nbhkdz.com冰点文库

2.3.2-2.3.3平面向量的正交分解及坐标表示及平面向量的坐标运算


平面向量的坐标表示及运算

第二章

平面向量

复习
1,平面向量基本定理 如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量, 那么对于这一平面内的任一向量a,有且只有一 对实数λ1,λ2 使a= λ1 e1+ λ2 e2 2.共线向量定理 向量a(a≠0)与b共线,当且仅当有唯一一个 b=λa 实数λ,使___

_________ .

栏目 导引

第二章

平面向量

新课引入
F1 G F2

G与F1,F2有什么关系? G=F1+F2 G=F1+F2叫做重力G的分解 类似地,由平面向量的基本定理,对平 面上的任意向量a,均可以分解为不共线的 两个向量λ1a1和λ2 a2,使a=λ1a1 + λ2 a2
栏目 导引

第二章

平面向量

λ2 a2

若两个不共线向量互相垂直时 把一个向量分解为两个互相垂 直的向量,叫做把向量正交分解

a

λ1a1

F1 G

F2

正交分解
栏目 导引

第二章

平面向量

在平面上,如果选取互相垂直的向量作为 基底时,会为我们研究问题带来方便。

我们知道,在平面直角坐标系,每一个 点都可用一对有序实数(即它的坐标)表示, 对直角坐标平面内的每一个向量,如何表示?

栏目 导引

第二章

平面向量

如图,在直角坐标平面内,以原 点O为起点作OA=a,则点A的位

y

a
A (x,y)

置由a唯一确定。 设OA=xi+yj,则向量OA的坐标 (x,y)就是点A的坐标;

y
j O i

x

x

反过来,点A的坐标(x,y)也就是向 量OA的坐标。

因此,在平面直角坐标系内,每一个平面向量都可 以用一对实数唯一表示。
栏目 导引

第二章

平面向量

a = ( x, y )
y

i= ( 1, 0 ) j= ( 0, 1 ) 0= ( 0, 0 )

yj j O i

a x

xi

栏目 导引

第二章

平面向量

y

向量a、b有什么关系?

a=b
yj yj j O i xi xi x
相等的向量坐标相同

a

b

能说出向量b的坐标吗?

b=( x,y )

栏目 导引

第二章

平面向量

2.3.2(3)平面向量的坐标表示及 运算

栏目 导引

第二章

平面向量

新知初探思维启动
1.平面向量的正交分解
互相垂直 的向量, 把一个向量分解成两个__________

叫做把向量正交分解.
2.平面向量的坐标表示 (1)向量的直角坐标

栏目 导引

第二章

平面向量

在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方
单位向量 向相同的两个___________________ i、j作为

基底,对于平面内的一个向量 a ,由平面向
量基本定理知,有且只有一对实数x,y使得 xi+yj ,则把有序数对_________ (x,y) 叫 a=__________ 做向量a的坐标.

栏目 导引

第二章

平面向量

(2)向量的坐标表示
x 叫做a在x轴上的 在向量a的直角坐标中,___

a=(x,y) y 叫做a在y轴上的坐标,__________ 坐标,____
叫做向量的坐标表示.

(3)在向量的直角坐标中,i=(1,0),j=
(0,1) ______________ ,0 =(0,0).

栏目 导引

第二章

平面向量

想一想 → → 已知向量OM=(-1,-2),M 点的坐标与OM
的坐标有什么关系?
→ 提示: 坐标相同, 但写法及含义不同; OM=(- 1,-2),而 M(-1,-2).

栏目 导引

第二章

平面向量

3.平面向量的坐标运算

若 a = (x1 , y1) , b = (x2 , y2) ,则 a + b 向量的 (x1-x2,y1-y2) 加、减 ________________________ .即两个 法 向量和 ( 差 ) 的坐标分别等于这两个向 量相应坐标的和(差). (x1+x2,y1+y2) = ______________________ ,a-b=

栏目 导引

第二章

平面向量

实数与

若a=(x,y),λ∈R,则λa= (λx,λy) ,即实数与向量 ____________ 的积的坐标等于用这个实数乘 原来向量的相应坐标

向量的


栏目 导引

第二章

平面向量

做一做
已知a=(1,2),b=(-1,3),则a+2b=

________.
解析:∵2b=(-2,6),∴a+2b=(1,2)+(

-2,6)=(1-2,2+6)=(-1,8).
答案:(-1,8)

栏目 导引

第二章

平面向量

想一想

已知 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,求 AB 的坐标.
A(x1,y1)

y

AB ? OB ? OA ? ( x2, y2 ) ? ( x1 , y1 )
? ( x2 ? x1 , y2 ? y1 )

B(x2,y2)

O

x

结论:一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段终 点的坐标减去始点的坐标。
栏目 导引

第二章

平面向量

典题例证技法归纳
题型探究 向量的坐标表示
例1 在直角坐标系xOy中,

向量a,b,c的方向如图所示,

且|a|=2,|b|=3,|c|=4,分
别计算出它们的坐标.

