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几何10 学生版 平几综合


几何 10 平几综合问题
本讲概述
本讲将综合应用前六讲所学习的平几知识与技巧解决一些综合性较强的平几问题,这些问题的难度大 致相当于联赛二试以及冬令营中较易的问题,个别题目较难.

例题精讲
【例1】 在 ?ABC 中, AB ? AC ,其内切圆 I 分别切三边于点 D, E, F ,P 为弧 EF(不含点 D 的弧)上 一点

.设线段 BP 交圆 I 于另一点 Q.直线 EP,EQ 分别交直线 BC 于点 M,N.证明: (1) P, F , B, M 四点共圆; (2)

EM BD ? . EN BP

A

P F I Q N B D C M E

【例2】 如图,在锐角△ ABC 中, AB ? AC , cos B ? cos C ? 1 . E、 F 分别是 AB 、 AC 延长线上的点,

且 ?ABF ? ?ACE ? 90? . ⑴求证: BE ? CF ? EF ; ⑵设 ?EBC 的平分线与 EF 交于点 P ,求证: CP 平分 ?BCF .

A

C B

E

P

F

【例3】 在三角形 ABC 中, AB ? AC , ?CAB 和 ?ABC 的内角平分线分别与边 BC 和 CA 相交于点 D 和 E .设 K 是三角形 ACD 的内心.若 ?BEK ? 45? ,求 ?CAB 所有可能的值.

【例4】 (*)过圆外一点 P 向圆 O 作切线 PA 、 PB 及割线 PCD ,过 C 作 PA 的平行线,分别交 AB 、 AD 于 E 、 F .求证: CE ? EF .

P

C A F E B

O D

CA , AB 的切点分别为 D , E, F .记 AD 与 【例5】 在 △ ABC 中,?B ? ?C ,△ ABC 的内切圆 ⊙ I 与 BC , ⊙ I 的不同于点 D 的交点为 P .过点 P 作 AD 的垂线交 EF 于点 Q , X , Y 分别是 AQ 与直线 DE ,DF 的交点. 求证: A 是线段 XY 的中点.

Q

Y P F I

A

X

E

B

D

C

AB 上一点,在射线 OC 上任取一点 P ,连结 AP ,过点 B 作直线 【例6】 如图, C 为扇形 AOB 的弧 ? BQ ∥ AP 交 OC 于点 Q .证明:五边形 OAQPB 的面积与点 C 、 P 的选取无关.

B P C Q O A

【例7】 给定圆 ?1 和 ?2 相交于点 X 和 Y .l1 是一条过 ?1 的圆心的直线且与 ?2 交于 P 、Q .l2 是一条过 ?2 的圆心的直线且与 ?1 交于 R 、 S .求证:若 P 、 Q 、 R 、 S 四点共圆,则此圆的圆心在直线 XY 上.

X l1 l2

O1 P Y

R

O2

S

Q O

大显身手
1. 设不过平行四边形 ABCD 顶点的任意一条直线分别与直线 AB、BC、CD、DA 交于 E、F、G、H,则圆 EFC 与圆 GHC 的另一个交点 Q 必在定直线上.

2.

已知⊙ O 与 ?ABC 的边 AB、AC 分别相切于 P 和 Q ,与 ?ABC 外接圆相切于 D ,M 是 PQ 的中点 (如图) .求证: ?POQ ? 2?MDC .

A

Q M P C O D B

3.

两圆 ⊙O1 、⊙O2 相切于点 M ,⊙O2 的半径不小于 ⊙O1 的半径. 点 A 是 ⊙O2 上的一点, 且满足 O1 、 O2 和 A 三点不共线. AB 、 AC 是点 A 到 ⊙O1 的切线, 切点分别为 B 、C , 直线 MB 、MC 与 ⊙O2 的另一个交点分别为 E 、 F ,点 D 是线段 EF 和 ⊙O2 的以 A 为切点的切线的交点.证明:当点 A 在 ⊙O2 上移动且保持 O1 、 O2 和 A 三点不共线时,点 D 沿一条固定的直线移动.

4.

