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高二数学直线和圆的方程综合

时间:2011-12-30


高二数学期末复习卷 直线和圆的方程综合 高二数学期末复习卷---直线和圆的方程综合 期末复习卷
班级 学号 姓名

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1.若直线 x = 1 的倾斜角为 α ,则 α A.等于 0 B.等于 ( C.等于 )

π

π
2
<

br />4

D.不存在 ( ( ( ) ) )

2.点 P(2,3)到直线:ax+(a-1)y+3=0 的距离 d 为最大时,d 与 a 的值依次为 A.3,-3 B.5,1 C.5,2 D.7,1 3.圆 x 2 + y 2 = 4 截直线 3 x + y ? 2 3 = 0 所得的弦长是 A.2 B.1 C. 3 D. 2 3 4.从动点 P (a,2) 向圆 ( x + 3) 2 + ( y + 3) 2 = 1 作切线,其切线长的最小值是 A. 4 B. 2 6 C. 5 D. 26

5.若圆 x 2 + y 2 ? 2kx + 2 y + 2 = 0( k > 0) 与两坐标轴无公共点,那么实数 k 的取值范围是 ( ) A. 0 < k <

2

B. 1 < k <

2
2

C. 0 < k < 1

D. k >

2
( )

6.若直线 y = k ( x ? 2) 与曲线 y = 1 ? x 有交点,则

3 3 ,最小值 ? 3 3 3 C. k 有最大值 0,最小值 ? 3
A. k 有最大值

B. k 有最大值

1 1 ,最小值 ? 2 2 1 D. k 有最大值 0,最小值 ? 2

7.如图,设点 C(1,0),长为 2 的线段 AB 在 y 轴上滑动,则直线 AB、AC 所成的最大夹角 y 是 ( ) A A.30° B.45° C.60° D.90° B O C x ) )

8.如果直线(2a+5)x+(a-2)y+4=0与直线(2-a)x+(a+3)y-1=0互相垂直,则a的值等于( A. 2 B.-2 C.2,-2 D.2,0,-2 9.过两圆:x 2 + y 2 + 6 x + 4y = 0 及 x 2+y 2 + 4x + 2y – 4 =0 的交点的直线的方程 ( A.x+y+2=0 的方程是 A. 2 x ? y + 5 = 0 B.x+y-2=0 C.5x+3y-2=0 D.不存在 ( B. 2 x ? y + 3 = 0 C. 3x ? y + 5 = 0
1

10.已知 ?ABC 的一个顶点为 A (3, ? 1) ,∠B 被 y 轴平分,∠C 被直线 y = x 平分,则直线 BC ) D. x + 2 y ? 5 = 0

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 6 分,共 24 分) 11.直线 l 的倾斜角α满足 4sinα=3cosα,而且它在 x 轴上的截距为 3,则直线 l 的方程是 _____________________. 12.若实数 x,y 满足 ( x ? 2) 2 + y 2 = 3, 则
y 的最大值是 x



13.若 P( x, y ) 是曲线 C: x 2 + y 2 = 16 上的一点,则 3 x + y 的最大值为________________. 14.已知直线 l: +

x 4

y = 1 , M 是 l 上一动点,过 M 作 x 轴、 y 轴的垂线,垂足分别为 A 、 3

B, 则在 A 、B 连线上, 且满足 AP = 2PB 的点 P 的轨迹方程是____________________.
三、解答题(本大题共 6 小题,共 76 分) 15.已知直线 l 满足下列两个条件: (1)过直线 y = – x + 1 和 y = 2x + 4 的交点; (2)与直线 x –3y + 2 = 0 垂直,求直线 l 的方程. (12 分)

16.求经过点 A( 2,?1) ,和直线 x + y = 1 相切,且圆心在直线 y = ?2 x 上的圆方程. (12 分)

2

17.自点 A(-3,3)发出的光线 L 射到 x 轴上,被 x 轴反射,其反射光线 m 所在直线与圆 C:x 2 + y 2 -4x-4y +7 = 0 相切,求光线 L、m 所在的直线方程. (12 分)