栏目 导引

第二章

平面向量

→ → → 【解】 设OA=a,OB=b,OC=c, → → → 又∵|OA|=|a|=2,|OB|=|b|=3,|OC|=|c|=4. 3 3 3? ? ∴A( 2, 2),B - , ,C(2 3,-2), ? 2 2 ? 3 3 3? ? ∴a=( 2, 2),b= - , ,c=(2 3,-2) ? 2 2 ?

栏目 导引

第二章

平面向量

【名师点评】

向量的坐标表示是向量的另

一种表示方法,当向量的始点在原点时,终 点坐标即为向量的坐标.

栏目 导引

第二章

平面向量

变式训练
→ 1.已知 O 是坐标原点,点 A 在第一象限,|OA| → =4 3,∠xOA=60°,求向量OA的坐标.
解:设 A(x,y),则 x=4 3cos60°=2 3, y=4 3sin60°=6,∴A(2 3,6), → OA=(2 3,6).

栏目 导引

第二章

平面向量

平面向量的坐标运算
例2
设向量a、b的坐标分别是(-1,2),(3,-5),

求a+b,a-b,3a,2a+3b的坐标.
【解】 a + b= ( - 1 , 2) + (3 ,- 5) = ( - 1+ 3 , 2 - 5)

=(2,-3); a-b=(-1,2)-(3,-5)=(-1-3,2+5)=(-4,7) 3a=3(-1,2)=(-3,6); 2a+3b=2(-1,2)+3(3,-5)

=(-2,4)+(9,-15)
=(-2+9,4-15)=(7,-11).
栏目 导引

第二章

平面向量

变式训练 2.若a+b=(-3,-4),a-b=(5,2),则向

量a=________,向量b=________.
解析:a+b=(-3,-4),① a-b=(5,2).② 1 ①+②,得 a= ×[(-3,-4)+(5,2)]=(1, 2
-1); 1 ①-②, 得 b= ×[(-3, -4)-(5, 2)]=(-4, 2 -3).

答案:(1,-1)

(-4,-3)
栏目 导引

第二章

平面向量

3.已知三点 A(2,-1)、B(3,4)、C(-2,0), 求: → 1→ → → (1)3AB+ CA;(2)BC-2AB. 2
→ 解:AB=(3-2,4+1)=(1,5). → BC=(-2-3,-4)=(-5,-4), → CA=(2+2,-1-0)=(4,-1)

29? 1 → 1→ ? (1)3AB+ CA=3(1,5)+ (4,-1)=?5, 2 ?. 2 2 → → (2)BC-2AB=(-5,-4)-2(1,5)=(-7,- 14).
栏目 导引

第二章

平面向量

向量坐标的应用
例3
(本题满分 10 分)已知点 O(0,0),A(1,

→ → → 2),B(4,5),及OP=OA+tAB. (1)t 为何值时, 点 P 在 x 轴上?点 P 在 y 轴上? 点 P 在第二象限? (2)四边形 OABP 能为平行四边形吗?若能, 求出 t 值;若不能,说明理由.

栏目 导引

第二章

平面向量

[解题流程]
?1?P 在 x 轴、y 轴及第二象限内时 t 的值; ?2?判断四边形 OABP 能否为平行四边形

(1)由 OP = OA +t AB 可表示出 P 点坐标,然后根据 P 点的位置建立关于 t 的关系式即可; (2)若四边形 OABP 为平行四边形,则 OA = PB 成立

由 OP = OA +t AB 求 P 点坐标→根据 P 点的位置 建立 t 的关系式→求 t 的值→由 OA = PB 求 t→下 结论
栏目 导引

第二章

平面向量

[规范解答]

[名师批注]

由题可知 OA =(1,2), AB =(3,3), 由向量坐标与点的坐标之间的
OP = (1,2) + t(3,3) = (1 + 3t,2 + 关系可知,向量 OP 的坐标就是

3t).(2 分) (1)若 P 在 x 轴上, 2 则有 2+3t=0,t=- ; 3 (3 分)

P 点坐标.正确求解 OP 的坐标 是后续解题的关键.

点在 x 轴上,只需纵坐标为 0 即可.

