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北京2013届高三数学 最新试题分类汇编(含9区一模及上学期期末试题精选)专题9圆锥曲线 文


【精品推荐】北京 2013 届高三最新文科试题分类汇编(含 9 区一模及上学期 期末试题精选)专题 9:圆锥曲线
一、选择题 1 . (2013 届北京东城区一模数学文科) 已知点 A(2,1) ,抛物线 y ? 4 x 的焦点是 F ,若抛物线上存在一点 P ,
2

使得 PA ? PF 最小,则 P 点的坐标为 A. (2,1) B.

(1,1) C. ( ,1)





1 2

D. ( ,1)

1 4

2 . (2013 届北京丰台区一模文科) 已知椭圆 的离心率是 A.

x2 y 2 ? ? 1的一个焦点与抛物线 y 2 ? 8 x 的焦点重合,则该椭圆 a2 2
( )

3 2

B.

2 3 3

C.

2 2

D.

6 3

2 3 . (2013 届北京海滨一模文) 抛物线 y ? 4 x 的焦点为 F ,点 P 为抛物线上的动点,点 M 为其准线上的动点,

当 ?FPM 为等边三角形时,其面积为 A. 2 3 B.4 C.6 D. 4 3





4 . (2013 届北京门头沟区一模文科数学)点 P 是以 F1,F2 为焦点的椭圆上的一点,过焦点 F2 作 ?F1 PF2 的外 角平分线的垂线,垂足为 M 点,则点 M 的轨迹是 A.抛物线 y
Q P M

( D.圆



B.椭圆

C.双曲线

F1

O

F2

x

5 . (2013 届北京大兴区一模文科)抛物线 y = x (- 2 ≤ x ≤ 2) 绕 y 轴旋转一周形成一个如图所示的旋转 体,在此旋转体内水平放入一个正方体,使正方体的一个面恰好与旋转体的开口面平齐,则此正方体的棱 长是 A.1 B.2 C. 2 2
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2

( D. 4



1

6 . (北京市东城区 2013 届高三上学期期末考试数学文科试题)已知抛物线 y ? 2 px 的焦点 F 到其准线的
2

距离是 8 ,抛物线的准线与 x 轴的交点为 K ,点 A 在抛物线上且 | AK |?

2 | AF | ,则 ?AFK 的面积为
( )

A.32

B.16

C.8

D.4

7 . (北京市海淀区 2013 届高三上学期期末考试数学文试题)点 P 是抛物线 y 2 ? 4 x 上一点, P 到该抛物线 焦点的距离为 4 ,则点 P 的横坐标为 A.2 B.3 ( C.4 D.5 )

8 . (北京市通州区 2013 届高三上学期期末考试数学文试题)已知直线 l1 : 4 x ? 3 y ? 6 ? 0 和直线 l2 : x ? ?1 , 抛物线 y ? 4 x 上一动点 P 到直线 l1 和直线 l 2 的距离之和的最小值是
2





A.

3 5 5

B. 2

C.

11 5

D. 3

二、填空题 9 . (2013 届北京大兴区一模文科)已知中心在原点,焦点在 x 轴上的双曲线的离心率为 曲线的方程是_________ 10. (2013 届北京西城区一模文科) 抛物线 y ? 2 x 的准线方程是______;该抛物线的焦点为 F ,点 M ( x0 , y0 )
2

3 ,实轴长为 4,则双 2

在此抛物线上,且 MF ?

5 ,则 x0 ? ______. 2
2

11. (北京市东城区普通高中示范校 2013 届高三 3 月联考综合练习(二)数学(文)试题)若抛物线 y ? 2 x 上的一点 M 到坐标原点 O 的距离为 3 ,则点 M 到该抛物线焦点的距离为_______________。

12. (北京市昌平区 2013 届高三上学期期末考试数学文试题)以双曲线 渐近线相切的圆的标准方程是 _

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点为圆心,并与其 9 16

13. (北京市昌平区 2013 届高三上学期期末考试数学文试题)过椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 上一点 M 作直 a 2 b2
2

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线 MA, MB 交 椭 圆 于 A, B 两 点 , 设 MA, MB 的 斜 率 分 别 为 k1 , k 2 , 若 点 A, B 关 于 原 点 对 称 , 且

1 k1 ? k2 ? ? , 则此椭圆的离心率为___________. 3
14( .北京市朝阳区 2013 届高三上学期期末考试数学文试题) 已知双曲线中心在原点, 一个焦点为 F1 ( ? 5 ,0) , 点 P 在双曲线上,且线段 PF1 的中点坐标为( 0 , 2 ) ,则此双曲线的方程是 ,离心率是 .

x2 y2 15. (北京市海淀区 2013 届高三上学期期末考试数学文试题)双曲线 ? ? 1 的渐近线方程为_____;离 3 3
心率为______. 16. (北京市西城区 2013 届高三上学期期末考试数学文科试题)双曲线 离心率为______. 三、解答题 17. (2013 届北京市延庆县一模数学文)在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C 的中心为原点,焦点 F1 , F2 在 x 轴 上,离心率为

x2 y 2 ? ? 1 的渐近线方程为______; 36 45

1 .过 F1 的直线交椭圆 C 于 A, B 两点,且 ?ABF2 的周长为 8 .过定点 M (0,3) 的直线 l1 与椭 2

圆 C 交于 G , H 两点(点 G 在点 M , H 之间). (Ⅰ) 求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设直线 l1 的斜率 k ? 0 ,在 x 轴上是否存在点 P (m,0) ,使得以 PG 、PH 为邻边的平行四边形为菱形. 如果存在,求出 m 的取值范围;如果不存在,请说明理由.

18. (2013 届北京东城区一模数学文科)已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的两个焦点分别为 F1 , F2 ,离 a 2 b2

心率为

2 ,且过点 (2, 2) . 2

(Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ) M , N , P , Q 是椭圆 C 上的四个不同的点 , 两条都不和 x 轴垂直的直线 MN 和 PQ 分别过点

F1 , F2 ,且这两条直线互相垂直,求证:

1 1 ? 为定值. | MN | | PQ |

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3

19. (2013 届北京丰台区一模文科) 已知椭圆 C: 直线 l 过点 F 且交椭圆 C 于 A、B 两点. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程;

x2 y 2 ? ? 1( a ? b ? 0 )的右焦点为 F(2,0),且过点 P(2, 2 ). a 2 b2

(Ⅱ)若线段 AB 的垂直平分线与 x 轴的交点为 M(

1 , 0 ),求直线 l 的方程. 2

20. (2013 届北京海滨一模文)已知圆 M : ( x ? 2)2 ? y 2 ? 圆 M 的圆心,离心率为 (I)求椭圆 C 的方程;

x2 y2 7 ,若椭圆 C : 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 )的右顶点为 a b 3

2 . 2

(II)已知直线 l : y ? kx ,若直线 l 与椭圆 C 分别交于 A , B 两点,与圆 M 分别交于 G , H 两点(其中点 G 在线段 AB 上),且 AG ? BH ,求 k 的值.