(*选做,不作要求)水平直线 m 通过圆 O 的中心,直线 l?m,l 与 m 相交于 M,点 M 在圆心的右 侧,直线 l 上不同的三点 A,B,C 在圆外,且位于直线 m 上方,A 点离 M 点最远,C 点离 M 点 最近,AP,BQ,CR 为圆 O 的三条切线,P,Q,R 为切点.试证: (1)l 与圆 O 相切时,AB?CR+BC?AP=AC?BQ; (2)l 与圆 O 相交时,AB?CR+BC?AP<AC?BQ; (3)l 与圆 O 相离时,AB?CR+BC?AP>AC?BQ.

提示与解: 1、画图可得到 Q 点应在在定直线 AC 上,即证 A、C、Q 共线. 连 AQ、CQ、EQ、HQ,往证∠EQA=∠EQC, E、F、C、Q 共圆→∠EQC=∠GFC, G、H、Q、C 共圆→∠HQC=∠FGC, ∠GFC+∠FGC+∠FCG=180 →∠EQC+∠HQC+∠GFC=180 , ∵∠BAD=∠FCG,∴∠EQH+∠EAH=180 →A、E、Q、H 共圆
0 0 0

→∠EQA=∠EHA,而 AH∥BC→∠GFC=∠EHA→∠EQA=∠EQC →A、C、Q 共线,即 Q 必在定直线 AC 上.

A D B E F G C
P

A

H
Q M O D B C E

Q

2、 如图,连接 AO 、 AD 、 DO 和 DQ . ∵ AP、AQ 分别与⊙ O 相切于 P 、 Q . ∴ AP ? AQ ∵ OP 和 OQ 都是⊙ O 的半径, ?APO ? ?AQO ? 90? ∴ 由对称性知 ?POQ ? 2?AOQ ,且 OA ? PQ 于 M . OD OA ∴ OD2 ? OQ2 ? OM ? OA ,即 ? OM OD 又∵ ?DOM ? ?AOD ,∴ ?DOM ∽ ?AOD ∴ ?ODM ? ?OAD 过 D 作两圆的公切线 DE ,则 ?CDE ? ?CAD 又∵ OD ? DE ,即 ?ODE ? 90? ∴ ?MDC ? 90? ? ?ODM ? ?COE ? 90? ? ?OAD ? ?DAC ? 90? ? ?OAQ ? ?AOQ 故 ?POQ ? 2?MDC .

3、以 M 为原点, O1O2 为 x 轴建立直角坐标系,如 图所示, 设 ⊙O1 方程为 ? x ? 1? ? y2 ? 1 ,⊙O2 方程为
2

? x ? r ? ? y2 ? r 2 ? r ? 1? .
2

y A F D B
1

设 A? r ? r cos? , r sin? ? , ? ??0 , π? ? ? π , 2π ? . 因为 BC 是 ⊙O1 的切点弦, BC 所 以 方 程 ?r?? c ? ?o ? xs? ? , ?r ?1?

为 y1

r

s

i

n

即 ?1 ? r ? r cos? ? x ? ? r sin? ? y ? r ?1 ? cos? ? ? 0

O2 E

M C

O1

x

. 又易得 EF ∥ BC , 设 EF 方程为 ?1 ? r ? r cos? ? x ? ? r sin? ? y ? t ? 0 . 又因为 O1C ∥O2 F ,所以
y F xF ? ? ?r , yC xC

1 1 所以 yC ? ? yF , . xC ? ? xF (其中 F ? xF ,yF ? , C ? xC ,yC ? ) r r 1 ? 1 ? 所以 ? ?1 ? r ? r cos? ? ? xF ? ? r sin ? ? ? ? ? yF ? ? r ?1 ? cos? ? ? 0 , r ? r ?
所以 ?1 ? r ? r cos? ? xF ? ? r sin? ? ? yF ? r 2 ?1 ? cos? ? ? 0 , 所以直线 EF 方程为 ?1 ? r ? r cos? ? x ? ? r sin? ? ? y ? r 2 ?1 ? cos? ? ? 0 . 又因为 AD 是 ⊙O2 的以点 A 为切点的切线, 所以直线 AD 方程为 r ? x ? r ? cos? ? ? r sin ? ? y ? r 2 ? 0 . 即 rx cos? ? ? r sin ? ? y ? r 2 (1 ? cos? ) ? 0 设 D ? xD ,yD ? ,因为点 D 在 EF 和 AD 上,所以 ?1 ? r ? xD ? 0 ,即 xD ? 0 , 所以点 D 在定直线 y 轴上移动. 4、其实只要第一问完成了,后面两问可类似完成.本题实际上是一道计算题,先设基本量然后代入计算, 通过漫长的化简得到显然成立的等价式.具体过程略.

