用方法 运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成直角三角形计算. 3.圆与圆的位置关系 (1)圆与圆的位置关系可分为五种: ________、 ________、 ________、 ________、 ________. 判断圆与圆的位置关系常用方法: 设两圆圆心分别为 O1、O2,半径为 r1、r2 (r1≠r2),则 O1O2>r1+r2 ;O1O2 = r1 + r2 ; |r1 - r2|<O1O2<r1 + r2 ;O1O2 = |r1 - r2 ; 0≤|O1O2|<|r1-r2 . 自我检测 1.直线 y=kx+3 与圆(x-3)2+(y-2)2=4 相交于 M,N 两点,若 MN≥2 3,则 k 的取 值范围是________. 2.圆 x2+y2-4x=0 在点 P(1, 3)处的切线方程为______________. 3.圆 C1:x2+y2+2x+2y-2=0 与圆 C2:x2+y2-4x-2y+1=0 的公切线有________ 条. 4.过点(0,1)的直线与 x2+y2=4 相交于 A、B 两点,则 AB 的最小值为________. 5 .若 P(2 ,- 1) 为圆 C : (x - 1)2 + y2 = 25 的弦 AB 的中点,则直线 AB 的方程是 ______________.

探究点一 直线与圆的位置关系 例 1 已知圆 C:x2+y2+2x-4y+3=0. (1)若圆 C 的切线在 x 轴和 y 轴上的截距相等,求此切线的方程;

变式迁移 1 从圆 C:(x-1)2+(y-1)2=1 外一点 P(2,3)向该圆引切线,求切线的方程 及过两切点的直线方程.

探究点二 圆的弦长、中点弦问题 例 2 已知点 P(0,5)及圆 C:x2+y2+4x-12y+24=0. (1)若直线 l 过点 P 且被圆 C 截得的线段长为 4 3,求 l 的方程;

变式迁移 2 已知圆 C:x2+y2-6x-8y+21=0 和直线 kx-y-4k+3=0. (1)证明:不论 k 取何值,直线和圆总有两个不同交点; (2)求当 k 取什么值时,直线被圆截得的弦最短,并求这条最短弦的长.

探究点三 圆与圆的位置关系 例 3 )已知两圆 x2+y2-2x-6y-1=0 和 x2+y2-10x-12y+m=0.求: (1)m 取何值时两圆外切? (2)m 取何值时两圆内切? (3)m 取何值时两圆相交

1.求切线方程时,若知道切点,可直接利用公式;若过圆外一点求切线,一般运用圆 心到直线的距离等于半径来求,但注意有两条. 2.解决与弦长有关的问题时,注意运用由半径、弦心距、弦长的一半构成的直角三角 形,也可以运用弦长公式.这就是通常所说的“几何法”和“代数法”. 3.判断两圆的位置关系,从圆心距和两圆半径的关系入手.

1.直线 l:y-1=k(x-1)和圆 x2+y2-2y=0 的位置关系是________. 2.直线 3x-y+m=0 与圆 x2+y2-2x-2=0 相切,则实数 m=______________. 3.过原点且倾斜角为 60° 的直线被圆 x2+y2-4y=0 所截得的弦长为________. 2 2 4.若圆(x-3) +(y+5) =r2 上有且仅有两个点到直线 4x-3y-2=0 的距离为 1,则半 径 r 的取值范围是______________. 5.已知点 A 是圆 C:x2+y2+ax+4y-5=0 上任意一点,A 点关于直线 x+2y-1=0 的对称点也在圆 C 上,则实数 a=________. →→ 6.已知圆 O 的半径为 1,PA、PB 为该圆的两条切线,A、B 为两切点,那么PA· PB的 最小值为____________.


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