21. (2013 届北京门头沟区一模文科数学)已知椭圆与双曲线 x ? y ? 1 有相同的焦点,且离心率为
2 2

2 . 2

(I)求椭圆的标准方程; (II)过点 P(0,1)的直线与该椭圆交于 A、B 两点,O 为坐标原点,若 AP ? 2PB ,求 ?AOB 的面积.

1 22. (2013 届北京大兴区一模文科)已知动点 P 到点 A(-2,0)与点 B(2,0)的斜率之积为 ? ,点 P 的轨迹为曲 4
线 C. (Ⅰ)求曲线 C 的方程; (Ⅱ)若点 Q 为曲线 C 上的一点,直线 AQ,BQ 与直线 x=4 分别交于 M、N 两点,直线 BM 与椭圆的交点为 D. 求线段 MN 长度的最小值.

23. (2013 届北京西城区一模文科) 如图,已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1的左焦点为 F ,过点 F 的直线交椭圆于 A, B 两 4 3

点,线段 AB 的中点为 G , AB 的中垂线与 x 轴和 y 轴分别交于 D, E 两点.

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4

(Ⅰ)若点 G 的横坐标为 ?

1 ,求直线 AB 的斜率; 4

(Ⅱ)记△ GFD 的面积为 S1 ,△ OED ( O 为原点)的面积为 S 2 .试问:是否存在直线 AB ,使得 S1 ? S2 ?说 明理由.

24. (2013 届房山区一模文科数学) 已知椭圆 C : 两点,连结 PB 交椭圆 C 于另一点 E . (Ⅰ)求椭圆 C 的焦点坐标和离心率; (Ⅱ)证明直线 AE 与 x 轴相交于定点.

x2 y 2 ? ? 1 和点 P(4,0) ,垂直于 x 轴的直线与椭圆 C 交于 A,B 4 3

25. (北京市东城区普通高中示范校 2013 届高三 3 月联考综合练习(二)数学(文)试题)已知椭圆 C 的中 心在原点,焦点在 x 轴上,一个顶点为 B(0,?1) ,且其右 焦点到直线 x ? y ? 2 2 ? 0 的距离等于 3. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)是否存在经过点 Q (0, ) , 斜率为 k 的直线 l , 使得直线 l 与椭圆 C 交于两个不同的点 M , N , 并且

3 2

BM ? BN ?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,请说明理由.

26. (北京市石景山区 2013 届高三上学期期末考试数学文试题)已知椭圆的中心在原点,焦点在 x 轴上,离 心率为

3 ,长轴长为 4 5 ,直线 l:y =x +m 交椭圆于不同的两点 A 、B . 2

(Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)求 m 的取值范围;

、MB 的斜率互为相反数. (Ⅲ)若直线 l 不经过椭圆上的点 M (4,1) ,求证:直线 MA

27. (北京市昌平区 2013 届高三上学期期末考试数学文试题)已知椭圆 M :
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x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) ,其短轴 a 2 b2
5

的一个端点到右焦点的距离为 2 ,且点 A ( 2,1) 在椭圆 M 上. 直线 l 的斜率为

2 ,且与椭圆 M 交于 2

B 、 C 两点.
(Ⅰ)求椭圆 M 的方程; (Ⅱ)求 ?ABC 面积的最大值.

28 . (北京市朝阳区 2013 届高三上学期期末考试数学文试题) 已知直线 l : x ? my ? 1(m ? R) 与椭圆

C:

x2 y 2 8 ? ? 1? t ? 0 ? 相交于 E , F 两点,与 x 轴相交于点 B ,且当 m ? 0 时, EF ? . 9 t 3

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设点 A 的坐标为 (?3,0) ,直线 AE , AF 与直线 x ? 3 分别交于 M , N 两点. 试判断以 MN 为直径的圆是否经过点 B ?并请说明理由. 29. (北京市东城区 2013 届高三上学期期末考试数学文科试题)已知椭圆 C 的中心在坐标原点,焦点在 x 轴 上且过点 P( 3, ) ,离心率是 (Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)直线 l 过点 E (?1,0) 且与椭圆 C 交于 A , B 两点,若 EA ? 2 EB ,求直线 l 的方程.

1 2

3 . 2

30. (北京市丰台区 2013 届高三上学期期末考试数学文试题) (本题共 13 分)曲线 C1 , C2 都是以原点 O 为对 称中心、离心率相等的椭圆 . 点 M 的坐标是( 0,1 ) , 线段 MN 是 C1 的短轴,是 C2 的长轴 . 直线 ,与 C2 交于 B,C 两点(B 在 C 的左侧) . l : y ? m(0 ? m ? 1) 与 C1 交于 A,D 两点(A 在 D 的左侧)

(Ⅰ)当 m=

3 5 , AC ? 时,求椭圆 C1 , C2 的方程; 2 4

(Ⅱ)若 OC ? AN ,求 m 的值.

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6

x2 y2 31. (北京市海淀区 2013 届高三上学期期末考试数学文试题)已知椭圆 M : 2 ? ? 1(a ? 0) 的一个焦点为 a 3
F ( ?1,0) ,左右顶点分别为 A , B .经过点 F 的直线 l 与椭圆 M 交于 C , D 两点.
(Ⅰ)求椭圆方程; (Ⅱ)当直线 l 的倾斜角为 45? 时,求线段 CD 的长; (Ⅲ)记 ?ABD 与 ?ABC 的面积分别为 S1 和 S 2 ,求 | S1 ? S2 | 的最大值.

32. (北京市通州区 2013 届高三上学期期末考试数学文试题)已知椭圆的中心在原点 O ,短半轴的端点到其 右焦点 F ? 2, 0 ? 的距离为 10 ,过焦点 F 作直线 l ,交椭圆于 A, B 两点. (Ⅰ)求这个椭圆的标准方程; (Ⅱ)若椭圆上有一点 C ,使四边形 AOBC 恰好为平行四边形,求直线 l 的斜率.

33. (北京市西城区 2013 届高三上学期期末考试数学文科试题) 如图, A ,B 是椭圆 的两个顶点. | AB | ? (Ⅰ)求椭圆的方程;

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) a 2 b2

1 5 ,直线 AB 的斜率为 ? . 2

(Ⅱ)设直线 l 平行于 AB ,与 x, y 轴分别交于点 M , N ,与椭圆相交于 C , D .证明:△ OCM 的面积 等于△ ODN 的面积.

