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高一数学必修1第一章集合与函数的概念单元测试题(含答案)


一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1.设集合 M={x|x2+2x=0,x∈R},N={x|x2-2x=0,x∈R},则 M∪N=( A.{0} B.{0,2} C.{-2,0} D.{-2,0,2} 解析 M={x|x(x+2)=0.,x∈R}={0,-2},N={x|x(x-2)=0,x∈

R}={0,2},所以 M∪ N={-2,0,2}. 答案 D 2.设 f:x→|x|是集合 A 到集合 B 的映射,若 A={-2,0,2},则 A∩B=( A.{0} B.{2} C.{0,2} D.{-2,0} 解析 依题意,得 B={0,2},∴A∩B={0,2}. 答案 C 3.f(x)是定义在 R 上的奇函数,f(-3)=2,则下列各点在函数 f(x)图象上的是( A.(3,-2) B.(3,2) C.(-3,-2) D.(2,-3) 解析 ∵f(x)是奇函数,∴f(-3)=-f(3). 又 f(-3)=2,∴f(3)=-2,∴点(3,-2)在函数 f(x)的图象上. 答案 A 4.已知集合 A={0,1,2},则集合 B={x-y|x∈A,y∈A}中元素的个数是( A.1 B.3 C.5 D.9 解析 逐个列举可得.x=0,y=0,1,2 时,x-y=0,-1,-2;x=1,y=0,1,2 时,x-y =1,0,-1;x=2,y=0,1,2 时,x-y=2,1,0.根据集合中元素的互异性可知集合 B 的元素 为-2,-1,0,1,2.共 5 个. 答案 C ) ) ) )

6.设 f(x)=x+3 A.16 B.18 C.21 D.24

?x>10?,f?x+5? ?x≤10?,则 f(5)的值为(

)

解析 f(5)=f(5+5)=f(10)=f(15)=15+3=18. 答案 B 7.设 T={(x,y)|ax+y-3=0},S={(x,y)|x-y-b=0},若 S∩T={(2,1)},则 a,b 的值 为( ) A.a=1,b=-1 B.a=-1,b=1

C.a=1,b=1 D.a=-1,b=-1 解析 依题意可得方程组 2a+1-3=0,2-1-b=0,?a=1,b=1. 答案 C 8.已知函数 f(x)的定义域为(-1,0),则函数 f(2x+1)的定义域为( A.(-1,1) B.-1,-12 C.(-1,0) D.12,1 解析 由-1<2x+1<0,解得-1<x<-12,故函数 f(2x+1)的定义域为-1,-12. 答案 B 9.已知 A={0,1},B={-1,0,1},f 是从 A 到 B 映射的对应关系,则满足 f(0)>f(1)的映射有 ( ) A.3 个 B.4 个 C.5 个 D.6 个 解析 当 f(0)=1 时,f(1)的值为 0 或-1 都能满足 f(0)>f(1);当 f(0)=0 时,只有 f(1)=-1 满足 f(0)>f(1);当 f(0)=-1 时,没有 f(1)的值满足 f(0)>f(1),故有 3 个. 答案 A 10.定义在 R 上的偶函数 f(x)满足:对任意的 x1,x2∈(-∞,0](x1≠x2),有(x2-x1)[f(x2) -f(x1)]>0,则当 n∈N*时,有( A.f(-n)<f(n-1)<f(n+1) B.f(n-1)<f(-n)<f(n+1) C.f(n+1)<f(-n)<f(n-1) D.f(n+1)<f(n-1)<f(-n) 解析 由题设知,f(x)在(-∞,0]上是增函数,又 f(x)为偶函数, ∴f(x)在[0,+∞)上为减函数. ∴f(n+1)<f(n)<f(n-1). 又 f(-n)=f(n), ∴f(n+1)<f(-n)<f(n-1). 答案 C 11.函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,下列说法: ①f(0)=0; ②若 f(x)在[0,+∞)上有最小值为-1,则 f(x)在(-∞,0]上有最大值为 1;③ 若 f(x)在[1, +∞)上为增函数, 则 f(x)在(-∞, -1]上为减函数; ④若 x>0 时, f(x)=x2-2x, 则 x<0 时,f(x)=-x2-2x.其中正确说法的个数是( A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 解析 ①f(0)=0 正确;②也正确;③不正确,奇函数在对称区间上具有相同的单调性;④ 正确. ) ) )

答案 C 12. f(x)满足对任意的实数 a, b 都有 f(a+b)=f(a)?f(b)且 f(1)=2, 则 f?2?f?1?+f?4?f?3?+f?6?f?5? +…+f?2014?f?2013?=( A.1006 B.2014 C.2012 D.1007 解析 因为对任意的实数 a, b 都有 f(a+b)=f(a)?f(b)且 f(1)=2, 由 f(2)=f(1)?f(1), 得 f?2?f?1? =f(1)=2, 由 f(4)=f(3)?f(1),得 f?4?f?3?=f(1)=2, …… 由 f(2014)=f(2013)?f(1), 得 f?2014?f?2013?=f(1)=2, ∴f?2?f?1?+f?4?f?3?+f?6?f?5?+…+f?2014?f?2013?=1007×2=2014. 答案 B 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中横线上) 13.函数 y=x+1x 的定义域为________. 解析 由 x+1≥1,x≠0 得函数的定义域为{x|x≥-1,且 x≠0}. 答案 {x|x≥-1,且 x≠0} 14.f(x)=x2+1 ?x≤0?,-2x ?x>0?,若 f(x)=10,则 x=________. 解析 当 x≤0 时,x2+1=10,∴x2=9,∴x=-3. 当 x>0 时,-2x=10,x=-5(不合题意,舍去). ∴x=-3. 答案 -3 15.若函数 f(x)=(x+a)(bx+2a)(常数 a,b∈R)是偶函数,且它的值域为(-∞,4],则该函 数的解析式 f(x)=________. 解析 f(x)=(x+a)(bx+2a)=bx2+(2a+ab)x+2a2 为偶函数,则 2a+ab=0,∴a=0,或 b=-2. 又 f(x)的值域为(-∞,4],∴a≠0,b=-2,∴2a2=4. ∴f(x)=-2x2+4. 答案 -2x2+4 16.在一定范围内,某种产品的购买量 y 吨与单价 x 元之间满足一次函数关系,如果购买 1000 吨,每吨为 800 元,购买 2000 吨,每吨为 700 元,那么客户购买 400 吨,单价应该 是________元. 解析 设一次函数 y=ax+b(a≠0),把 x=800,y=1000, 和 x=700,y=2000,代入求得 a=-10,b=9000. ∴y=-10x+9000,于是当 y=400 时,x=860. )