栏目 导引

第二章

平面向量

[规范解答] 若P在y轴上,则有1+3t=0, 1 t=- ;?4分? 3
? ?1+3t<0, 若P在第二象限,则有? ? ?2+3t>0,

[名师批注]
点在 y 轴上, 只需横坐标 为 0 即可.
点在第二象限, 需横坐标 小于 0,纵坐标大于 0. 此处易搞混坐标符号而 导致解题错误.

2 1 解得- <t<- .?6分? 3 3 (2) PB = PO + OB =(-1-3t, -2-3t)+(4,5)=(3-3t,3-3t).(8 分)

栏目 导引

第二章

平面向量

[规范解答] 若四边形 OABP 是平行四边形,则有 OA =

[名师批注]
假设四边形 OABP 是平 行四边形,则 OA = PB .

PB ,(10 分)
? ?3-3t=1, 即? ? ?3-3t=2,

方程组显然无解.(11 分) 由 OA = PB 相等求 t,依
据 t 是否有解判断假设是 否成立即可. 此处易出现 找不到关于 t 的关系式而 造成无法求解的情况.

∴四边形 OABP 不可能是平行四边形. (12 分)

栏目 导引

第二章

平面向量

变式训练
4.已知向量u=(x,y)和向量v=(y,2y-x)的

对应关系用v=f(u)表示.
(1)若a=(1,1),b=(1,0),试求向量f(a)及

f(b)的坐标;
(2)求使f(c)=(4,5)的向量c的坐标.

栏目 导引

第二章

平面向量

解:(1)由 v=f(u)得,当 u=(x,y)时有 v=(y, 2y-x)=f(u) ∴f(a)=(1,2×1-1)=(1,1). f(b)=(0,2×0-1)=(0,-1). (2)设 c=(x,y),∴f(c)=(y,2y-x)=(4,5).
? ? ?y=4 ?x=3 ∴? 得? .即 c=(3,4). ?2y-x=5 ? ?y=4 ?

栏目 导引

第二章

平面向量

[活学活用] 如图,已知平行四边形的三个顶点坐标分别为 A(4,3),B(3,- 1),C(1,-2),求第四个顶点 D 的坐标.

栏目 导引

第二章

平面向量

解:设顶点 D(x,y). 若平行四边形四个顶点的顺序为 ABCD, 则 AB =(3-4,-1-3)=(-1,-4),
DC =(1-x,-2-y).
? ?-1=1-x, 由 AB = DC ,得? ? ?-4=-2-y, ? ?x=2, 解得? ? ?y=2.

故第四个顶点 D 的坐标为(2,2). 若平行四边形四个顶点的顺序为 ACBD,
栏目 导引

第二章

平面向量

则 AC =(1-4,-2-3)=(-3,-5),

DB =(3-x,-1-y).
? ?-3=3-x, 由 AC = DB ,得? ? ?-5=-1-y, ? ?x=6, 解得? ? ?y=4.

故第四个顶点 D 的坐标为(6,4). 若平行四边形四个顶点的顺序为 ABDC,

栏目 导引

第二章

平面向量

则 AB =(3-4,-1-3)=(-1,-4),
CD =(x-1,y+2).
? ?-1=x-1, 由 AB = CD ,得? ? ?-4=y+2, ? ?x=0, 解得? ? ?y=-6.

故第四个顶点 D 的坐标为(0,-6). 综上,第四个顶点 D 的坐标是(2,2)或(6,4)或(0,-6).

栏目 导引

第二章

平面向量

[随堂即时演练]

1.已知 AB =(-2,4),则下面说法正确的是( A.A 点的坐标是(-2,4) B.B 点的坐标是(-2,4) C.当 B 是原点时,A 点的坐标是(-2,4) D.当 A 是原点时,B 点的坐标是(-2,4)
解析:选 D

)

由任一向量的坐标的定义可知. 当 A 点是原

点时,B 点的坐标是(-2,4).

栏目 导引

第二章

平面向量

2.设平面向量a=(3,5),b=(-2,1),则a-2b=( A.(6,3) B.(7,3)

)

C.(2,1)
解析:选 B

D.(7,2)
∵a=(3,5),b=(-2,1),

∴a-2b=(3,5)-2(-2,1)=(3,5)-(-4,2)=(7,3).

栏目 导引

第二章

平面向量

3.若 A(2,-1),B(4,2),C(1,5),则 AB +2 BC =________.
解析:∵A(2,-1),B(4,2),C(1,5), ∴ AB =(2,3), BC =(-3,3). ∴ AB +2 BC =(2,3)+2(-3,3)=(2,3)+(-6,6)=(-4,9).

