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2.3(1)直线与圆的位置关系


直线与圆的位置关系
? 要点·疑点·考点

? 课堂

练习 ? 延伸·拓展
?误

解 分 析

要点·疑点·考点
1.点与圆

设 点 P(x0 , y0) , 圆 (x-a)2+(y-b)2=r2 , 圆 心 ( a,b) 到 P(x0,y0)

的距离为d,则
点在圆内?(x0 -a)2+(y0 -b)2<r2 ?d<r, 点在圆上 ?(x0 -a)2+(y0 -b)2=r2 ?d=r, 点在圆外?(x0 -a)2+(y0 -b)2>r2 ?d>r.

2.直线与圆

(1)设直线l ,圆心 C到l的距离为d . 由圆C方程 及直线L的方程,消去一个未知数,得一元二 次方程,设一元二次方程的根的判别式为Δ,则 圆C与l相离?d>r ?Δ<0,
圆C与l 相切?d=r ?Δ=0,

圆C与l 相交?d<r ?Δ>0.

3.圆与圆

设圆O1的半径为r1,圆O2的半径为r2,则
两圆相离 |O1O2| > r1+r2 , 外切 ? |O1O2|=r1+r2 ,

内切?|O1O2|=|r1-r2|,

内含?|O1O2|<|r1-r2|,

相交?|r1-r2|<|O1O2|<|r1+r2| 4.(1)过圆上一点的切线方程: ①圆x2+y2=r2,圆上一点为(x0,y0),则此点的切线 方程为x0x+y0y=r2(课本命题). ②圆(x-a)2+(y-b)2=r2,圆上一点为(x0,y0),则过此 点的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2(课本命题的 推广). 返回

5.①直线和曲线相交,所得弦的弦长是
1 ? k x1 ? x2 或
2

和圆相交所得弦的弦长更常使用垂径定理和勾股定 理求得;
②相交弦方程 ⊙O1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0和

1 1 ? 2 y1 ? y2 ,也成立,但直线 k

⊙O2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0相交时,公共弦方程为 (D1-D2)x+(E1-E2)y+(F1-F2)=0.

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6.圆系方程:
①设圆C1∶x2+y2+D1x+E1y+F1=0和圆 C2∶x2+y2+D2x+E2y+F2=0.若两圆相交,则 过交点的圆系方程为 x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0 (λ 为参数,圆系中不包括圆C2,λ=-1为两圆的公 共弦所在直线方程). ②设圆C∶x2+y2+Dx+Ey+F=0与直线l: Ax+By+C=0,若直线与圆相交,则过交点的 圆系方程为x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0(λ 为参数).
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课堂练习
1 x2+y2=4上,与直线4x+3y-12=0的距离最小的点的 坐标是( A ) (A)8/5,6/5 (C)-8/5,6/5 (B)8/5,-6/5 (D)-8/5,-6/5

2 ⊙O1:x2+y2=2 ⊙O2:(x-2)2+(y-3)2=1,则以M(1, 1)为切点的⊙O1的切线方程为 x+y= 2, ,过点M作⊙O2的切线, 其方程为3x-4y+1=0和x=1,此时M点到切点的距离为2. .

3. 两圆 x2+y2-6x+4y+12=0 和 x2+y2-14x-12y+14=0 的位置关系 是( C ) (A)相离 (B)外切 (C)相交 (D)内切

4.已知圆C:(x-a)2+(y-2)2=4(a>0)及直线l:x-y+3=0当直线l 被C截得的弦长为2 3时,则a=( C ) (A) 2 (B) 2 - 2 (C) 2 - 1 (D) 2 ? 1

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例5 求以圆C1∶x2+y2-12x-2y-13=0和圆C2: x2+y2+12x+16y-25=0的公共弦为直径的圆的方程. 解法一: 相减得公共弦所在直线方程为4x+3y-2=0.

∵所求圆以AB为直径,

于是圆的方程为(x-2)2+(y+2)2=25 .

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解法二: 设所求圆的方程为: x2+y2-12x-2y-13+λ(x2+y2+12x+16y-25)=0(λ为参数)

∵圆心C应在公共弦AB所在直线上



∴ 所求圆的方程为x2+y2-4x+4y-17=0.
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6.直线3x+4y+m=0与圆x2+y2-5y=0交于两点A、B,且OA⊥OB
(O为原点),求m的值.

【解题回顾】解法1利用圆的性质,解法2是解决直线与二次 曲线相交于两点 A,B且满足OA⊥OB(或AC⊥BC,其中C为 已知点)的问题的一般解法.

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延伸·拓展
7.过点P(-2,-3)作圆C:(x-4)2+(y-2)2=9的两条切线,切点 分别为A、B.求: (1)经过圆心C,切点A、B这三点的圆的方程; (2)直线AB的方程; (3)线段AB的长.

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误解分析
1.求过定点的圆的切线方程,一定要判定点的位置,若在 圆外,一般有两条切线,容易遗漏斜率不存在的那一条. 2.在课前热身4中,判断两圆关系得到 |O1O2|<|r1+r2|,未必 相交,还可能内含,一定要追加|O1O2|>|r1-r2|才行.

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