34. (北京市房山区 2013 届高三上学期期末考试数学文科试题(解析版) ) (本小题满分 14 分)已知椭圆

C:

x2 y 2 + =1 (a>b>0) 的左、右焦点分别为 F1 (?4, 0) , F2 (4, 0) ,线段 OF1 , OF2 ( O 为坐标原点)的中 a 2 b2

点分别为 B1 , B2 ,上顶点为 A ,且 ?AOB1 为等腰直角三角形. (Ⅰ) 求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ) 过 B1 点作直线交椭圆于 P, Q 两点,使 PB2 ? QB2 ,求直线的方程.

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7

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8

【精品推荐】北京 2013 届高三最新文科试题分类汇编(含 9 区一模及上学期期末试题精选)专题 9:圆 锥曲线参考答案 一、选择题 1. D 2. D 3. D 共 30 分) 4. D 5. B 6. 【答案】A 解:由题意知 p ? 8 ,所以抛物线方程为 y ? 16 x ,焦点 F (4,0) ,准线方程 x ? ?4 ,即 K (?4, 0) ,设
2

A(

y2 , y) , 16

过 A 做 AM 垂直于准线于 M, 由抛物线的定义可知

AM ? AF , 所 以 AK ? 2 AF ? 2 AM , 即 AM ? MK , 所 以

y2 ? (? 4 ) ? y ,整理得 16

y 2 ? 16 y ? 64 ? 0 ,即 ( y ? 8) 2 ? 0 ,所以 y ? 8 ,所以 S?AFK ?
7. 【答案】B

1 1 KF y ? ? 8 ? 8 ? 32 ,选 A. 2 2

解: 抛物线的准线为 x ? ?1 , 根据抛物线的对应可知,P 到该抛物线焦点的距离等于 P 到该准线的距离, 即 x ? (?1) ? 4 ,所以 x ? 3 ,即点 P 的横坐标为 3,选 B. 8. 【答案】B 解:因为抛物线的方程为 y 2 ? 4 x ,所以焦点坐标 F (1,0) ,准线方程为 x ? ?1 。所以设 P 到准线的距离 为 PB ,则 PB ? PF 。 P 到直线 l : 4 x ? 3 y ? 6 ? 0 的距离为 PA , 1 所以 PA ? PB ?

P? A

中 FD 为 焦 点 到 直 线 4 x ? 3 P?F , 其 FD y? 6 ?

的 0 距离,所以

FD ?

4?0?6 3 ?4
2 2

?

10 ? 2 ,所以距离之和最小值是 2,选 B. 5

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9

二、填空题 9.

x2 y 2 ? ?1 4 5

10. x ? ? 11.

1 ,2; 2

3 2
2 2

12. 【答案】 ( x ? 5) ? y ? 16 解:双曲线的渐近线为 y ? ?

4 4 x ,不妨取 y ? x ,即 4 x ? 3 y ? 0 。双曲线的右焦点为 (5, 0) ,圆心到 3 3
4?5 32 ? 42 ? 4 ,即圆的半径为 4,所以所求圆的标准方程为

直 线 4 x ? 3y ? 0的 距 离 为 d ?

( x ? 5) 2 ? y 2 ? 16 。
13. 【答案】

6 3






M(

x,

y 1)

,A 1 ? ( x?

,1y , ) B 则, 1

x(? k1

y ? y1 y ? y1 y , , k2 ? ) x ? x1 x ? x1







k1k2 ?

y ? y1 y ? y1 y 2 ? y12 1 ? ? 2 ?? 2 x ? x1 x ? x1 x ? x1 3

, 又

x12 y12 x2 y 2 ? ? 1, ? ?1 , 两 式 相 减 得 a 2 b2 a 2 b2

y 2 ? y12 b2 1 x 2 ? x12 y 2 ? y12 ? ? ? ? , 所 以 a 2 ? 3b2 , 即 a 2 ? 3 (a 2 ? c 2 ), 整 理 得 ? ? 0 , 即 2 2 2 2 2 x ? x1 a 3 a b

3c2 ? 2a 2 ,即 e2 ?

2 6 2 ? ,所以离心率 e ? 。 3 3 3

14. 【答案】 x ?
2

y2 ? 1, 5 4

解:由双曲线的焦点可知 c ? 5 ,线段 PF1 的中点坐标为 (0, 2) ,所以设右焦点为 F2 ,则有 PF2 ? x ,
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且 PF2 ? 4 , 点

P

在 双 曲 线 右 支 上 。 所 以 PF1 ?

(2 5) 2 ? 4 2 ? 36 ? 6 , 所 以

PF1 ? PF2 ? 6 ? 4 ? 2 ? 2a ,所以 a ? 1, b2 ? c2 ? a 2 ? 4 ,所以双曲线的方程为 x 2 ?

y2 ? 1 ,离心率 4

e?

c ? 5 、. a
2

15. 【答案】 y ? ? x;

2 解:由双曲线的方程可知双曲线的焦点在 x 轴, a 2 ? b2 ? 3 ,所以 a ? b ? 3, c ? 6 ,即 c ? 6 ,所

以双曲线的渐近线为 y ? ?

c 6 b ? 2。 x ? ? x ,离心率 e ? ? a a 3

16. 【答案】 y ? ?

5 3 x, ; 2 2
2 2

解:由双曲线的标准方程可知, a ? 36, b ? 45 ,所以 c ? 81, c ? 9 , a ? 6, b ? 3 5 。所以双曲线的
2

渐近线方程为 y ? ? 三、解答题 17.

c 9 3 b 3 5 5 x?? x?? x ,离心率 e ? ? ? 。 a 6 2 a 6 2

解:(Ⅰ)设椭圆的方程为

x2 y2 c 1 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ,离心率 e ? ? , 2 a 2 a b

?ABF2 的周长为 | AF1 | ? | AF2 | ? | AF1 | ? | AF2 |? 4a ? 8 ,
解得 a ? 2, c ? 1 ,则 b 2 ? a 2 ? c 2 ? 3 ,

所以椭圆的方程为

x2 y2 ? ?1 4 3

(Ⅱ)直线 l1 的方程为 y ? kx ? 3(k ? 0) ,

? x2 y2 ?1 ? ? 2 2 由? 4 ,消去 y 并整理得 (3 ? 4k ) x ? 24kx ? 24 ? 0 (*) 3 ? y ? kx ? 3 ?

? ? (24k ) 2 ? 4 ? 24 ? (3 ? 4k 2 ) ? 0 ,解得 k ?

