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指对数讲义


教 育 是 一 项 良 心 工 程!

龙文教育个性化辅导授课案
教师: 课题 考点分析
重点难点 指对数计算、函数性质 指对数函数

学生

时间:

年_ 月__日__段 第__ 次课

授课内容 一、常用公式
1、 0 指数幂与分数指数幂:(1)

a0 ? 1(a ? 0) ;(2) a ? n ?
1 (a ? 0) . an

2、根式性质:(1) ( n a )n ? a ;(2) 3、分数指数幂:

n

? a,n为奇数 an ? ? . ?| a | ,n为偶数

(1)正分数指数: a ? a (a ? 0),a ? n a m (a ? 0, m、n ? N * , 为既约分数) .
n

1 n

m n

m n

(2)负分数指数幂: a

?

m n

?

1 a
m n

(a ? 0, m、n ? N * ,

m 为既约分数) . n

4.对数的性质: loga a ? 1 , loga 1 ? 0 ; 5、对数恒等式: aloga N ? N (a ? 0, 且a ? 1,N ? 0) 6、(1) loga ( MN ) ? loga M ? loga N ;(2) log a (3) loga M n ? n loga M ; 7、对数换底公式: log b N ?
M ? log a M ? log a N ; N n log a M . m

(4) log a m M n ?

log a N log a b

logb a ?

1 loga b

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二、指对数函数性质
1、指数函数的图象和性质。
0 ? a ?1 a ?1

定义 图 象

定义域 值域 性 质 特殊点 单调性 奇偶性 2、对数函数的图象和性质。
0 ? a ?1 a ?1

定义 图 象

定义域 值域 性 质 特殊点 单调性 奇偶性

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三、题型训练
1 1.函数 y=ax- (a>0,a≠1)的图象可能是 ( a ).

1 解析 当 a>1 时单调递增,且在 y 轴上的截距为 0<1- <1 时,故 A,B 不正确; a 1 当 0<a<1 时单调递减,且在 y 轴上的截距为 1- <0,故 C 不正确;D 正确.

a

2.(2014· 济南一模)若 a=30.6,b=log30.2,c=0.63,则 A.a>c>b C.c>b>a B.a>b>c D.b>c>a

(

).

解析 30.6>1,log30.2<0,0<0.63<1,所以 a>c>b,选 A. 1 1 3.设 2a=5b= m,且 + =2,则 m 等于 a b A. 10 C.20 ( ).

B.10 D.100

解析 ∵2a=5b=m,∴a=log2m,b=log5m, 1 1 1 1 ∴ + = + =logm2+logm5=logm10=2.∴m= 10. a b log2m log5m 4.函数 y=ax-b(a>0 且 a≠1)的图象经过第二、三、四象限,则 ab 的取值范围为 A.(1,+∞) C.(0,1) B.(0,+∞) D.无法确定 ( ).

解析 函数经过第二、三、四象限,所以函数单调递减且图象与 y 轴的交点在负半轴上.而当 x=0 时,y
?0<a<1, ?0<a<1, ? ? =a0-b=1-b,由题意得? 解得? 所以 ab∈(0,1). ?1-b<0, ?b>1, ? ?

5.(2014· 惠州质检)设 f(x)=|3x-1|,c<b<a 且 f(c)>f(a)>f(b),则下列关系式中一定成 立的是 A.3c>3b B.3b>3a C.3c+3a>2 D.3c+3a<2 ( ).

解析 作 f(x)=|3x-1|的图象如图所示,由图可知,要使 c<b<a 且 f(c)>f(a)>f(b)成立, 则有 c<0 且 a>0, ∴3c<1<3a,∴f(c)=1-3c,f(a)=3a-1,又 f(c)>f(a),∴1-3c>3a-1,即 3a+3c<2,故选 D.

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6.(2014· 杭州质检)已知函数 f ( x) ? ?

?(1 ? 3a) x ? 10a, x ? 7 ?a
x ?7

,x ?7
( ). 1 6? B.? ?3, 11? 1 6? D.? ?2,11?

是定义域上的递减函数,则实数 a 的取值范围是 1 1? A.? ?3,2? 1 2? C.? ?2,3?

解析

? ? ??1-3a?x+10a,x≤7, ∵函数 f(x) = ? x-7 是定义域上的递减函数,∴ ?0<a<1, ?a ,x>7 ? ?

