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第二章 第四节函数的单调性


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同步检测训练
一、选择题 1.(2008· 北京海淀)下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是增函数的是( ) A.y=-log2x(x>0) B.y=x3+x(x∈R) C.y=3x(x∈R) 1 D.y=- (x∈R,x≠0) x 答案:B 1 解析: 奇函数只有 y=x3+x(x∈R)和 y=-

(x∈R, x≠0), 但前者在定义域内是增函数, x 后者不是,故选 B. 1 2.(2008· 启东中学)若函数 f(x)=loga(2x2+x)(a>0,a≠1)在区间?0,2?内恒有 f(x)>0,则 ? ? f(x)的单调增区间是( ) 1? 1 A.?-∞,-4? B.?-4,+∞? ? ? ? 1? C.?-∞,-2? D.(0,+∞) ? 答案:C 1 解析:当 x∈ ?0,2? 时,2x2 +x∈(0,1),则 0<a<1,f(x)=loga(2x2 +x)(a>0,a≠1)= ? ? 1?2 1? 1 loga?2?x+4? -8 ,则 f(x)的单调递增区间是?-∞,-2?,故选 C. ? ? ? ? ? 3.(2008· 广东六校联考)函数 y=loga|x+2|在(-2,0)上是单调递增的,则此函数在(-∞, -2)上是( ) A.单调递增 B.单调递减 C.先增后减 D.先减后增 答案:B 解析:函数 y=loga|x+2|的对称轴为 x=-2,它在(-2,0)上是单调递增的,则此函数在 (-∞,-2)上是单调递减的,故选 B. 4. (2008· 天津六区联考)设 f(x)是定义在 R 上的单调递减的奇函数, x1+x2>0,2+x3>0, 若 x x3+x1>0,则( ) A.f(x1)+f(x2)+f(x3)>0 B.f(x1)+f(x2)+f(x3)<0 C.f(x1)+f(x2)+f(x3)=0 D.f(x1)+f(x2)>f(x3) 答案:B 解析:∵x1+x2>0,x2+x3>0,x3+x1>0, ∴x1>-x2,x2>-x3,x3>-x1. 又 f(x)是定义在 R 上的单调递减的奇函数, ∴f(x1)<-f(x2),f(x2)<-f(x3), f(x3)<-f(x1), ∴f(x1)+f(x2)+f(x3)<-[f(x1)+f(x2)+f(x3)], ∴f(x1)+f(x2)+f(x3)<0,故选 B. 5.若函数 y=log2(x2-ax+3a)在[2,+∞)是增函数,则实数 a 的范围为( ) A.(-∞,4] B.(-4,4] C.(-∞,-4)∪[2,+∞)
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D.(-4,2) 答案:B 解析:本题考查含参数变量的函数的讨论及其复合函数的应用.由题知:y=log2x 为单 调增函数,y=log2(x2-ax+3a)的单调增区间为 y=x2-ax+3a 的增区间的一个子区间,由 y =x2-ax+3a?y′=2x-a,又在[2,+∞)是单调增区间,即在 x∈[2,+∞),2x-a>0 恒成 立,即只需 2×2-a>0 即可?a<4,又 y=x2-ax+3a 在 x∈[2,+∞)上恒大于 0,则 22 -2a+3a>0?a>-4,综上可得:-4<a<4,当 a=4 时同样成立.故选 B. 6. 若函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数, 在(-∞, 0]上是减函数, f(2)=0, 且 则使得 f(x)<0 的 x 的取值范围是( ) A.(-∞,2) B.(2,+∞) C.(-∞,-2)∪(2,+∞) D.(-2,2) 答案:D 解析:∵f(2)=0 且 f(x)为偶函数,∴f(-2)=0. 又∵f(x)在(-∞,0]上递减, ∴f(x)在(-2,0]上递减. ∴对于 x∈(-2,0]必有 f(x)<0. 由对称性得对于 x∈[0,2)必有 f(x)<0. ∴使得 f(x)<0 的范围是(-2,2).故选 D. 1 7. (2008· 重庆一模)设 f(x)是定义在 R 上以 2 为周期的偶函数, 已知 x∈(0,1)时, f(x)=log 2 (1-x),则函数 f(x)在(1,2)上( ) A.是增函数,且 f(x)<0 B.是增函数,且 f(x)>0 C.是减函数,且 f(x)<0 D.是减函数,且 f(x)>0 答案:D 1 解析:f(x)是定义在 R 上以 2 为周期的偶函数,由 x∈(0,1)时,f(x)=log (1-x)为增函数 2 且 f(x)>0 得函数 f(x)在(2,3)上也为增函数且 f(x)>0, 而直线 x=2 为函数的对称轴, 则函数 f(x) 在(1,2)上是减函数,且 f(x)>0,故选 D. ? ?(2-a)x+1,x<1, 8.已知 f(x)=? x 是 R 上的增函数,那么 a 的取值范围是( ) ?a ,x≥1 ? 3 A.(1,+∞) B.(1, ] 2 3 C.(1,2) D.[ ,2) 2 答案:D

