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【福州三中5月质检】福州三中2014高三下5月月考数学(理) 含答案改

时间:2014-10-27


【校本试卷】2014-5-2

福州三中 2013-2014 学年第二学期高三数学 5 月月考试卷(理科)
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分共 150 分,考试时间 120 分钟. 注意事项: (1)答题前,考生务必将自己的姓名、考生号码用黑色签字笔填写在答题卡上. (2)每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标

号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选 涂其他答案. (3)考试结束,监考人将答题卡收回.

第 I 卷(选择题共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求 的. 1.若 i 是虚数单位,则 1 ? i 等于( A. 0 B. 4 ) C. 2 D. 2 )

2.设 f: x→|x|是集合 A 到集合 B 的映射,若 A={-1, 0, 1},则 A∩B 只可能是( A.{0} B.{1} C.{0, 1}

D.{-1, 0, 1}

3.设 A,B 为两个互不相同的集合,命题 P: x ? A 或 x ? B ,则 q 是 ? p 的(
?

B , 命题 q: x ? A

) B.充分非必要条件 D.非充分且非必要条件

A.充分且必要条件 C.必要非充分条件

?x ? y ? 3 ? 0 ? 2 2 4.已知实数 x,y 满足 ? x ? y ? 1 ? 0 若 z ? x ? y ,则 z 的最大值为 13 时, ?x ? k ?

k 的值为(
A.

) B. 2 C. 3 D. 4 )

1

5. 某 几 何 体 的 三 视 图 如 图 所 示 , 则 该几何体的表面积为( A. 3+

2 6 B. 3+ 2 2
x

C. 3+

2 6 + 2 2


D.

2 6 + 2 2

6.函数 f ? x ? ? e cos x 的部分图象是(

1 / 17

7.已知某运动员每次投篮命中的概率低于 40%。 现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概 率:先由计算器算出 0 到 9 之间取整数值的随机数,指定 1,2,3,4 表示命中,5,6, ,7,8,9,0 表示不命 中;再以每三个随机数为一组,代表三次投篮的结果。经随机模拟产生了 20 组随机数: 458 431 569 257 683 393 907 027 966 556 191 488 925 730 ( ) 271 113 932 537 812 989

据此估计,该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为 A 0.15 B.0.20 C 0.25 D.0.35

8.已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1,an?1 ? 2an ? n ? 1,若利用如图所示的程序框图进行运算,则输出 n 的值为( A. 9 B. 10 C. 11 D. 12



x2 y2 9.设 F1 , F2 为椭圆 C1 : 2 ? 2 ? 1(a>b>0) 与双曲线 C2 的公共点左右焦点,它们在第一象 a b
限内交于点 M ,△ MF1 F2 是以线段 MF 1 为底边的等腰三角形,且 MF 1 ? 2 .若椭圆 C1 的离心 率 e ? ? , ? ,则双曲线 C2 的离心率取值范围是( 8 9 A. ? , ? 4 3

?3 4 ? ? ?



?5 5? ? ?

B. ? ,?? ?

?3 ?2

? ?

C. ?1,4?

D. ? ,4? 2

?3 ? ? ?

10. 设 M 是含 n( n ? 2) 个元素的集合,A、B 是 M 中的两个互不相交的子集,分别含有 m、 k、 ( m, k ? 1, m ? k ? n) 个元素,则 M 中即不包含 A 也不包含 B 的子集的个数是( A. 2
n?m
n



? 2 n?k ? 2 n ?m?k
n?m

B. 2

n?m?k
n ?1

C. 2 ? 2

? 2 n?k ? 2 n?m?k

D. 2

? 2 n ?m ? 2 n ?k ? 2 n?m?k

第 II 卷(非选择题共 100 分)
二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分,把答案填在答题卡的相应位置. 11.设 ?1 ?

? ?

2? ?1? ?1? ?1? ?1? ? ? a0 ? a1 ? ? ? a2 ? ? ? a3 ? ? ? a4 ? ? , 则 a 2 ? a 4 的值是 x? ? x? ? x? ? x? ? x?
种.