18.已知与曲线 C: x 2 + y 2 ? 2 x ? 2 y + 1 = 0 相切的直线 l 交 x, y 的正半轴与 A、B 两点, O 为原点, OA =a, OB = b , (a > 2, b > 2) . (1)求线段 AB 中点的轨迹方程; (2)求 ab 的最小值. (12 分)

3

19.已知直线 l :y=k(x+2 2 )与圆 O:x2+y2=4 相交于 A、B 两点,O 是坐标原点,三角形 ABO 的面积为 S. (1)试将 S 表示成 k 的函数,并求出它的定义域; (2)求 S 的最大值,并求取得最大值时 k 的值. (14 分)

20 已知圆 C :( x ? 1) 2 + y 2 = r 2( r > 1 ) 设 M 为圆 C 与 x 轴负半轴的交点, M 作圆 C , 过 的弦 MN ,并使它的中点 P 恰好落在 y 轴上.(1)当 r = 2 时,求满足条件的 P 点的坐标; (2)当 r ∈ (1,+∞) 时,求点 N 的轨迹 G 的方程; (3)过点 P (0,2) 的直线 l 与(2)中轨迹 相交于两个不同的点 E 、 F ,若 CE ? CF > 0 ,求直线 l 斜率的取值范围.

4

参考答案
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1 2 3 4 5 6 7 题号 C B A B B C D 答案 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 6 分,共 24 分) 11.3x-4y-9=0 12. 3 三、解答题(本大题共 6 题,共 76 分) 15. (12 分)
? y = 2x + 4

8 C

9 A

10 A

13 .8

14.3x+2y=4

[解析]:由 ? y = ? x + 1 ,得交点 ( –1, 2 ), ∵ k l = – 3, ∴ 所求直线 l 的方程为: 3x + y + ? 1 = 0. 16. (12 分) [解析]: 由题意知:过 A(2,-1)且与直线:x+y=1 垂直的直线方程为:y=x-3,∵圆 心 在 直 线 : y= - 2x 上 , ∴由
y = ?2 x ? y = x ?3 x =1 即 o1 (1,?2) , 且 半 径 y = ?2

r = AO1 = (2 ? 1) 2 + (?1 + 2) 2 = 2 ,

∴所求圆的方程为: ( x ? 1) 2 + ( y + 2) 2 = 2 . 17. (12 分)
[解析 1]:.已知圆的标准方程是 ( x ? 2) 2 + ( y ? 2) 2 = 1, 它关于 x 轴

( x ? 2) 2 + ( y + 2) 2 = 1, 设光线 L 所在的直 线方程是 y-3=k(x+3),由题设知对称圆的圆心 C1 (2,?2) 到这条直线
的对称圆的方程为 的距离为 1,即 d =

y C

5k + 5 1+ k 2

A
= 1 ? 12k + 25k + 12 = 0, 解得
2

3 4 或k = ? .故所求入射光线 L 所在的直线方程为: 4 3 3x + 4 y ? 3 = 0或4x + 3y + 3 = 0 。这时反射光线所在直线的 k=?
斜率为 k1 =

O
C1

x

3 4 或k 1 = ,所以所求反射光线 m 所在的直线方程为: 4 3

3x-4y-3=0 或 4x-3y+3=0. [解析 2]:已知圆的标准方程是 ( x ? 2) 2 + ( y ? 2) 2 = 1, 设光线 L 所在的直线方程是 y-3=k(x+3),由题设 知 k ≠ 0 ,于是 L 的反射点的坐标是 ( ? 直线方程为: y = ? k ( x +

3(1 + k ) ,0) ,由于入射角等于反射角,所以反射光线 m 所在的 k

3(1 + k ) ), ? y + kx + 3(1 + k ) = 0 ,这条直线应与已知圆相切,故圆心到直线 k 5k + 5 的 距离为 1,即 d = = 1 ? 12k 2 + 25k + 12 = 0, 以下同解析 1. 2 1+ k

18. (12 分) [解析]: (1)设 AB 的中点为 P(x,y) ,圆 C 的方程化简为: ( x ? 1) 2 + ( y ? 1) 2 1,∴ C (1,1), r = 1