?2-a>0, ? 解析:依题意得?a>1, ?a≥(2-a)×1+1, ?
3 解得 a 的取值范围是 ≤a<2,故选 D. 2 二、填空题 1 9.(2009· 北京市东城区质检)函数 y=log (x2-3x)的单调递减区间是________. 3 答案:(3,+∞) 解析:函数 t=x2-3x(t>0)的单调递增区间是(3,+∞),由复合函数的单调性判断法则, 1 函数 y=log (x2-3x)的单调递减区间是(3,+∞). 3

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10.若 f(x)=-x2+2ax 与 g(x)= ________. 答案:(0,1] a 解析:f(x)=-(x-a)2+a2,当 a≤1 时,f(x)在[1,2]上是减函数,g(x)= ,当 a>0 时, x+1 g(x)在[1,2]上是减函数,则 a 的取值范围是 0<a≤1. 11.(2008· 西北工大附中三模)函数 f(x)=loga - 1(a+3-ax)在(0,3)上单调递增,则 a∈________. 3 答案:?1,2? ? ? 解析:设 g(x)=a+3-ax,则根据题意 ? ?0<a-1<1, 3 3 得? 1<a≤ ,故填?1,2?. ? ? 2 ? ?g(3)=3-2a≥0, 三、解答题 12.(2008· 北京市西城区抽样测试)已知函数 f(x)=x|x-2|. (1)写出 f(x)的单调区间; (2)解不等式 f(x)<3. (3)(理)设 a>0,求 f(x)在[0,a]上的最大值. (文)设 0<a<2,求 f(x)在[0,a]上的最大值. 解:(1)f(x)=x|x-2|= 2 ? 2 ?x -2x=(x-1) -1,x≥2,
? 2 2 ?-x +2x=-(x-1) +1,x<2. ?