答案:(-4,9)

栏目 导引

第二章

平面向量

4.已知 a=(3,4),点 A(1,-3),若 AB =2a,则点 B 的坐标为 ________.
解析:设点 B 的坐标为(x,y), 则 AB =(x-1,y+3),2a=(6,8),
? ?x-1=6, 若 AB =2a,则? ? ?y+3=8, ? ?x=7, ∴? ? ?y=5.

答案:(7,5)

栏目 导引

第二章

平面向量

5.已知点 A(2,3),B(5,4),C(7,10),若 AP = AB +λ AC (λ∈R), 试求 λ 为何值时, (1)点 P 在第一、三象限角平分线上? (2)点 P 在第三象限内?

栏目 导引

第二章

平面向量

解:设点 P 的坐标为(x,y), 则 AP =(x,y)-(2,3)=(x-2,y-3),

AB +λ AC =(5-2,4-3)+λ[(7,10)-(2,3)]=(3+5λ,1+7λ).
∵ AP = AB +λ AC (λ∈R), ∴(x-2,y-3)=(3+5λ,1+7λ),
? ?x-2=3+5λ, ∴? ? ?y-3=1+7λ, ? ?x=5+5λ, ∴? ? ?y=4+7λ,

∴P(5+5λ,4+7λ).
栏目 导引

第二章

平面向量

(1)若点 P 在第一、三象限角平分线上, 1 则 5+5λ=4+7λ,故 λ= . 2 (2)若点 P
? ?5+5λ<0, 在第三象限内,则? ? ?4+7λ<0,

λ<-1, ? ? 解得? 4 λ<- , ? 7 ? 故 λ<-1,即只要 λ<-1,点 P 在第三象限内.

栏目 导引

第二章

平面向量

小结 平面向量的正交分解
平面向量的坐标表示 平面向量的坐标运算

栏目 导引


2-3-2、3平面向量的正交分解及坐标表示和平面向量的坐标运算

2-3-2.3 平面向量的正交分解及坐标表示平面向量的坐标运算 一、选择题 1.下列可作为正交分解的基底的是( →→ A.等边△ABC 中的AB和AC →→ B.锐角△...

2.3.2-2.3.3 平面向量的正交分解、坐标表示及坐标运算

2.3.2-2.3.3 平面向量的正交分解坐标表示及坐标运算_高一数学_数学_高中教育_教育专区。人教A版 必修四 随堂教案2.3.2~2.3.3 平面向量的正交分解、坐...

4546552-3-2、3 平面向量的正交分解及坐标表示 平面向量的坐标运算

4546552-3-23 平面向量的正交分解及坐标表示 平面向量的坐标运算_数学_高中教育...C.2,-3 [答案] D [解析] 利用相等向量的定义求解. ∵a=(1,2),b=(3...

2-3-2、3 平面向量的正交分解及坐标表示 平面向量的坐标运算

的位置也不确定. → 2.已知 M(2,3)、N(3,1),则NM的坐标是( A.(2,-1) C.(-2,1) [答案] B → [解析] NM=(2,3)-(3,1)=(-1,2).→ ...

2.3.2__平面向量的正交分解及坐标表示__2.3.3__平面向量的坐标运算(教案)

阳新实验中学 高一(9)班学案 必修 4 第二章 平面向量 2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 2.3.3 平面向量的坐标运算【教学目标】 1、知识与技能理解平面...

§2.3.2-2.3.3平面向量的正交分解及坐标表示 和坐标运算

§2.3.2-2.3.3 平面向量的正交分解及坐标表示坐标运算 一 学习目标 1 .理解平面向量的正交分解坐标表示 2 .理解掌握坐标运算 二 学习过程 1. 预习新...

§2.3.2---2.2.3平面向量正交分解及坐标表示、运算

§2.3.2---2.2.3平面向量正交分解及坐标表示、运算_数学_高中教育_教育专区。§2.3.2 平面向量正交分解及坐标表示 §2.3.3 平面向量的坐标运算一、学习...

2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示2.3.3平面向量的坐标运算(教、学案)

2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示2.3.3平面向量的坐标运算(教、学案)_数学_高中教育_教育专区。2. 3.2 平面向量的正交分解及坐标表示学习目标 1、 能将平...

2.3.2__平面向量的正交分解及坐标表示__2.3.3__平面向量的坐标运算(学案)

2.3.2__平面向量的正交分解及坐标表示__2.3.3__平面向量的坐标运算(学案)_数学_高中教育_教育专区。阳新实验中学 高一(9)班学案 必修 4 第二章 平面向量...