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2.3等差数列前n项和(第一课时)教案


2.3 等差数列的前 n 项和(第一课时) 【教学目标】 知识目标 掌握等差数列前 n 项的和的公式 1、能够运用等差数列的前 n 项和公式解决一些简单的实际问题, 能力目标 增强学生应用知识的能力; 2、通过分组探究的方式提高学生合作学习的能力; 3、练习题采取由学生讲解的方式完成,锻炼学生的语言表达能力。 1、通过公式的推导和公式的运用,使学生体会从特殊到一般,再 从一般到特

殊的思维规律,初步形成认识问题、解决问题的一般思 情感态度 路和方法; 价值观 2、通过与生活实际相联系的例题及习题,使学生了解数学在生活 中的实用性,渗透学以致用的思想。 3、通过对解题步骤的严格要求,培养学生严谨的工作作风。
【教学重点】

等差数列的前 n 项和的公式及其推导方法
【教学难点】

等差数列的前 n 项和的公式的推导
【教学方法】

讲授法、启发法、分组教学法
【教学手段】 【教学过程】 教学 环节 多媒体

教师教学活动设计

学生活动

设计意图

问 题 情 境

情境一 世界七大奇迹之一的泰姬陵坐落于古印 思考如何 度阿格,传说陵寝中有一个三角形图案,以相同大 解此题,借此 小的圆宝石镶嵌而成,共有 100 层.你知道这个图 回 忆 等 差 数 此 情 境 可 案一共花了多少宝石吗? 列的定义 以引发学 生积极思 考,增强 开动脑筋,思 对 本 节 课 考 怎 样 能 快 知识的兴 速 的 计 算 出 趣。 结果来。 情境二 某仓库堆放一堆钢管,最上面一层有 4 根 钢管,下面每层都比上一层多一根,最下面一层有 九根.怎样计算这堆钢管的总数? 在高斯 10 岁的时候,一天上数学课,老师问了这 通过详 样一个问题:1+2+3+ … +100=?其他同学忙着用笔 细此题, 在纸上计算,而高斯却很快求出了结果,你知道他 使学生初
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知 识 链 接

是怎样计算的吗? 对于这个问题,高斯十岁时的算法是: 首项与末项的和:1+100=101, 第 2 项与倒数第 2 项的和:2+99=101, 第 3 项与倒数第 3 项的和:3+98=101, · · · 第 50 项与倒数第 50 项的和:50+51=101, 于是所求和是 101 细致的分析此题: 设 S=1 + 2+ 3+……+100, (1) S=100+99+98+……+ 1, (2) (100 ? 1) ? 100 (1) + (2) 得 2S= (100+1) ×100, 则 S= 2 =5050. 问题一 如何根据高斯算法来计算情境一和情境 二中的问题?

整理思路, 通过这个引 例了解倒序 相加的方法。

步感受倒 序相加的 方法,为 下面等差 数列前 n 项和公式 的推导的 讲解打下 基础。

问 题 导 学 问题二 当情境一和情境二中的层数是奇数时,怎 样计算?(思考) 问题三 因为 (2) (1)+(2)得: 所以 老师点明:数列 1,2,3 相当于首项为 1,公差为 1 的等差数列.为前 n 项和.
如何求第一层到第 n 层()的数量?

分组进行讨 论解决情境 一情境二问 题的方法 . 思 考问题二,尝 试给出解答.

设第一层到第 n 层的数量为, (1)

全班在老师 的引导下,一 起探究,体会 倒序相加的 方法.

让学生进 行猜想, 这样可以 使学生觉 得数学是 触手可及 的,不是 高不可攀 的。 使学生 建立倒序 相加的思 想,从而 引发学生 想到用同 样的方法 推导等差 数列的前 n 项和的 公式。

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数 学 建 构

利用上面 一般地,我们称 a1 + a2 + a3 +……+ an 为数列的前 的倒序相加 n 项和,用表示,即: 的方法与老 Sn = a1 + a2 + a3 +……+ an 师一起推导 因为(1) 等差数列的 又(2) 前 n 项和的公 (1)+(2)得 式,由此体会 从特殊到一 般的哲学思 又因为: 想。 所以: 共有 n 个,所以 (公式一)

通过公 式推导方 法的形成 过程使学 生感受解 决问题的 一 般 思 路:从特 殊问题的 解决中提 炼一般方 法,再运 用这一方 法解决一 般情况, 使学生初 步形成认 识问题、 解决问题 的一般思 路 和 方 法。 通过例题 让学生学 会从实际 问题中找 到公式中 相 应 的 量,然后 利用公式 解 决 问 题。在讲 解的过程 中随时强 调解题过 程 的 书 写,培养 学生良好 的习惯.