6 , 2

设椭圆的弦 GH 的中点为 N ( x0 , y 0 ) ,则“在 x 轴上是否存在点 P (m,0) ,使得以 PG 、PH 为邻边的平行 四边形为菱形.”等价于“在 x 轴上是否存在点 P (m,0) ,使得 PN ? l1 ”
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24k , 3 ? 4k 2 x ? x2 12k 9 所以 x0 ? 1 , ? y 0 ? kx0 ? 3 ? ? ?? 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2
设 G ( x1 , y1 ) , H ( x2 , y 2 ) ,由韦达定理得, x1 ? x2 ? ?

? N (?

9 12k 9 , , ) , k PN ? ? 2 2 3 ? 4k 3 ? 4k 12k ? m(3 ? 4k 2 ) 9 3k 6 ? k ? ?1 ,解得 m ? ? (k ? ) 2 2 2 3 ? 4k 12k ? m(3 ? 4k )
3(2k ? 3 )(2k ? 3 ) 3( 6 ? 3 )(2k ? 3 ) ? ? 0 ,所以, (3 ? 4k 2 ) 2 (3 ? 4k 2 ) 2
3k 6 6 6 6 , (k ? ) 在定义域 ( ,??) 单调递增, m( ) ? ? 2 2 2 2 6 3 ? 4k 6 ,??) 6

所以, ?

m?(k ) ?

函数 m ? ?

所以满足条件的点 P (m,0) 存在, m 的取值范围为 (? 18. (共 13 分) (Ⅰ)解:由已知 e ?

c 2 ? , a 2

所以

b2 a 2 ? c 2 1 ? ? 1 ? e2 ? . 2 2 a a 2
2 2

所以 a ? 2b . 所以 C :

x2 y 2 ? 2 ? 1 ,即 x 2 ? 2 y 2 ? 2b 2 . 2 2b b

因为椭圆 C 过点 (2, 2) , 得 b ? 4 , a ? 8.
2

2

x2 y2 ? ? 1. 所以椭圆 C 的方程为 8 4
(Ⅱ)证明:由(Ⅰ)知椭圆 C 的焦点坐标为 F1 (?2, 0) , F2 (2, 0) . 根据题意, 可设直线 MN 的方程为 y ? k ( x ? 2) , 由于直线 MN 与直线 PQ 互相垂直,则直线 PQ 的方程为 y ? ? 设 M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y2 ) .
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1 ( x ? 2) . k

? y ? k ( x ? 2), ? 由方程组 ? x 2 y 2 消y得 ?1 ? ? 4 ?8
(2k 2 ? 1) x 2 ? 8k 2 x ? 8k 2 ? 8 ? 0 .

?8k 2 8k 2 ? 8 则 x1 ? x2 ? . , x1 x2 ? 2 2k 2 ? 1 2k ? 1
所以 MN ? 1 ? k ? ( x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2 =
2 2

4 2(1 ? k 2 ) . 2k 2 ? 1

同理可得 PQ ?

4 2(1 ? k 2 ) . k2 ? 2

所以

3k 2 ? 3 3 2 2k 2 ? 1 k2 ? 2 1 1 ? ? ? ? . ? 8 | MN | | PQ | 4 2(1 ? k 2 ) 4 2(1 ? k 2 ) 4 2(1 ? k 2 )

19.已知椭圆 C:

x2 y 2 ? ? 1( a ? b ? 0 )的右焦点为 F(2,0),且过点(2, 2 ).直线 l 过点 F 且交椭圆 C 于 A、 a 2 b2

两点. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)若线段 AB 的垂直平分线与 x 轴的交点为 M(

1 , 0 ),求直线 l 的方程. 2

x2 y 2 解:(Ⅰ)设椭圆 C 的方程为 2 ? 2 ? 1 ,则 a b
?a 2 ? b 2 ? 4 x2 y2 ? 2 2 ,解得 a ? 8 , b ? 4 ,所以椭圆 C 的方程为 ? ? 1, ?4 2 8 4 ? 2 ? 2 ?1 ?a b
(Ⅱ)当斜率不存在时,不符合题意, 当斜率存在时设直线 l 的方程为 y=k(x-2),A(x1,y1)、B(x2,y2),AB 的中点为 N(x0,y0),

? x2 y 2 ?1 ? ? 2 2 2 2 由? 8 得 (1 ? 2k ) x ? 8k x ? 8k ? 8 ? 0 , 4 ? y ? k ( x ? 2) ?
因为 ? ? 64k ? 4(1 ? 2k )(8k ? 8) ? 32(k ? 1) ? 0 ,
4 2 2 2

所以 x1 ? x2 ?

8k 2 , 1 ? 2k 2

所以 x0 ?

x1 ? x2 4k 2 ?2k ? , y0 ? k ( x0 ? 2) ? , 2 2 1 ? 2k 1 ? 2k 2
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因为线段 AB 的垂直平分线过点 M(

1 , 0 ), 2
2k 2 4k 2 1 ? ? ? , 2 2 1 ? 2k 1 ? 2k 2

所以 kMN ? k ? ?1 ,即

y0 x0 ? 1 2

? k ? ?1,所以 ?

解得, k ? ?

2 , 2

所以直线 l 的方程为 x ? 2 y ? 2 ? 0 或 x ? 2 y ? 2 ? 0

20.解:(I)设椭圆的焦距为 2c ,

c 2 ? 2 ,所以 c ? 1 因为 a ? 2 , a
所以 b ? 1

x2 ? y2 ? 1 C 2 所以椭圆 :
(II)设 A (

x1 y1
,

), B (

x2 y2
,

)

? y ? kx ? 2 x ? 2 y2 ? 2 ? 0 l C 由直线 与椭圆 交于两点 A , B ,则 ?
所以 (1 ? 2k ) x ? 2 ? 0 ,
2 2

2 x1 ? x2 ? 0 x1 x2 ? ? 1 ? 2k 2 则 ,

AB ? (1 ? k 2 )
所以

8 8(1 ? k 2 ) ? 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2
d? 2k 1? k2

点 M ( 2,0 )到直线 l 的距离

GH ? 2


7 2k 2 ? 3 1? k2

显然,若点 H 也在线段 AB 上,则由对称性可知,直线 y ? kx 就是 y 轴,矛盾, 因为

AG ? BH
2

,所以

AB ? GH
H

8(1 ? k ) 7 2k ? 4( ? ) 2 3 1? k2 所以 1 ? 2k
2

B G A

第页,共 28 页

14

解得 k ? 1 ,即 k ? ?1
2

21.解:(I)设椭圆方程为

x2 y2 ? ? 1,a ? b ? 0, a2 b2

由 c ? 2 ,可得 a ? 2 , b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2 既所求方程为

x2 y2 ? ?1 4 2

(II)设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , 由 AP ? 2PB 有

? ? x1 ? 2 x2 ? ?1 ? y1 ? 2( y 2 ? 1)

设直线方程为 y ? kx ? 1 ,代入椭圆方程整理,得

(2k 2 ? 1) x 2 ? 4kx ? 2 ? 0
解得

x?