5

又直线 l 的方程为:
∴ d C →l = a + b ? ab a +b
2 2

x y + = 1, 即bx + ay ? ab = 0(a > 2, b > 2) ,Q l与圆C相切 , a b

= 1 ? a 2 + b 2 = (a + b ? ab) 2 ? a 2 b 2 + 2ab ? 2a 2 b ? 2ab 2 = 0 Q a > 2, b > 2

? ab + 2 ? 2a ? 2b = 0 ? (a ? 2)b = 2a ? 2 ? b =

2a ? 2 a?2

① , 又 ∵ P 是 AB 的 中 点 ,

∴x =

a b ,y= 2 2 2x ?1 ( x > 1) , 即 线 段 AB 中 点 的 轨 迹 方 程 为 ; 2x ? 2

? a = 2 x, b = 2 y , 代 入 ① 得 y =
y= 2x ?1 ( x > 1) . 2x ? 2

(2)Q ab =
∴ 2( a ? 2) +

2a(a ? 1) 2a 2 ? 2a 2(a ? 2) 2 + 6(a ? 2) + 4 4 = = = 2( a ? 2) + +6,a ?2 > 0 a?2 a?2 a?2 a?2

4 ≥ 4 2 ,∴ ab ≥ 6 + 4 2 .∴ ab的最小值为6 + 4 2 . a?2

19. (14 分) [解析]:(1)Q l : kx ? y + 2 2 k = 0,∴ d O →l =
2 2k k 2 +1 ∴ AB = 2 4 ? ( 2 2k k 2 +1 )2 = 4 1? k 2 1+ k 2

∴S =

4 2 k 2 (1 ? k 2 ) 1 ,定义域: 0 < d O →l < 2 ? ?1 < k < 1且k ≠ 0 . AB ? d O →l = 2 1+ k 2

(2)设 k 2 + 1 = t (t ≥ 1), 则 k 2 (1 ? k 2 ) = (t ? 1)(2 ? t ) = ? t 2 + 3t ? 2
∴S = 4 2 ? ? t 2 + 3t ? 2 3 2 1 3 1 = 4 2 ? 1 + ? 2 = 4 2 ? 2( ? ) 2 + , t t t t 4 8

1 3 4 3 1 ∴当 = , 即t = 时,k = ± , S max = 4 2 ? = 2 ,∴S 的最大值为 2,取得最大值时 t 4 3 3 2 2

k= ±

3. 3

20. (14 分) 解: (1) r = 2 时, M (?1,0) ,设 P (0, b) ,则由 k cp ? k mp = ?1 ,得:b = 1 ,所以 b = ±1
2

(2) N ( x, y ) ,由已知得:M (1 ? r ,0) 。设 P (0, b) ,则由 k cp ? k mp = ?1 ,得:r = b + 1 设
2

又因为 P 为线段 MN 的中点,所以 ?

?x = r ? 1 = b 2 ? y = 2b
6

,又 r > 1 ,故 x > 0 。

所以点 N 的轨迹方程为: y = 4 x ( x > 0 ) 。
2

(3) 由题意知直线 l 的斜率存在且不等于 0, 故设直线 l 的方程为:y = kx + 2 , E ( x1 , y1 ) , 设

F ( x 2 , y 2 ) ,且 x1 > 0 , x 2 > 0 , ? y = kx + 2 1 2 2 由? 2 , k x + ( 4k ? 4) x + 4 = 0 , ? = ?32k + 16 > 0 , k < 且 k ≠ 0 ①。 得: 由 得 2 ? y = 4x 4 ? 4k 4 1 > 0 , x1 x 2 = 2 > 0 ,得: k < 1 ②。由①②有: k < 且 k ≠ 0 。 所以 x1 + x 2 = 2 2 k k 又 CE ? CF > 0 , 所 以 ( x1 ? 1)( x 2 ? 1) + y1 y 2 > 0 , 即 :
(k 2 + 1) x1 x 2 + (2k ? 1)( x1 + x 2 ) + 5 > 0 .
得: + 12k > 0 , k 所以: > 0 或 k < ?12 , k < k 又
2

1 1 且k ≠ 0。 所以: < k < 或 k < ?12 , 0 2 2

即为直线 l 斜率的取值范围。

7


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