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我的课件——等差数列前n项和(第1课时)


等差数列的前n项和
第1课时

德国古代著名数学家高斯 9 岁 的时候很快就解决了这个问题: 1 + 2 + 3 + … + 100= ?你知道高斯是 怎样算出来的吗?

赶快开动脑筋,想一想!

例 一个堆放铅笔的V形架,最下面第一 层放一支铅笔,往上每一层都比它下面多 放一支,就这样一层一层地往上放。最

上 面一层放100支。求这个V形架上共放着多 少支铅笔?

1? 2 ? 3 ?
先补

? 100 ? ?

怎么求呢?

想:探求三角形面积 后分

同理,在100层的V形架中,我们也可以用先补 后分的方法来求.

共有(100x101)/2=5050(支)

如果把100层改为n层,又怎么算呢?

n(n ? 1) 共有 支铅笔 2

1+2+3+ … +100 = ?
高斯的算法是: 首项与末项的和: 第2项与倒数第2项的和: 第3项与倒数第3项的和: …

1+100=101;
2+99=101; 3+98=101;

第50项与倒数第50项的和: 50+51=101;
于是所求的和是:101× =5050.

1+2+3+· · · +n=?
解:记 Sn= 1+2+3+· · · · · · +n-2+n-1+n 则有 Sn= n+n-1+n-2+· · · +3+2+1; 对应相加得 : 2Sn=(1+n)+(2+n-1)+(3+n-2)+ · · · +(n-1+2)+(n+1) =n(n+1) 倒序相 加法

( n n ? 1) 则Sn= . 2

思考:对于一般的等差数列,如何 求它的前n项和呢?

? an为数列?an ?的前n项和,用S n 表示,即 Sn ? a1 ? a2 ? a3 ? ??? ? an ?1 ? an .

一般地,我们称a1 ? a2 ? a3 ? ??? ? an ?1

由高斯算法的启发,对于公差为d的等差数列, 我们用两种方法表示Sn: Sn ? a1 ? (a1 ? d ) ? (a1 ? 2d ) ?
Sn ? an ? (an ? d ) ? (an ? 2d ) ?
n个

? [a1 ? (n ? 1)d ],
? [an ? (n ?1)d ]

2Sn ? (a1 ? an ) ? (a1 ? an ) ?

? (a1 ? an )

?( n a1 ? an ).
( n a1 ? an ) 则S n ? . 2

( n a1 ? an ) Sn ? 2
an ? a1 ? ( n ?1) d

类比梯形面积 公式记忆

( n n ? 1) d ????? ? Sn ? na1 ? 2 ( n n ? 1) a1 ? an ?( n ?1) d d ????? ? Sn ? nan ? 2

例2 已知一个等差数列的前10项和是310, 前20项的和是1220,由这些条件能确定这 个等差数列的前n项和的公式吗?

小结 1.等差数列前n项和Sn公式的推导.
2.等差数列前n项和Sn公式的记忆与应用.
n(a1 ? an ) S ? na ? n(n ? 1) d Sn ? , n 1 2 2

例3 已知数列?a ? 的前n项和为Sn ? n 2 ? 1 n n
2

,求这个数列的通项公式.这个数列是等差数
列吗?如果是,它的首项与公差分别是什么?

例 4 求集合M={m | m=7n, n ? N*,且m<100} 中元素的个数,并求这些元素的和.
100 2 解:由7n<100, 得 n ? , 即 n ? 14 . 7 7

因为 n ? N* ,

所以 n ? 14.

所以集合中的元素为:

7, 7 ? 2, 7 ? 3,

, 7 ? 14,

这个数列是等差数列, 记为 { an} ,a1=7, a14=98 .

14 ? (7 ? 98) 因此,S14 ? ? 735. 2


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