? 2 k ? 8k 2 ? 2 2k 2 ? 1



x1 ?

? 2k ? 8k 2 ? 2 ? 2k ? 8k 2 ? 2 x ? , 2 2k 2 ? 1 2k 2 ? 1 ? ? 2k ? 8k 2 ? 2 ? 2k ? 8k 2 ? 2 ? 2 ? 2k 2 ? 1 2k 2 ? 1
k2 ? 1 14

则 解得

又 ?AOB 的面积 S ?

1 1 2 8k 2 ? 2 126 | OP | ? | x1 ? x2 |? ? ? 2 2 2 2k ? 1 8
126 8

答: ?AOB 的面积是

22.解:(Ⅰ)设 P( x, y ) ,由题意知

y y 1 1 k AP ? k BP ? ? ,即 ? ? ? ( x ? ?2) 4 x?2 x?2 4

化简得曲线 C 方程为: (Ⅱ)思路一

x2 ? y 2 ? 1 ( x ? ?2) 4

满足题意的直线 AQ 的斜率显然存在且不为零,设其方程为 y ? k ( x ? 2) ,

第页,共 28 页

15

?1 ?1 ,所以,设直线 QB 方程为 y ? ( x ? 2) , 4k 4 ?1 当 x ? 4 时得 N 点坐标为 N (4, ) ,易求 M 点坐标为 M (4,6k ) 2k
由(Ⅰ)知 k QB ? k ? 所以 | MN |? 6k ?

1 1 1 ? 2 | 6k | ? ?2 3, = | 6k | ? | 2k | 2k | 2k |

当且仅当 k ? ?

3 时,线段 MN 的长度有最小值 2 3 . 6

思路二:满足题意的直线 AQ 的斜率显然存在且不为零,设其方程为 y ? k ( x ? 2) ,

? x2 2 ? ? y ?1 联立方程: ? 4 ? y ? k ( x ? 2) ?
2 2 2 2 消元得 (4k ? 1) x ? 16k x ? 16k ? 4 ? 0 ,

设 Q ( x 0 , y 0 ) , M ( x1 , y1 ), N ( x 2 , y 2 ) , 由韦达定理得: ? 2 ? x 0 ?

16 k 2 ? 4 , 4k 2 ? 1

? 8k 2 ? 2 4k 所以 x 0 ? ,代入直线方程得 y 0 ? , 2 4k ? 1 4k 2 ? 1
所以 Q(
2 ? 8k 2 4k (2,0) , ) ,又 B 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2

4k ?0 2 1 1 ? ?? 所以直线 BQ 的斜率为 , 4k 2 4k 2 ? 8k ?2 1 ? 4k 2

以下同思路一 思路三:设 Q ( x 0 , y 0 ) ,则直线 AQ 的方程为 y ?

y0 ( x ? 2) x0 ? 2
16

第页,共 28 页

直线 BQ 的方程为 y ?

y0 ( x ? 2) x0 ? 2

当 x ? 4 ,得 yM ? 当 x ? 4 ,得 yN ? 则 MN ?

6 y0 6 y0 ,即 M (4, ) x0 ? 2 x0 ? 2 2 y0 2 y0 ,即 N (4, ) x0 ? 2 x0 ? 2

6 y0 2 y0 2x ? 8 ? ? 2 y0 ? 20 x0 ? 2 x0 ? 2 x0 ? 4

MN ? 4 y0 2 ? (

2

2 x0 ? 8 2 ) x0 2 ? 4

又 x0 2 ? 4 y0 2 ? 4 所以 MN ?
2

4( x0 ? 4)2 4 ? x0 2

利用导数,或变形为二次函数求其最小值. 23. (Ⅰ)解:依题意,直线 AB 的斜率存在,设其方程为 y ? k ( x ? 1)

将其代入

x2 y 2 ? ? 1,整理得 (4k 2 ? 3) x 2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ? 12 ? 0 4 3

?8k 2 设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,所以 x1 ? x2 ? 4k 2 ? 3
故点 G 的横坐标为

x1 ? x2 ?4k 2 ? 2 . 2 4k ? 3

依题意,得

?4k 2 1 ?? , 2 4k ? 3 4

解得 k ? ?

1 2

(Ⅱ)解:假设存在直线 AB ,使得 S1 ? S2 ,显然直线 AB 不能与 x, y 轴垂直. 由(Ⅰ)可得 G (

?4k 2 3k , 2 ) 2 4k ? 3 4k ? 3

因为 DG ? AB ,

3k 4k 2 ? 3 ? k ? ?1, 所以 ?4k 2 ? xD 4k 2 ? 3
第页,共 28 页 17

解得 xD ?

?k 2 ?k 2 , 即 D ( , 0) 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3

因为 △ GFD ∽△ OED , 所以 S1 ? S2 ? | GD | ? | OD | 所以

(

?k 2 ?4 k 2 2 3k 2 ?k 2 ? ) ? ( ) ? , 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3
2

整理得 8k ? 9 ? 0 因为此方程无解, 所以不存在直线 AB ,使得 S1 ? S2

24. (Ⅰ)由题意知: a =4, 所以,焦点坐标为 ( ? 1,0)

2

b 2 =3,
;

所以 c =a ? b =1
2 2 2

离心率 e=

c 1 = a 2

(Ⅱ)由题意知:直线 PB 的斜率存在,设直线 PB 的方程为 y =k (x ? 4)

B( x1 ,


y1 ) , E ( x2 ,

y2 ) ,则 A( x1 , ? y1 ) ,
得 (3+4k )x ? 32k x ? 64k ? 12 ? 0
2 2 2 2

? y ? k (x ? 4) ? 2 2 ?3x ? 4 y ? 12

则 x1 +x2 =

32k 2 64k 2 ? 12 , x x = 1 2 3+4k 2 3+4k 2

(1)

直线 AE 的方程为 y ? y2 =

y2 +y1 (x ? x2 ) , x2 ? x1
(2)

令 y =0 ,得 x =x2 ?

y2 (x2 ? x1 ) y1 +y2

又 y1 =k (x1 ? 4) , y2 =k (x2 ? 4) 代入(2)式,得 x = 把(1)代入(3)式,整理得 x=1 所以直线 AE 与 x 轴相交于定点 (1,0) 25. (共 14 分) 解:(Ⅰ)设椭圆 C 的方程为

2x1x 2 ? 4(x1 +x2 ) (3) x1 +x2 ? 8

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) ,其右焦点的坐标为 (c,0)(c ? 0) . a2 b2
第页,共 28 页 18

由已知得 b ? 1 .由

c?2 2 2

? 3 得 c ? 2 ,所以 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 3

所以,椭圆 C 的方程为

x2 ? y2 ? 1 3

(Ⅱ)假设存在满足条件的直线 l ,设 l : y ? kx ?

