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2015省赛


2015 年浙江省高中数学竞赛试卷参考答案
一、选择题(本大题共有 8 小题,每题只有一个正确答案,将正确答案的序号填入题干后
的括号里,多选、不选、错选均不得分,每题 6 分,共 48 分) 1.“a =2, b ? ). a b A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 2. 已知一个角大于 120?的三角形的三边

长分别为 m, m ? 1, m ? 2 ,则实数 m 的取值范围为( ).
2 2 2 ”是“曲线 C: x 2 ? y2 ? 1(a, b ? R, ab ? 0) 经过点 ? 2,1? ”的(

3 3 C. ? m ? 3 2 2 3. 如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M 为 BB1 的中点, 则二面角 M-CD1-A 的余弦值为( ).
A. m ? 1 B. 1 ? m ? A.
3 6

D. m ? 3
D1 A1 B1 M C B C1

B.

1 2

C.

3 3

D.

6 3

4.若实数 a , b 满足 ?b ? a ? 1 ? 0 ,则
? ?a ? 1 ?

?a ? b ? 2 ? 0

a ? 2b 的最大值为 ( 2a ? b

).

D A

A. 1

B.

5 4

C.

7 5

D. 2

第 3 题图

5. 已知等腰直角△PQR 的三个顶点分别在等腰直角△ABC 的三条边上, 记△PQR, △ABC 的面积分别为 S△PQR,S△ABC,则 6. 已知数列 ?an ? 的通项 an ? 实数 x 等于(

S?PQR S?ABC

的最小值为(

).

* nx , n ? N ,若 a 1 ?a2 ? ( x ? 1)(2 x ? 1) (nx ? 1)

? a2015 ? 1 ,则

). A. ? 3
2

B. ? 5

12

C. ? 9

40

D. ? 11

60

7. 若过点 P(1,0) ,Q(2,0) ,R(4,0) ,S(8,0)作四条直线构成一个正方形,则 该正方形的面积不可能 等于 ( ... 8 .若集合 A ? ?(m, n ) (m ? 1) ? (m ? 2) ? ). A. 16
17

B. 36
5

C. 26
5

D.

196 53

? (m ? n ) ? 102015 , m ? Z , n ? N * ? ,则集合 A 中的元素

个数为( ). A.4030 B.4032 C. 20152 D. 20162 二、填空题(本大题共有 7 小题,将正确答案填入题干后的横线上,9-14 每题 7 分,15 题 8 分,共 50 分)

? , 9. 已知函数 f ( x ) 满足 f ( x ? 1) ? f (1 ? x) ? 0 ,f ( x ? 2) ? f (2 ? x) ? 0 , 且 f( ) 1 则 f(
10.若数列 {an } 的前 n 项和 Sn
2

2 3

1000 )? 3




? n 3 ? n 2 , n ? N * ,则 ?
i ?1

2015

1 = ai ? 8i ? 2

11. 已知 F 为抛物线 y ? 5x 的焦点, 点 A (3, 1), M 是抛物线上的动点. 当 | MA | ? | MF | 取最小值时,点 M 的坐标为 .

1

12.若 16

sin 2 x

? 16cos x ? 10 ,则 cos 4 x ?
2

2

.

13. 设函数 f ( x) ? min{x ?1, x ? 1, ? x ? 1} ,其中 min{x, y, z} 表示 x, y , z 中的最小者.若

f (a ? 2) ? f (a ) ,则实数 a 的取值范围为
14. 已知向量 a , b 的夹角为 则 a ? c 的最大值为



?
3

, a ? b ? 5 ,向量 c ? a , c ? b 的夹角为 2? , c ? a ? 2 3 ,
3



, ? Z 15. 设 ab

, 若对任意 x ? 0 , 都有 (ax ? 2)( x 2 ? 2b) ? 0 , 则 a ? ______ , b ?_ _ _ _ _ _ _ .

三、解答题(本大题共有 3 小题,16 题 16 分,17、18 每题 18 分,共 52 分) 16. 设 a, b ? R ,函数 f ( x) ? ax ? b( x ? 1) ? 2 .若对任意实数 b ,方程 f ( x) ? x 有两个
2

相异的实根,求实数 a 的取值范围.

2

17. 已知椭圆 C1 :

3 x2 y 2 2 2 , 右焦点为圆 C2 : ( x ? 3) ? y ? 7 的圆心. ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的离心率为 2 2 a b

(I)求椭圆 C1 的方程; (II)若直线 l 与曲线 C1,C2 都只有一个公共点,记直线 l 与圆 C2 的公共点为 A,求点 A 的坐标.

3

1 ? an ?1 ? an ? , ? ? bn 18.已知数列 ?an ? , ?bn ? 满足 a ? 0, b ? 0, , n ? N * .证明: a50 ? b50 ? 20 . ? 1 1 1 ?bn ?1 ? bn ? an ? ?

四、附加题(本大题共有 2 小题,每题 25 分,共 50 分)
* 附加 1 已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1 , an ?1 ? 3an ? 2 2an ? 1 , n ? N .

2

(I) 证明: ?an ? 是正整数数列;(II) 是否存在 m ? N ,使得 2015 am ,并说明理由.
*

附加 2 设 k 为正整数,称数字 1 ~ 3k ? 1 的排列 x1 , x2 , (1) x1 ? x2 ?

, x3k ?1 为“N 型”的,如果这些数满足 ? x3k ?1 .

? xk ?1 ; (2) xk ?1 ? xk ?2 ?

? x2k ?1 ; (3) x2k ?1 ? x2k ?2 ?

记 dk 为所有“N 型”排列的个数. (I)求 d1 , d2 的值; (II)证明:对任意正整数 k, dk 均为奇数.
4


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