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高一数学必修四 《1.2.1任意角的三角函数(二)》课件


1.2.1 任意角的三角函数(二)

1.进一步巩固任意角的三角函数的定义; 2.掌握三角函数在不同象限内的符号及诱导公式一; 3.了解三角函数线的含义.

三角函数的定义 设α 是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),

sin ? ? y
cos ? ? x
y tan ? ? (

x ? 0) x

α 的终边 P(x,y)

y

O

x

三角函数值的符号
思考:设α 是一个任意的象限角,那么当α 在

第一、二、三、四象限时,sinα 的取值
符号分别如何?cosα ,tanα 的取值符号

分别如何?

三角函数

第一象限

第二象限

第三象限 第四象限

sin ?

+

+ -

-

+ -

cos ?
tan ?

+ +

+

解:(1) 因为 250° 是第三象限角,所以 cos 250? ? 0 ;
? ? (2)因为 ? 是第四象限角,所以 sin( ? ) ? 0 ; 4 4

(3)因为 tan(?672?) ? tan(48? ? 2 ? 360?) ? tan 48?, 而 48? 是第一象限角,所以 tan( ?672?) ? 0 ;
(4)因为 tan3π=tan(π+2π)=tanπ, 而 ? 的终边在 x 轴上,所以 tanπ=0 .

终边相同的角的三角函数值
思考:如果角α 与β 的终边相同,那么sinα 与sinβ 有什 么关系?cosα 与cosβ 有什么关系?tanα 与tanβ 有什么 关系? 终边相同的角的同名三角函数值相等.

例3.求证:当下列不等式组成立时,角θ 为第三象限 角.反之也对. ì sin q 0 ? ? í ? tan q 0 ? ? 证明:我们证明如果①②式都成立,那么θ为第三象 限角. 因为①式sinθ<0成立,所以θ角的终边可能位于 第三或第四象限,也可能与 y 轴的非正半轴重合;又 因为②式tanθ>0成立,所以θ角的终边可能位于第一 或第三象限. 因为①②式都成立,所以θ角只能位于第三象限. 于是θ为第三象限角. 反过来请同学们自己证明.

2p

公式一:

sin(? ? 2 k? ) ? sin ?
cos(? ? 2 k? ) ? cos ?

tan(? ? 2 k? ) ? tan ?

k?Z

可把求任意角的三角函数值的问题,转化为求0°~

360°范围内的三角函数值的问题.

例2.求下列三角函数值

(1) sin1480 ?10?; (2) cos 4 ;
解析:

9?

(3) tan( ?

11? ). 6

(1) sin1480 ?10?= sin(40 ?10? ? 4 ? 360 ?) ? sin 40 ?10 ? ? 0.645;
(2) cos
9? ? ? 2 ? cos( ? 2? )= cos = ; 4 4 4 2
11? ? ? 3 ) ? tan( ? 2? )= tan = . 6 6 6 3

(3) tan( ?

三角函数线
1.单位圆:
以原点O为圆心,以单位长度为半径的圆为单位圆. 2.有向线段: 带有方向(规定了起点和终点)的线段叫做有向线段. 规定:方向与x轴或y轴的正方向一致的为正值,反之为 负值.

请说出OM, MO, AT, TA

,MP, AO的符号.

y
MO,AT为正; OM,TA,MP,AO为负.

T
M

O
P

A(1,0) x

⑴ 图中的圆均为单位圆,作出表示sin? 的有向线段.

sin? =y=MP,所以MP叫做?的正弦线.

y

y

M

?

? M

O
P(x , y)

x

O

x
P(x , y)

⑵图中的圆均为单位圆,作出表示cos?的有向线段.

y

y

M

?

?

M x P(x , y)

O
P(x , y)

x

O

因为cos? =x=OM,所以OM叫?的余弦线.

y ?由于tan? = ,能否找到使x =1的点? x 过点A(1,0)的切线上的点. y ?能否找到有向线段使其大小恰为 ? x

y AT = x
y =AT, 即 tan?= x
AT是?的正切线.

T y P(x , y)

?的终边

?
O

A(1,0)
x

⑶图中的圆均为单位圆,作出表示tan? 的有向线段.

y

T

y

?
O
P(x , y)

A

?
x
O

A

x
P(x , y) T

y 因为tan? = =AT,所以AT是?的正切线. x

三角函数线 把有向线段MP、OM、AT叫做角?的正弦线、余弦线、

正切线.
步骤: ⑴ 找出角的终边与单位圆的交点P. ⑵ 从P点向x轴作垂线,垂足为M. ⑶ 过A(1, 0)作x轴垂线与终边(或反向延长线)交于T.

2? 例5 作出角 的正弦线、余弦线、正切线. 3

y

P(x , y)

A
M

O
T

x

例6

1 在[0, ? ]上满足 sin x ? 的x的取 2 2 值范围是( B )

? ?? A . ? 0, ? ? 6? ? ? 2? ? C. ? , ? ?6 3 ?

? ? 5? ? B. ? , ? ?6 6 ? ? 5? ? D. ? ,? ? ? 6 ?

1. tan600 =( D ) .
o

3 A. ? 3

3 B. 3

C. ? 3

D. 3

. 2. 若 sin θ cos θ ? 0, 则θ是( B )
A. 第一、二象限角 C. 第一、四象限角 B. 第一、三象限角 D. 第二、四象限角

3 3.若 cos θ ? ,且θ ? ? 0, ? 则θ的范围是( B ). 2? 2
? ? ?? A. ?- , ? ? 3 3? ? ? ?? B. ?- , ? ? 6 6? ? ? ?? C. ?- , ? ? 6 3? ? ? ?? D. ?- , ? ? 3 6?

1.三角函数的符号 “一全部,二正弦,三正切,四余弦”. 2. 诱导公式一. 3.三角函数线

把别人的幸福当做自己的幸福,把鲜花奉 献给他人,把棘刺留给自己! ——巴尔德斯


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