?1-3a<0,

0

??1-3a?×7+10a≥a ,

1-3a<0, ? ? ?0<a<1, ? ?7-11a≥1,

1 6 解得 <a≤ . 3 11

?1? 7.若 x∈(e-1,1),a=ln x,b=? ?ln x,c=eln x,则 a,b,c 的大小关系为( ?2? A.c>b>a B.b>c>a C.a>b>c D.b>a>c

)

?1? 解析:依题意得 a=ln x∈(-1,0),b=? ?ln x∈(1,2),c=x∈(e-1,1),因此 b>c>a,选 B. ?2? 答案:B 8.(2014 年宣城模拟)若 a= A.a>b>c C.c>b>a ln26 ln2π ,b=ln 2×ln 3,c= ,则 a,b,c 的大小关系是( 4 4 B.c>a>b D.b>a>c )

2 ?ln 2+ln 3?2 ln 6 ?= 解析:∵ln 6>ln π >1,∴a>c,排除 B,C;b=ln 2·ln 3<? =a,故选 A. 2 4 ? ?

1 9.若 a=log32,b=ln 2,c=5- ,则下列结论正确的是( 2 A.b<a<c C.c<b<a 解析: a= B.a<b<c D.c<a<b

)

1 1 1 1 1 1 , b= , c= , 因为 5>log23> log2e>1, 所以 < < , 即 c<a<b. log23 log2e 5 5 log23 log2e
的图象

10. (北京四中 2013 届高三上学期期中测验数学(理)试题)已知函数

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如图所示则函数

的图象是

A【解析】由函数的两个根为 x ? a.x ? b ,图象可知 0 ? a ? 1, b ? ?1 .所以根据指数函数的图象可知选 A a 11.函数 f(x)=ax(a>0,a≠1)在[1,2]中的最大值比最小值大 ,则 a 的值为________. 2 a 1 解析 当 0<a<1 时,a-a2= ,∴a= 或 a=0(舍去). 2 2 a 3 1 3 1 3 当 a>1 时,a2-a= ,∴a= 或 a=0(舍去)综上所述,a= 或 .答案 或 2 2 2 2 2 2
?e2x ?x>0?, ? 12.已知实数 a≠1,函数 f(x)=? a-x 若 f(1-a)=f(a-1),则 a 的值为________. ? ?x<0?, ?e

解析 由 f(1-a)=f(a-1),1-a 和 a-1 互为相反数,得 e2(1 =ea
-(1-a)

-a)

=ea

-(a-1)

1 - (1-a>0),解得 a= ,或 e2(a 1) 2

1 (a-1>0),此方程无解,故 a= . 2

13.已知函数 f(x)=

.

(1)若 a=-1,求 f(x)的单调区间;(2)若 f(x)有最大值 3,求 a 的值.



(1)当 a=-1 时,f(x)=

,令 t=-x2-4x+3=-(x+2 )2+7,

1?t 由于 t 在(-∞,-2)上单调递增,在[-2,+∞)上单调递减,而 y=? ?3? 在 R 上单调递减,所以 f(x)在(- ∞,-2)上单调递减,在[-2,+∞)上单调递增,即函数 f(x)的单调递增区间是[-2,+∞),单调递减区 间是(-∞,-2).

?1?h(x ).由于 f(x)有最大值 3,所以 h(x)应有最小值-1,因此必有 2 (2)令 h(x)=ax -4x+3,则 f(x)=? ? ?3?
a>0, ? ? ? 4 - +3=-1, ? ? a
解得 a=1,即当 f(x)有最大值 3 时,a 的值等于 1.

四、提高训练

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1.(2014 年福州模拟)定义两个实数间的一种新运算“*”∶x*y=lg(10x+10y),x,y∈R, 当 x*x=y 时,记 x=* y.对于任意实数 a,b,c,给出如下结论: ①(a*b)*c=a*(b*c);②(a*b)+c=(a+c)*(b+c);③a*b=b*a;④* a*b ≥ 其中正确的结论是________.(写出所有正确结论的序号) 解析:因为 (a*b)*c = [lg(10a + 10b)]*c = lg(10lg(10a + 10b) + 10c) = lg(10a + 10b + 10c) ,

a+b
2

.

a*(b*c) = a*[lg(10b + 10c)] = lg(10a + 10lg(10b + 10c)) = lg(10a + 10b + 10c) ,所以 (a*b)*c = a*(b*c),即①对;(a*b)+c=lg(10a+10b)+c=lg[(10a+10b)×10c]=lg(10a+c+10b+c)=(a+ c)*(b+c),所以②对;因为 a*b=lg(10a+10b),b*a=lg(10b+10a),所以 a*b=b*a,即③对;
设 * a*b=x, 则 x*x = a*b ,所以 lg(10x + 10x)= lg(10a +10b) ,2×10x = 10a + 10b,所以 x = lg 10a+10b 10a+10b 2 10a·10b a+b ,即* a*b=lg ≥lg = ,故④对.综上,正确的结论是:①② 2 2 2 2

