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几何证明选讲综合练习题[1]


几何证明选讲综合练习题
1.如图所示,已知在△ABC 中,∠C=90°,正方形 DEFC 内接于△ABC,DE∥AC,EF∥BC,AC=1,BC=2, 则 AF∶FC=( )

2.从不在⊙O 上的一点 A 作直线交⊙O 于 B、C, 且 AB·AC=64,OA=10,则⊙O 的半径等于( )

3.如图所示,AC 为⊙O 的直径

,BD⊥AC 于 P,PC=2, PA=8,则 CD 的长为( ) ,cos∠ACB=( )

4.如图所示,PA 与圆 O 相切于 A,PCB 为圆 O 的割线, 并且不过圆心 O,已知∠BPA=30°,PA= 2 3 , PC=1,则圆 O 的半径等于( )

5.如图所示,在△ABC 中,AD 是高线,CE 是 中线,DC=BE,DG⊥CE 于 G,EC 的长为 8, 则 EG=( )

6.如图所示,已知△ABC 中,AD 是 BC 边上的中线, E 是 AD 的中点,BE 的延长线交 AC 于点 F, 则 AF=( )AC

7.如图所示,在半圆 O 中,AB 为直径,CD⊥AB, AF 平分∠CAB 交 CD 于 E,交 CB 于 F,则图中相 似三角形一共有( )对

8.已知 PA 是圆 O 的切线,切点为 A,PA=2,AC 是圆 O 的直径, PC 与圆 O 交于点 B,PB=1,则圆 O 的半径 R=( )

9.如图所示,矩形 ABCD 中,AB=12,AD=10,将此矩形折叠使 点 B 落在 AD 边上的中点 E 处,则折痕 FG 的长为( 10.如图所示,锐角△ABC 内接于⊙O,∠ABC=60°, ∠BAC=36°,作 OE⊥AB 交劣弧 点 E,连结 EC,则∠OEC=( 于 ) )

11.已知:以梯形 ABCD 的对角线 AC 及腰 AD 为邻边作平行四边形 ACED,连接 EB,DC 的延长线 交 BE 于 F.求证:EF=BF.

12.已知: 在△ABC 中, 是 BC 的中点, 是 BA 延长线上的点, 与 AC 交于点 E.求证: FB=EC· D F FD AE· FA.

13.已知:在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,CD⊥AB 于 D,DE⊥AC 于 E,DF⊥BC 于 F.求证:

AE ? BF ? AB ? CD 3 .

14.在△ABC 中, 为 BC 边上的中线, 为 AB 上任意一点, 交 AD 于点 E.求证: BF=2DE· AD F CF AE· AF.

15.已知:从 Rt△ABC 的两直角边 AB,AC 向外作正方形 ABFG 及 ACDE,CF,BD 分别交 AB,AC 于 P,Q.求证:AP=AQ.

16.已知:在△ABC 中,AB=AC,O 是△ABC 的外心,延长 CA 到 P,再延长 AB 到 Q,使 AP=BQ.求 证:O,A,P,Q 四点共圆.

17.圆 O 是△ABC 的外接圆,过点 C 的切线交 AB 的延长线于点 D,CD= 2 7 ,AB=BC=3.求 BD 以 及 AC 的长.

18.△ABC 是⊙O 的内接三角形,且 AB=AC,AP 是∠BAC 的外角的平分线,弦 CE 的延长线交 AP 于点 D.求证: AD ? DE ? DC .
2

19.圆 O 的两弦 AB 和 CD 交于点 E,EF∥CB, EF 交 AD 的延长线于点 F,FG 切圆 O 于点 G. (1)求证:△DFE∽△EFA; (2)如果 EF=1,求 FG 的长.

20.已知 D 为△ABC 的 BC 边上一点,⊙O1 经过点 B,D,交 AB 于另一点 E,⊙O2 经过点 C,D, 交 AC 于另一点 F,⊙O1 与⊙O2 交于点 G. (1)求证:∠EAG=∠EFG; (2)若⊙O2 的半径为 5,圆心 O2 到直线 AC 的距离为 3, AC=10,AG 切⊙O2 于 G,求线段 AG 的长.

AC AD BC = BD . 21.从⊙O 外一点 P 引圆的两条切线 PA,PB 及一条割线 PCD,A,B 为切点.求证:

22.已知:△ABC 内接于⊙O,过点 A 的切线交 BC 的延长线于点 P,D 为 AB 的中点,DP 交 AC 于
PA 2
AM MC

M.求证: PC =

2

.