3 , M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y 2 ) , 2

MN 的中点为 P
3 ? y ? kx? , ? 15 ? 2 由? 2 得 (3k 2 ? 1) x 2 ? 9kx ? ? 0, 4 ?x ? y2 ? 1 ? ?3
则 x1 ? x 2 ? ?

9k 5 2 ,且由 ? ? 0 得 k ? 2 12 3k ? 1

由 BM ? BN 得 BP ? MN ,所以 k BP ? k ? ?1 ,

y1 ? y 2 ?1 2 即 ? k ? ?1 , x1 ? x 2 2 x ? x2 5 k? 1 ? 2 2 ? k ? ?1 ,将 x ? x ? ? 9k 代 入解得 所以, 1 2 x1 ? x 2 3k 2 ? 1 2 2 5 k2 ? ? , 3 12
所以 k ? ?

6 3
6 3 x? 3 2

故存在满足条件的直线,其方程为 y ? ? 【注】其它解法酌情给分.

26. (Ⅰ)由题意知, 2a ? 4 5 ,又因为 e ?

3 ,解得 a =2 5,b= 5,c= 15 2
???????4 分

故椭圆方程为

x2 y 2 ? ?1. 20 5

(Ⅱ)将 y ? x ? m 代入

x2 y 2 ? ? 1 并整理得 5x2 ? 8mx ? 4m2 ? 20 ? 0 , 20 5

第页,共 28 页

19

解得 ?5 ? m ? 5 . ?=(8m)2 -20(4m2 -20)>0,

???????7 分

(Ⅲ)设直线 MA, MB 的斜率分别为 k1 和 k 2 ,只要证明 k1 ? k2 ? 0 . 设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,

8m 4m2 ? 20 则 x1 ? x2 ? ? . , x1 x2 ? 5 5
k1 ? k2 ?

??9 分

y1 ? 1 y2 ? 1 ( y1 ? 1)( x2 ? 4) ? ( y2 ? 1)( x1 ? 4) ? ? x1 ? 4 x2 ? 4 ( x1 ? 4)( x2 ? 4)

分子 ? ( x1 ? m ? 1)( x2 ? 4) ? ( x2 ? m ? 1)( x1 ? 4) ? 2 x1 x2 ? (m ? 5)( x1 ? x2 ) ? 8(m ? 1) ? 2(4m 2 ? 20) 8m(m ? 5) ? ? 8(m ? 1) ? 0 5 5
???????14 分

所以直线 MA 、MB 的斜率互为相反数.

?2 1 ? ? ?1 27.解: (Ⅰ)由题意知 ? a 2 b 2 ,所以 b ? 2 . ? ?a ? 2
故所求椭圆方程为

x2 y2 ? ? 1 ?????????????.5 分 4 2
2 x ? m ,则 m ? 0 .设 B( x1 , y1 ), C ( x2 , y2 ), 2
2

(Ⅱ) 设直线 l 的的方程为 y ?
2

代入椭圆方程并化简得 x ? 2mx ? m ? 2 ? 0 ,
2 2 2

????6 分
2

由 ? ? 2m ? 4(m ? 2) ? 2(4 ? m ) ? 0 ,可得 0 ? m ? 4 . 由( ? ),得 x1,2 ?

(? )

? 2m ? 2(4 ? m 2 ) , 2

故 BC ? 1 ? (

2 2 3 ) x1 ? x2 ? ? 2(4 ? m 2 ) ? 3(4 ? m 2 ) ?..9 分 2 2
2m 6
, ???????10 分

又点 A 到 BC 的距离为 d ?

故 S ?ABC ?

2m 1 1 BC ? d ? 3(4 ? m 2 ) ? 2 2 6

第页,共 28 页

20

?

1 1 m 2 ? (4 ? m 2 ) ? (4 ? m 2 )m 2 ? ? ? 2, 2 2 2
2 2

当且仅当 m ? 4 ? m ,即 m ? ? 2 时取等号满足( ? )式. 所以 ?ABC 面积的最大值为 2 . ????????13 分

28.解: (Ⅰ)当 m ? 0 时,直线 l 的方程为 x ? 1 ,设点 E 在 x 轴上方,

? x2 y 2 ? 1, 2 2t 2 2t ? ? 由? 9 解得 E (1, ), F (1, ? ). t 3 3 ? x ?1 ?
所以 EF ?

4 2t 8 ? ,解得 t ? 2 . 3 3

?????????????????3 分

x2 y 2 所以椭圆 C 的方程为 ? ? 1. 9 2

??????????????????4 分

? x2 y 2 ? 1, ? ? 2 2 (Ⅱ)由 ? 9 得 (2m ? 9) y ? 4my ? 16 ? 0 ,显然 m ? R . 2 ? x ? my ? 1 ?
设 E ( x1 , y1 ), F ( x2 , y2 ) ,则 y1 ? y2 ?

????5 分

?4m ?16 . , y1 y2 ? 2 2m ? 9 2m 2 ? 9

?????6 分

x1 ? my1 ? 1 , x2 ? my2 ? 1 .
又直线 AE 的方程为 y ?

y1 ( x ? 3) , x1 ? 3

y1 ? ( x ? 3), 6 y1 ?y ? x1 ? 3 ), 解得 M (3, ? x1 ? 3 ? x?3 ?
同理得 N (3,

6 y2 ). x2 ? 3
6 y1 ???? 6 y2 ), BN ? (2, ) , ????????????????9 分 x1 ? 3 x2 ? 3 6 y1 6 y2 ) ? (2, ) x1 ? 3 x2 ? 3

所以 BM ? (2,

???? ?

又因为 BM ? BN ? (2,

???? ? ????

? 4?

36 y1 y2 36 y1 y2 ? 4? ( x1 ? 3)( x2 ? 3) (my1 ? 4)(my2 ? 4)

第页,共 28 页

21

?