a 在区间[1,2]上都是减函数,则 a 的取值范围是 x+1

∴f(x)的单调递增区间是(-∞,1]和[2,+∞); 单调递减区间是[1,2]. ?x≥2 ? (2)∵x|x-2|<3?? 2 ? ?x -2x-3<0 ? ?x<2 或? 2 ?2≤x<3 或 x<2, ? ?x -2x+3>0 ∴不等式 f(x)<3 的解集为{x|x<3}. (3)(理)①当 0<a<1 时,f(x)是[0,a]上的增函数,此时 f(x)在[0,a]上的最大值是 f(a)=a(2 -a); ②当 1≤a≤2 时,f(x)在[0,1]上是增函数,在[1,a]上是减函数,此时 f(x)在[0,a]上的 最大值是 f(1)=1; ③当 a>2 时,令 f(a)-f(1)=a(a-2)-1=a2-2a-1>0,解得 a>1+ 2. ⅰ.当 2<a≤1+ 2时,此时 f(a)≤f(1),f(x)在[0,a]上的最大值是 f(1)=1; ⅱ.当 a>1+ 2时,此时 f(a)>f(1),f(x)在[0,a]上的最大值是 f(a)=a(a-2). 综上,当 0<a<1 时,f(x)在[0,a]上的最大值是 a(2-a);当 1≤a≤1+ 2时,f(x)在[0, a]上的最大值是 1;当 a>1+ 2时,f(x)在[0,a]上的最大值是 a(a-2). (文)①当 0<a<1 时,f(x)是[0,a]上的增函数,此时 f(x)在[0,a]上的最大值是 f(a)=a(2 -a); ②当 1≤a<2 时,f(x)在[0,1]上是增函数,在[1,a]上是减函数,此时 f(x)在[0,a]上的最 大值是 f(1)=1. x 13.(2008· 青岛调研)已知 f(x)= (x≠a). x-a (1)若 a=-2,试证 f(x)在(-∞,-2)内单调递增; (2)若 a>0 且 f(x)在(1,+∞)内单调递减,求 a 的取值范围.
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(1)证明:任设 x1<x2<-2, x1 x2 则 f(x1)-f(x2)= - x1+2 x2+2 2(x1-x2) = . (x1+2)(x2+2) ∵(x1+2)(x2+2)>0,x1-x2<0, ∴f(x1)<f(x2), ∴f(x)在(-∞,-2)内单调递增. (2)解:任设 1<x1<x2,则 a(x2-x1) x1 x2 f(x1)-f(x2)= - = x1-a x2-a (x1-a)(x2-a) ∵a>0,x2-x1>0, ∴要使 f(x1)-f(x2)>0,只需(x1-a)(x2-a)>0 恒成立,∴a≤1. 综上所述知 0<a≤1. 14.已知函数 y=f(x)对任意 x,y∈R 均有 f(x)+f(y)=f(x+y),且当 x>0 时,f(x)<0,f(1) 2 =- . 3 (1)判断并证明 f(x)在 R 上的单调性; (2)求 f(x)在[-3,3]上的最值. 解:(1)f(x)在 R 上是单调递减函数. 证明如下: 令 x=y=0,f(0)=0,令 y=-x 可得: f(-x)=-f(x),在 R 上任取 x1<x2, 则 x2-x1>0, ∴f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1). 又∵x>0 时,f(x)<0, ∴f(x2-x1)<0,即 f(x2)<f(x1). 由定义可知 f(x)在 R 上为单调递减函数, (2)∵f(x)在 R 上是减函数, ∴f(x)在[-3,3]上也是减函数. ∴f(-3)最大,f(3)最小. f(3)=f(2)+f(1)=f(1)+f(1)+f(1) 2 =3×(- )=-2. 3 ∴f(-3)=-f(3)=2. 即 f(x)在[-3,3]上最大值为 2,最小值为-2. 15.(2008· 北京丰台)已知 x=1 是函数 f(x)=mx3-3(m+1)x2+nx+1 的一个极值点,其 中 m,n∈R,m<0. (1)求 m 与 n 的关系式; (2)求 f(x)的单调区间; (3)当 x∈[-1,1]时,函数 y=f(x)的图象上任意一点的切线斜率恒大于 3m,求 m 的取值 范围. 解:(1)f′(x)=3mx2-6(m+1)x+n. ∵x=1 是函数 f(x)=mx3-3(m+1)x2+nx+1 的一个极值点. ∴f′(1)=0,即 3m-6(m+1)+n=0. ∴n=3m+6. 2 (2)由(1)知 f′(x)=3mx2-6(m+1)x+3m+6=3m(x-1)?x-?1+m??, ? ? ??
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2 当 m<0 时,有 1>1+ , m 2 ?1+ 2 ,1? 1 1+ (1,+∞) m ? m ? 0 0 f′(x) - + - f(x) 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减 2? 2 所以,当 m<0 时,f(x)在?-∞,1+m?上单调递减,在?1+m,1?上单调递增,在(1, ? ? ? + ∞)上单调递减. (3)由已知,得 f′(x)>3m, 即 mx2-2(m+1)x+2>0. 1 2 ∵m<0,∴x2-2?1+m?x+ <0, ? ? m x∈[-1,1].(*) 1 2 设 g(x)=x2-2?1+m?x+ ,函数图象开口向上. ? ? m 由题意,知(*)式恒成立. ?g(-1)<0, ? ∴? ? ?g(1)<0. x

?-∞,1+ 2 ? m? ?

?1+2+ 2 + 2 <0, ? 4 m m ∴? ∴m>- . 3 ? ?-1<0.
4 4 又 m<0,∴- <m<0,即 m 的取值范围为?-3,0?. ? ? 3

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