几何证明选讲综合练习题答案
1. 6.
1 2 1 3

2. 2 41 或 6 7.5

3. 2 5 8.
3

5 5

4. 7
65 9. 6

5. 4 10. 12°

11. 证明 连接 AE 交 DC 于 O.∵四边形 ACED 为平行四边形, ∴O 是 AE 的中点(平行四边形对角线互相平分). ∵四边形 ABCD 是梯形,∴DC∥AB. 在△EAB 中,OF∥AB,O 是 AE 的中点, ∴F 是 EB 的中点,即 EF=BF. 12. 证明 过 A 作 AG∥BC,交 DF 于 G 点. ∵AG∥BD,∴
FA FB

AG = BD . AG DC . =

又∵BD=DC,∴

FA FB

AG AE DC = EC . ∵AG∥CD,∴



FA FB

AE EC .∴AE·FB=EC·FA. =

13. 证明 ∵∠ACB=90°,CD⊥AB,∴CD2=AD·BD,故 CD4=AD2·BD2. 又∵Rt△ADC 中,DE⊥AC,Rt△BDC 中,DF⊥BC, ∴AD2=AE·AC,BD2=BF·BC.∴CD4=AE·BF·AC·BC. 又∵AC·BC=AB·CD,∴CD4=AE·BF·AB·CD,即 AE·BF·AB=CD3. 14. 证明 过点 D 作 AB 的平行线 DM 交 AC 于点 M,交 FC 于点 N. 在△BCF 中,D 是 BC 的中点, DN∥BF,∴DN= BF. ∵DN∥AF,∴△AFE∽△DNE,
AE DE ∴ AF = DN .
1 2

又 DN=

1 2

AE 2 DE AF = BF , BF,∴

即 AE·BF=2DE·AF.

15. 证明 ∵∠BAC+∠BAG=90°+90°=180°, ∴C,A,G 三点共线.同理 B,A,E 三点共线.
AQ BA AP CA GF = CG , ED = BE , ∵AB∥GF,AC∥ED,∴ CA? GF BA? ED CG ,AQ= BE . 即 AP=

又∵CA=ED=AE,GF=BA=AG, ∴CG=CA+AG=AE+BA=BE. ∴AP=AQ. 16. 证明 连接 OA,OC,OP,OQ. ∵O 是△ABC 的外心,∴OA=OC. ∴∠OCP=∠OAC. 由于等腰三角形的外心在顶角的平分线上, ∴∠OAC=∠OAQ, 从而∠OCP=∠OAQ, 在△OCP 和△OAQ 中, 由已知 CA=AB,AP=BQ, ∴CP=AQ.又 OC=OA, ∠OCP=∠OAQ, ∴△OCP≌△OAQ, ∴∠CPO=∠AQO, ∴O,A,P,Q 四点共圆. 17. 解 由切割线定理得:DB·DA=DC2, 即 DB(DB+BA)=DC2, DB2+3DB-28=0,得 DB=4. ∵∠A=∠BCD,∴△DBC∽△DCA,
BC DB BC ? DC 3 7 CA = DC ,得 AC= DB = 2 . ∴

18. 证明 连接 AE,则∠AED=∠B. ∵AB=AC,∴∠B=∠ACB.

∵∠QAC=∠B+∠ACB, 又∠QAP=∠PAC, ∴∠DAC=∠B=∠AED. 又∠ADE=∠CDA, ∴△ACD∽△EAD,
CD AD

从而 AD = DE , 即 AD2=DE·DC. 19. (1)证明 ∵EF∥CB, ∴∠DEF=∠DCB. ∵∠DCB=∠DAB, ∴∠DEF=∠DAB. ∵∠DFE=∠EFA, ∴△DFE∽△EFA. (2)解 ∵△DFE∽△EFA,
EF FD ∴ FA = EF .∴EF2=FA·FD.

∵FG 切圆于 G,∴FG2=FA·FD. ∴EF2=FG2.∴EF=FG.∵EF=1,∴FG=1. 20.(1)证明 连接 GD, 因为四边形 BDGE,CDGF 分别内接于⊙O1,⊙O2, ∴∠AEG=∠BDG,∠AFG=∠CDG, 又∠BDG+∠CDG=180°, ∴∠AEG+∠AFG=180°. 即 A,E,G,F 四点共圆, ∴∠EAG=∠EFG. (2)解 因为⊙O2 的半径为 5,圆心 O2 到直线 AC 的距离为 3,
2 2 所以由垂径定理知 FC=2 5 ? 3 =8,又 AC=10,

∴AF=2,∵AG 切⊙O2 于 G,∴AG2=AF·AC=2×10=20,AG=2 5 .

21.证明 ∵PA 为⊙O 的切线, ∴∠PAC=∠PDA,而∠APC=∠DPA, ∴△PAC∽△PDA,
AC PA BC PB AD = PD .同理 BD = PD . 则 AC BC AC AD AD = BD .∴ BC = BD . ∵PA=PB,∴

22.证明 如图所示,过点 B 作 BN∥CM,交 PD 的延长线于点 N, 则∠N=∠AMD,∠NBD=∠DAM. 又 AD=DB,∴△BND≌△AMD.∴BN=AM.
BN CM ∵CM∥BN,∴

=

BP CP

.

BP AM PC = MC . ∴

由切割线定理,得 PA2=PC·PB.
PA 2
2

PC ? PB
2

∴ PC = PC

PA 2 AM BP PC ,故 PC 2 = MC . =


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