4(my1 ? 4)(my2 ? 4) ? 36 y1 y2 m2 y1 y2 ? 4m( y1 ? y2 ) ? 16

?16(4m 2 ? 36) ? 16 ? 4m 2 ? 16 ? 4(2m 2 ? 9) ? ?32m 2 ? 16(2m 2 ? 9)

?64m2 ? 576 ? 64m2 ? 128m2 ? 576 ? ? 0 .???????13 分 9
所以 BM ? BN ,所以以 MN 为直径的圆过点 B . ????????????14 分 29.解: (Ⅰ)设椭圆 C 的方程为

???? ?

????

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) . a 2 b2

?c 3 , ? ? 2 ?a 1 ?3 由已知可得 ? 2 ? 2 ? 1, ??????????????????3 分 4b ?a ?a 2 ? b2 ? c 2 . ? ?
解得 a ? 4 , b ? 1 .
2 2

故椭圆 C 的方程为

x2 ? y 2 ? 1.?????????????????????6 分 4

(Ⅱ)由已知,若直线 l 的斜率不存在,则过点 E (?1, 0) 的直线 l 的方程为 x ? ?1 ,

, ),B(?1,此时 A(?1

3 2

3 ) 显然 EA ? 2 EB 不成立.??????????7 分 2 ,

若直线 l 的斜率存在,则设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1) .

? x2 2 ? ? y ? 1, 则? 4 ? y ? k ( x ? 1). ?
整理得 (4k 2 ? 1) x 2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ? 4 ? 0 .??????????????????9 分 由 ? ? (8k ) ? 4(4k ? 1)(4k ? 4)
2 2 2 2

? 48k 2 ? 16 ? 0 .
设 A( x1,y1 ),B( x2,y2 ) .

第页,共 28 页

22

故 x1 ? x2 ? ?

8k 2 ,① 4k 2 ? 1

x1 x2 ?

4k 2 ? 4 . ②????????????10 分 4k 2 ? 1

因为 EA ? 2 EB ,即 x1 ? 2 x2 ? ?3 .③ ①②③联立解得 k ? ?

15 . 6

????????????13 分

所以直线 l 的方程为 15 x ? 6 y ? 15 ? 0 和 15 x ? 6 y ? 15 ? 0 .?????14 分

30.解:设 C1 的方程为

x2 x2 2 ,C . ?..2 分 ? y 2 ? 1 ( a ? 1, 0 ? b ? 1) ? y ? 1 2 的方程为 b2 a2

∵C1 ,C2 的离心率相同,

a2 ?1 ∴ ? 1 ? b2 ,∴ ab ? 1 ,????????????..????????3 分 2 a
∴C2 的方程为 a x ? y ? 1 .
2 2 2

当 m=

3 a 3 1 3 时,A (? , ) ,C ( , ) .?????????????.??5 分 2 2 2 2a 2

5 , 4 1 a 5 1 ∴ ? ? ,解得 a=2 或 a= (舍), ???????????...???..6 分 2a 2 4 2
又∵ AC ? ∴C1 ,C2 的方程分别为

x2 ? y 2 ? 1 , 4 x 2 ? y 2 ? 1 . ??????????..7 分 4
2

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 A(- a 1 ? m ,m),C( ∵OC⊥AN,

1 1 ? m2 ,m) .??????.?????9 分 a

??? ? ???? OC ? AN ? 0 ( ? ) . ???????????............................................?10
分 ∵ OC =(

????

???? 1 2 , AN =( a 1 ? m ,-1-m), 1 ? m2 ,m) a
2

代入( ? )并整理得 2m +m-1=0, ??????????????????12 分

1 或 m=-1(舍负) , 2 1 ∴m= . ??????????????????????????13 分 2
∴m= 31.解: (I)因为 F ( ?1,0) 为椭圆的焦点,所以 c ? 1, 又 b2 ? 3,

第页,共 28 页

23

所以 a 2 ? 4, 所以椭圆方程为

x2 y2 ? ?1 4 3

??????3 分

(Ⅱ)因为直线的倾斜角为 45? ,所以直线的斜率为 1, 所以直线方程为 y ? x ? 1 ,和椭圆方程联立得到

? x2 y2 ?1 ? ? ,消掉 y ,得到 7 x 2 ? 8 x ? 8 ? 0 3 ?4 ? y ? x ?1 ?
所以 ? ? 288, x1 ? x2 ? ? , x1 x2 ? 所以 | CD |? 1 ? k 2 | x1 ? x2 |?

??????5 分

8 7

8 7
??????7 分

24 7

(Ⅲ)当直线 l 无斜率时,直线方程为 x ? ?1 , 此时 D( ?1, ), C ( ?1, ? ) ,

3 2

3 2

?ABD, ?ABC 面积相等, | S1 ? S2 |? 0

??????8 分

当直线 l 斜率存在(显然 k ? 0 )时,设直线方程为 y ? k ( x ? 1)(k ? 0) , 设 C ( x1 , y1 ), D( x2 , y2 )

? x2 y2 ?1 ? ? 和椭圆方程联立得到 ? 4 ,消掉 y 得 (3 ? 4k 2 ) x 2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ? 12 ? 0 3 ? y ? k ( x ? 1) ?
显然 ? ? 0 ,方程有根,且 x1 ? x2 ? ?

8k 2 4k 2 ? 12 , x x ? ??????10 分 1 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

此时 | S1 ? S2 |?| 2 || y2 | ? | y1 ||? 2 | y2 ? y1 | ? 2 | k ( x2 ? 1) ? k ( x1 ? 1) |

? 2 | k ( x2 ? x1 ) ? 2k |?
因为 k ? 0 ,上式 ?

12 | k | 3 ? 4k 2

??????12 分

12 12 12 3 ? ? ? 3, (k ? ? 时等号成立) 3 2 ? 4 | k | 2 3 ?4 | k | 2 12 |k | |k |
??????14 分

所以 | S1 ? S2 | 的最大值为 3 32.解: (Ⅰ)由已知,可设椭圆方程为 则 a ? 10 , c ? 2 . 所以

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? ,???????? 1 分 a 2 b2

????????????????2 分

b ? a 2 ? c 2 ? 10 ? 4 ? 6 , ?????????????3 分

第页,共 28 页

24

所以 椭圆方程为

x2 y 2 ? ? 1 . ????????????????4 分 10 6

(Ⅱ) 若直线 l ? x 轴, 则平行四边形 AOBC 中, 点 C 与点 O 关于直线 l 对称, 此时点 C 坐标为 ? 2c,0 ? . 因 为 2c ? a 直. , 所 以 点 C 在 椭 圆 外 , 所 以 直 线 ????????????????6 分

l 与

x 轴 不 垂

于是,设直线 l 的方程为 y ? k ? x ? 2 ? ,点 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? , ?7 分

? x2 y 2 ? ? 1, ? 2 2 2 2 则 ? 10 6 整理得, ? 3 ? 5k ? x ? 20k x ? 20k ? 30 ? 0 ? 8 分 ? y ? k ? x ? 2? , ?

x1 ? x2 ?
所以

20k 2 , 3 ? 5k 2

???????????????? 9 分

12k . ??????????????? 10 分 3 ? 5k 2 因为 四边形 AOBC 为平行四边形, ??? ? ??? ? ??? ? 所以 OA ? OB ? OC , ??????????????? 11 分 y1 ? y2 ? ?
? 20k 2 12k ? ,? 所以 点 C 的坐标为 ? ? , ???????????12 分 2 3 ? 5k 2 ? ? 3 ? 5k

? 20k 2 ? ? 12k ? 2 ? ? ?? ? 3 ? 5k 2 ? ? 3 ? 5k 2 ? ? ? ? 1, 所以 10 6
解得 k ? 1 ,
2

2

???????????13 分

所以 k ? ?1 .