答案 860 三、 解答题(本大题共 6 小题, 共 70 分.解答应写出必要的文字说明、 证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 10 分)已知集合 A={x|2≤x≤8},B={x|1<x<6},C={x|x>a},U=R. (1)求 A∪B,(?UA)∩B; (2)若 A∩C≠?,求 a 的取值范围. 解 (1)A∪B={x|2≤x≤8}∪{x|1<x<6} ={x|1<x≤8}. ?UA={x|x<2,或 x>8}. ∴(?UA)∩B={x|1<x<2}. (2)∵A∩C≠?,∴a<8. 18.(本小题满分 12 分)设函数 f(x)=1+x21-x2. (1)求 f(x)的定义域; (2)判断 f(x)的奇偶性; (3)求证:f1x+f(x)=0. 解 (1)由解析式知,函数应满足 1-x2≠0,即 x≠±1. ∴函数 f(x)的定义域为{x∈R|x≠±1}. (2)由(1)知定义域关于原点对称, f(-x)=1+?-x?21-?-x?2=1+x21-x2=f(x). ∴f(x)为偶函数. (3)证明:∵f1x=1+1x21-1x2=x2+1x2-1, f(x)=1+x21-x2, ∴f1x+f(x)=x2+1x2-1+1+x21-x2 =x2+1x2-1-x2+1x2-1=0. 19.(本小题满分 12 分)已知 y=f(x)是定义在 R 上的偶函数,当 x≥0 时,f(x)=x2-2x. (1)求当 x<0 时,f(x)的解析式; (2)作出函数 f(x)的图象,并指出其单调区间. 解 (1)当 x<0 时,-x>0, ∴f(-x)=(-x)2-2(-x)=x2+2x. 又 f(x)是定义在 R 上的偶函数, ∴f(-x)=f(x). ∴当 x<0 时,f(x)=x2+2x. (2)由(1)知,f(x)=x2-2x ?x≥0?,x2+2x ?x<0?.

作出 f(x)的图象如图所示: 由图得函数 f(x)的递减区间是(-∞,-1],[0,1]. f(x)的递增区间是[-1,0],[1,+∞). 20.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=2x+1x+1, (1)判断函数在区间[1,+∞)上的单调性,并用定义证明你的结论. (2)求该函数在区间[1,4]上的最大值与最小值. 解 (1)函数 f(x)在[1,+∞)上是增函数.证明如下: 任取 x1,x2∈[1,+∞),且 x1<x2, f(x1)-f(x2)=2x1+1x1+1-2x2+1x2+1=x1-x2?x1+1??x2+1?, ∵x1-x2<0,(x1+1)(x2+1)>0, 所以 f(x1)-f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2), 所以函数 f(x)在[1,+∞)上是增函数. (2)由(1)知函数 f(x)在[1,4]上是增函数,最大值 f(4)=95,最小值 f(1)=32. 21.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)的定义域为(0,+∞),且 f(x)为增函数,f(x?y)=f(x)+ f(y). (1)求证:fxy=f(x)-f(y); (2)若 f(3)=1,且 f(a)>f(a-1)+2,求 a 的取值范围. 解 (1)证明:∵f(x)=fxy?y=fxy+f(y),(y≠0) ∴fxy=f(x)-f(y). (2)∵f(3)=1,∴f(9)=f(3?3)=f(3)+f(3)=2. ∴f(a)>f(a-1)+2=f(a-1)+f(9)=f[9(a-1)]. 又 f(x)在定义域(0,+∞)上为增函数, ∴a>0,a-1>0,a>9?a-1?,∴1<a<98. 22.(本小题满分 12 分)某商场经销一批进价为每件 30 元的商品,在市场试销中发现,此商 品的销售单价 x(元)与日销售量 y(件)之间有如下表所示的关系: x 30 40 45 50 y 60 30 15 0 (1)在所给的坐标图纸中,根据表中提供的数据,描出实数对(x,y)的对应点,并确定 y 与 x 的一个函数关系式. (2)设经营此商品的日销售利润为 P 元,根据上述关系,写出 P 关于 x 的函数关系式,并指 出销售单价 x 为多少元时,才能获得最大日销售利润? 解 (1)由题表作出(30,60),(40,30),(45,15),(50,0)的对应点,它们近似地分布在一条直 线上,如图所示.

设它们共线于直线 y=kx+b,则 50k+b=0,45k+b=15,?k=-3,b=150. ∴y=-3x+150(0≤x≤50,且 x∈N*),经检验(30,60),(40,30)也在此直线上. ∴所求函数解析式为 y=-3x+150(0≤x≤50,且 x∈N*). (2)依题意 P=y(x-30)=(-3x+150)(x-30)=-3(x-40)2+300. ∴当 x=40 时,P 有最大值 300,故销售单价为 40 元时,才能获得最大日销售利润.


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