例题 已知这个屋顶的某一斜面成等腰梯形,最上 面一层铺了瓦片 108 片,往下每一层多铺 2 片,斜 面上铺了瓦片 17 层,共铺了多少片瓦? 解: 根据题意, 设屋顶的瓦片数从上到下分别是 a1 , a2 , a3 ,……, an ,则它们构成等差数列,其中 n =19, d =1, a1 =21. 法一: 知 识 运 用 答:共铺了 2108 片瓦. 启发学生 , 先求出 a ,再套用公式比较麻烦, ,
n

思考,与老师 共同分析求 解,找到公式 中相应的量, 并通过此题 了解规范的 解题格式。

如果利用通项公式,是否能得出变形公式呢? 即:
S n ? na1 ? n(n ? 1) d 2

(公式二)

法二:将 a1 =108,d=2,n=17 代入求和公式二,得:

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剖 析 公 式

帮助学生 建立方程 n(n ? 1) d 公式二: S n ? na1 ? 的思想, 2 观 察 三 个 式 为后面解 通项公式: 子 之 间 的 联 决复杂的 老师强调:共五个量 ,知道其中任意三个量,由三 系,建立方程 数 列 问 题 的思想 打 下 基 个公式联系,可求其他两个量. 础. (方程的思想) 公式一: 公式一: 联 系 梯 形 的 结合前 n 面积计算公 式,记忆等差 项 和 公 式 数列前 n 项和 的 几 何 意 公式. 义,帮助 学生记忆 公式,并

n
记 忆 公 式 公式二: S n ? na1 ?

1
n(n ? 1) d 2

n
n

体会数形 结合的思 想.

(几何意义) 公式二: S n ? na1 ? 认 识 公 式 公式 2 可化为: 若令,则:
n(n ? 1) d 2

认真体会等

让学生体 差数列前 n 项 会 函 数 的 和 公 式 转 化 思想. 之后,是一个

当时,上式是关于 n 的二次函数,且常数项为 0, 关于 n 的二次 它的图像是抛物线上离散的点. 函数. (函数思想)

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例 题 分 析

例 1 根据下列已知条件,求相应的等差数列的前 n 根 据 题 目 已 项和. 知条件选择 (1) ; 合适的计算 (2) ; 公式. (3) 解:提问学生该选择哪一个公式进行求解. (1)公式一; (2)公式二; (3)有不同的方法求解 利用等差数列的性质: 所以 (整体思想) 例 2 等差数列:-10,-6,-2,2,… 前多少项的和为 54? 解:设题中的等差数列是{an} ,前 n 项和为 Sn 则 a1=-10,d=-6-(-10)=4 令=54,由等差数列前 n 项和公式,得: 解得 因此,该等差数列的前九项和是 54. (方程思想,知三求二) 例 3 在等差数列中, (1)已知: (2)已知: (整体思想认识公式) 第三题有多 种解法,联系 前面学过的 等差数列的 性质可以较 快的得出答 案.

训练学生 根据不同 的已知条 件选择适 当的解题 方法,以 及学会一 题多解, 联系前后 学过的知 识,体会 整体的思 想.

用 方 程 的 思 让学生体 想解决该题. 会 方 程 的 思想在解 题中的运 用.

模仿例一(3) 例一(3) 的变式训 的解题过程, 练,举一 做 在 作 业 本 反三,让 学生深刻 上. 理解等差 数列性质 的运用.

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1. 推导等差数列前 n 项和公式的方法叫做: 倒序相加法 2. 等差数列前 n 项和公式: 公式一: 课堂 n(n ? 1) d 公式二: S n ? na1 ? 小结 2 注意:

课后 1.教材第 46 页 习题 2.3 作业 A 组 第 1,3 题;

B 组 第 2 题(选做). 2.例 3 3.预习 等差数列前 n 项和的性质

分 小 组 总 结 让学生进 今 天 学 过 的 行总结可 主要知识. 以使学生 更好的思 考本节课 所学的内 容,同时 培养其概 括总结的 能力。 根 据 自 身 的 分层布置 学 习 情 况 选 作业的目 择作业,认真 的 是 照 顾 完成. 到不同程 度 的 学 生,让所 有学生的 思维都能 得 到 训 练。

【板书设计】

等差数列前 n 项的和
一、等差数列的前 n 项和公式 公式一: (倒序相加法) 二、例题

公式二: S n ? na1 ?

n(n ? 1) d 2

【教学后记】
等差数列前 n 项和公式这一节的内容,重点在于公式的推导方法,倒序相加求和法,该 方法在数列这一部分有着广泛的运用, 因此老师的教学重点应该放在公式的推导过程的讲解 上面,要让推导过程变得自然,学生易于接受. 其次课程设计的时候应更周到, 后面涉及到要用的新学的性质应该提前复习, 这样学生 在用到的时候才有一个比较自然的过程. 在备课过程中要认真,避免出现习惯性错误,这样学生对老师的印象就不好了.

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