????????????14 分

?b 1 ? ? , 33. (Ⅰ)解:依题意,得 ? a 2 ? a 2 ? b 2 ? 5. ?
解得 a ? 2 , b ? 1. 所以 椭圆的方程为

??????2 分

??????3 分 ??????4 分

x2 ? y 2 ? 1. 4

(Ⅱ) 证明: 由于 l // AB , 设直线 l 的方程为 y ? ?

1 x?m, 2

将 其

代入

x2 ? y 2 ? 1,消去 y , 4

整理得
第页,共 28 页 25

2 x2 ? 4mx ? 4m2 ? 4 ? 0 .
设 C ( x1 , y1 ) , D( x2 , y2 ) .

??????6 分

?? ? 16m2 ? 32(m2 ? 1) ? 0, ? 所以 ? x1 ? x2 ? 2m, ??????8 分 ? 2 ? x1 x2 ? 2m ? 2.
证法一:记△ OCM 的面积是 S1 ,△ ODN 的面积是 S 2 . 由 M (2m,0) , N (0, m) , 则 S1 ? S 2 ?

1 1 ? | 2m | ? | y1 | ? ? | m | ? | x2 | ? | 2 y1 | ? | x2 | . ??????10 分 2 2

因为 x1 ? x2 ? 2m , 所以 | 2 y1 | ? | 2 ? (? 从而 S1 ? S2 . 证法二:记△ OCM 的面积是 S1 ,△ ODN 的面积是 S 2 . 则 S1 ? S 2 ? | MC | ? | ND | ? 线段 CD, MN 的中点重合. 因为 x1 ? x2 ? 2m , ??????10 分

1 x1 ? m) | ? | ? x1 ? 2m | ? | x2 | , 2

??????13 分 ??????14 分

x1 ? x2 y ?y 1 x ?x 1 ? m, 1 2 ? ? ? 1 2 ?m ? m . 2 2 2 2 2 1 故线段 CD 的中点为 (m, m) . 2
所以 因为 M (2m,0) , N (0, m) , 所以 线段 MN 的中点坐标亦为 (m, 从而 S1 ? S2 . 34. (Ⅰ)由焦点坐标可得 c ? 4 又 B1 为 OF1 的中点, A 为上顶点, ?AOB1 为等腰直角三角形 所以 b ? OA ? OB1 ? 2 所以 a ? b ? c ? 20
2 2 2

1 m) . 2

??????13 分 ??????14 分

????????2 分 ????????4 分

所以椭圆 C 标准方程为

x2 y 2 ? ?1 20 4
第页,共 28 页

???????5 分

26

(Ⅱ)解法一:当直线与 x 轴垂直时,易知 PB2 , QB2 不垂直; 当直线与 x 轴不垂直时,设直线方程为 y ? k ( x ? 2) ,
2 2 2 2

???6 分 ???7 分

代入椭圆方程整理得 (1 ? 5k ) x ? 20k x ? 20k ? 20 ? 0(? ? 0 恒成立)???8 分 设 P ( x1 , y1 ) , Q ( x2 , y2 ) ,则

x1 ? x2 ? ?

20k 2 20k 2 ? 20 , x x ? 1 2 1 ? 5k 2 1 ? 5k 2

???9 分

???? ? ???? ? B2 P ? ( x1 ? 2, y1 ) , B2Q( x2 ? 2, y2 ) ???? ? ???? ? B2 P?B2Q ? ( x1 ? 2)( x2 ? 2) ? y1 y2
= (1 ? k 2 ) x1 x2 ? (2k 2 ? 2)( x1 ? x2 ) ? 4k 2 ? 4 =

(20k 2 ? 20)(1 ? k 2 ) 20k 2 (2k 2 ? 2) ? ? 4(k 2 ? 1) 2 2 1 ? 5k 1 ? 5k

???11 分

由 PB2 ? QB2 ,得 B2 P ?B2Q ? 0 即

???? ? ???? ?

1 (20k 2 ? 20)(1 ? k 2 ) 20k 2 (2k 2 ? 2) ? ? 4(k 2 ? 1) ? 0 ,解得 k ? ? ???13 分 2 2 2 1 ? 5k 1 ? 5k
???14 分

所以满足条件的直线有两条,其方程为 x ? 2 y ? 2 ? 0, x ? 2 y ? 2 ? 0 解法二:由题意可知 B1 (?2, 0) , B2 (2, 0) ,直线的斜率不为 0, 设直线的方程为 x ? my ? 2

??????6 分 ???????7 分

代入椭圆方程整理得 (m ? 5) y ? 4my ? 16 ? 0(? ? 0 恒成立)
2 2

???8 分

设 P ( x1 , y1 ) , Q ( x2 , y2 ) 则 y1 ? y2 ?

4m 16 , y1 y2 ? ? 2 2 m ?5 m ?5

???????9 分

???? ? ???? ? B2 P ? ( x1 ? 2, y1 ) , B2Q( x2 ? 2, y2 ) ???? ? ???? ? B2 P?B2Q ? ( x1 ? 2)( x2 ? 2) ? y1 y2
= (my1 ? 4)(my2 ? 4) ? y1 y2
第页,共 28 页 27

= (m ? 1) y1 y2 ? 4m( y1 ? y2 ) ? 16
2

=?

16(m 2 ? 1) 16m 2 ? 2 ? 16 m2 ? 5 m ?5
???????12 分

16m 2 ? 64 =? m2 ? 5
由 PB2 ? QB2 ,得 B2 P ?B2Q ? 0 即?

???? ? ???? ?

16m 2 ? 64 ,解得 m ? ?2 m2 ? 5
???14 分

所以满足条件的直线有两条,其方程为 x ? 2 y ? 2 ? 0, x ? 2 y ? 2 ? 0

第页,共 28 页

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