学习之外
中科院数学研究所的实力 中科院数学研究所的实力: 中国科学院院士、中国工程院院士 吴文俊 王 元 杨 乐 陆启铿 万哲先 丁夏畦 石钟慈 陈翰馥 丁伟岳 林 群 马志明 崔俊芝 陆汝黔 李邦河 严加安 刘源张 郭 雷 国家杰出青年科学基金获得者 (A 类) 郭 雷 席南华 袁亚湘 高小山 张纪峰 贾朝华 朱力行 吉 敏 周向宇 冯 琦 张汉勤 李嘉禹 王友德 孙笑涛 陈志明 程 兵 汪寿阳 王跃飞 巩馥洲 姚鹏飞 徐 飞 张立群 郭宝珠 国家杰出青年科学基金获得者 (B 类) 张寿武 戴建岗 刘克峰 赵修利 王 沅 陈秀雄 董崇英 宋京生 中国科学技术大学数学系简介 中国科学技术大学数学系于 1958 年由著名数学家华罗庚教授亲自主持创办并任首任系主任,关 肇直、 吴文俊、 冯康等一大批知名专家曾在此任教。 经过四十多年的艰苦创业, 现已形成一支力量雄厚, 结 构合理的师资队伍。本系现有教授 30 人(博士生导师 24 名), 副教授 17 名, 其中拥有 2 名长江学者、4 位杰出青年基金获得者及 8 名中科院百人计划学者。年轻学者均具有国内外博士学位,形成了求实创新的 治学风格, 培养了一大批出类拔萃的人才, 取得了很多高水平的研究成果。自九十年代以来,我系共获国 家自然科学奖三等奖两项,中科院自然科学成果一等奖三项、二等奖两项,教育部科技进步一等奖一项, 国家级教学成果二等奖两项。 本系为首批全国理科人才培养基地、中国科学院博士生重点培养基地、长江学者特聘岗位设置学 科,并获得首批数学一级学科博士学位授予权(涵盖数学所有博士点), 其中基础数学为国家重点学科, 在国家"211 工程"建设中,数学与非线性科学是重点建设项目之一。为吸引高水平的学者来我系讲学,学 校为本系设立了“华罗庚大师讲席”及“吴文俊大师讲席” 。 挂靠本系的数学研究所经中科院批准,成立于 1983 年,主要任务是从事数学理论与应用等方面 的研究。 本系还是首批博士后流动站,至今已有 ? 名国内外博士学位获得者先后进站工作。 本系具有良好的软硬件条件,建有先进的数学图书分馆(拥有国内外重要学术期刊 250 余种、藏 书十多万册) 、 科学计算机与计算机图形实验室、数学建模实验室以及计算机网络系统。 本系本科生学制为四年,每年在全国范围内招收约 100 名优秀本科生。培养人才的指导思想是: 打好基础、 淡化专业、 提高素质, 培养具有良好数学素养和创造性才能的从事数学研究和应用的优秀人才。 为此,本系注重加强基础课的教学,同时开展数学建模与数学实验等多种教学活动,培养学生具有扎实基 础和综合运用数学与计算机知识解决实际问题的能力。在教学体制上本系还在全国高校率先实行 "本科- 硕士-博士"分流培养制度。 多年来, 本系毕业生遍布海内外,他们中有的已成为有影响的数学家,有的凭借自身的深厚数学 功底,走进计算机、信息、经济等应用领域并做出突出成绩。 本系还与中科院研究生院的数学教学部有着密切合作,主要合作进行研究生培养和本科生后期教 学工作。


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