③④.答案:①②③④ 2.两个函数的图象经过平移后能够重合,称这两个函数为“同形”函数,给出下列四个函数:

f1(x)=2log2(x+1),f2(x)=log2(x+2),f3(x)=log2x2,f4(x)=log2(2x),
则是“同形”函数的是( A.f2(x)与 f4(x) C.f1(x)与 f4(x) ) B.f1(x)与 f3(x) D.f3(x)与 f4(x)

解析:因为 f4(x)=log2(2x)=1 +log2x,所以 f2(x)=log2(x+2),沿着 x 轴先向右平移 2 个单位得到 y=log2x 的图象,然后再沿着 y 轴向上平移 1 个单位可得到 f4(x)=log2(2x)=1+ log2x, 根据“同形”函数的定义, f2(x)与 f4(x)为“同形”函数. f3(x)=log2x2=2log2|x|与 f1(x) =2log2(x+1)不“同形”,故选 A. 答案:A
3. (2012 北京理)14.已知 f ( x) ? m( x ? 2m)(x ? m ? 3) , g ( x) ? 2
x

? 2 ,若同时满足条件:

① ?x ? R , f ( x) ? 0 或 g ( x) ? 0 ;② ?x ? (??,?4) , f ( x) g ( x) ? 0 . 则 m 的取值范围是_______.
x 【解析】根据 g ( x) ? 2 ? 2 ? 0 ,可解得 x ? 1 .由于题目中第一个条件的限制 ?x ? R , f ( x) ? 0 或 g ( x) ? 0 成

立 的 限 制 , 导 致 ( x ) 在 x ? 1 时 必 须 是 f ( x) ? 0 的 . 当 m ? 0 时 , f ( x) ? 0 不 能 做 到 f ( x ) 在 x ? 1 时

f ( x) ? 0 , 所 以 舍 掉 . 因 此 , f ( x ) 作 为 二 次 函 数 开 口 只 能 向 下 , 故 m ? 0 , 且 此 时 两 个 根 为

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1 ? ? x1 ? 2m ? 1 ?m ? x1 ? 2m , x2 ? ?m ? 3 .为保证此条件成立, 需要 ? ?? 2 ,和大前提 m ? 0 取交集 ? x 2 ? ?m ? 3 ? 1 ?m ? ?4 ?
结果为 ? 4 ? m ? 0 ;又由于条件 2:要求 x ? (??,?4) , f ( x) g ( x) ? 0 的限制,可分析得出在 x ? (??,?4) 时, f ( x) 恒负,因此就需要在这个范围内 g ( x) 有得正数的可能,即 ? 4 应该比 x1 , x2 两根中小的那个大, 当 m ? (?1,0) 时 , ? m ? 3 ? ?4 , 解 得 , 交 集 为 空 , 舍 . 当 m ? ?1 时 , 两 个 根 同 为 ? 2 ? ?4 , 舍 . 当

m ? (?4,?1) 时, 2m ? ?4 ,解得 m ? ?2 ,综上所述 m ? (?4,?2) .【答案】 m ? (?4,?2)

4.(能力提升)已知函数 f(x)=log4(4x+1)+kx(k∈R)为偶函数. (1)求 k 的值; (2)若方程 f(x)=log4(a·2x-a)有且只有一个根,求实数 a 的取值范围. 解析:(1)∵f(x)为偶函数,∴f(-x)=f(x), 1 即 log4(4-x+1)-kx=log4(4x+1)+kx,即(2k+1)x=0,∴k=- . 2
x x ?4 +1= a·2 -a 1 x (2)依题意令 log4(4 +1)- x=log4(a·2 -a),即? x 2 ?a·2 -a>0 x x



令 t=2x,则(1-a)t2+at+1=0,只需其有一正根即可满足题意. ①当 a=1,t=-1 时,不合题意. -a ? ②上式有一正一负根 t , t, 即? 1 tt= <0 1-a ?
1 2 1 2

Δ =a2-

, , 经验证满足 a· 2x-a>0, ∴a>1.

③上式有两根相等,即 Δ =0?a= ±2 2-2,此时 t= 若 a=2( 2-1), 则有 t= -1)舍去; 若 a =- 2( 2 + 1) ,则有 t =

a a-



a a-

<0, 此时方程(1-a)t2+at+1=0 无正根, 故 a=2( 2

a a-

? >0 ,且 a·2x - a = a(t - 1) = a? ?

a a-

? -1? = ?

a
2

-a

a-

>0,因此 a= -2( 2+1).综上所述,a>1 或 a=-2-2 2.

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5、

课后作业:

学生对于本次课的评价: ○ 特别满意 ○ 满意 ○ 一般 ○ 差

学生签字:________ 教师评定: 1、学生上次作业评价: 2、学生本次上课情况评价: ○特别满意 ○特别满意 ○满意 ○满意 ○一般 ○一般 ○差 ○差 教师签字:________

教师评语:

教务处审核:

教导主任签字:________

教务主管签字:__________

龙文教育教务处制

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