4

2

3

4

12.为了落实大学生村官下乡建设社会主义新农村政策,将 5 名大学生村官分配到某个镇的 3 个村就职,每镇至 少 1 名,最多 2 名,则不同的分配方案有

13.在 ?ABC 中,已知向量 AB ? (cos18? , cos72? ) , BC ? (2 cos63? ,2 cos27? ) ,则 ?ABC 的面积等于 ______________ 14.在计算“1?2+2?3+...+n(n+1) ”时,某同学学到了如下一种方法: 先改写第 k 项:k(k+1)= [k (k ? 1)( k ? 2) ? (k ? 1)k (k ? 1)] ,由此得 1?2- (1? 2 ? 3 ? 0 ? 1? 2) .

1 3

1 3

2 / 17

1 1 2 ? 3 ? (2 ? 3 ? 4 ? 1? 2 ? 3) ,............, n(n ? 1) ? [n(n ? 1)( n ? 2) ? (n ? 1)n(n ? 1)] .相加,得 1?2+2?3+...+n 3 3
(n+1) ?

1 ( n ? 1)( n ? 2) .类比上述方法,请你计算“1?2?3?4+2?3?4?+....+ n(n ? 1)(n ? 2)(n ? 3) ” ,其结 3

果是_________________.(结果写出关于 n 的一次因式的积的形式) 15.若存在实常数 k 和 b ,使得函数 f ( x ) 和 g ( x) 对其定义域内的任意实数 x 分别满足 f ( x) ? kx ? b 和

g ( x) ? kx ? b ,则称直线 l : y ? kx ? b 为 f ( x) 和 g ( x) 的“分界直线”.已知函数 f ( x) ? 2x2 ? 4 和函数

g ( x) ? 4ln x-2 ,那么函数 f ( x) 和函数 g ( x) 的分界直线方程为_________.

三.解答题:本大题共 6 小题,共 80 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分 13 分)某联欢晚会举行抽奖活动,举办方设置了甲、乙两种抽奖方案,方案甲的中奖率为

2 3



中奖可以获得 2 分;方案乙的中奖率为 P ,中奖可以获得 3 分;未中奖则不得分.每人有且只有一次 0 (0 ? P 0 ? 1) 抽奖机会,每次抽奖中奖与否互不影响,晚会结束后凭分数兑换奖品. (Ⅰ)张三选择方案甲抽奖,李四选择方案乙抽奖,记他们的得分合计为 X,当 X ? 5 时的概率为 值,并求当 X≤3 时的概率; (Ⅱ)若张三、李四两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖,问:他们选择何种方案抽奖,累计得分的数学 期望较大?

2 ,求 P0 的 9

17.(本小题满分 13 分) 在四棱锥 PABCD 中,侧面 PCD⊥底面 ABCD,PD⊥CD,底面 ABCD 是直角梯形,AB∥CD,∠ADC=90°,AB=AD =PD=1,CD=2. (1)求证:BC⊥平面 PBD; → → (2)设 E 为侧棱 PC 上一点, PE=λ PC,试确定 λ 的值, 使得二面角 EBDP 的大小为 45°.

3 / 17

18.(本小题满分 13 分)

已知椭圆 C :

3 1 x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 经过点 M (1, ), 离心率为 . (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; 2 2 2 a b

(Ⅱ)设直线 l 与椭圆 C 相交于 A、B 两点,以线段 OA、OB 为邻边作平行四边形 OAPB,其中顶点 P 在椭圆 C 上,O 为坐标原点,求 O 到直线 l 的距离的最小值.

19. (本小题满分 13 分)

4 / 17

20、 (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ?

1 3 x ? ax 2 ? bx ,且 f '(?1) ? 0 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 3

(1) 试用含 a 的代数式表示 b,并求 f ( x ) 的单调区间; (2)令 a ? ?1 ,设函数 f ( x ) 在 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) 处取得极值,记点 M ( x1 , f ( x1 ) ),N( x2 , f ( x2 ) ),P( m, f ( m) ),

x1 ? m ? x2 ,请仔细观察曲线 f ( x) 在点 P 处的切线与线段 MP 的位置变化趋势,并解释以下问题:
(I)若对任意的 m ? ( t , x 2 ),线段 MP 与曲线 f(x)均有异于 M,P 的公共点,试确定 t 的最小值,并证明你的结 论; (II) 若存在点 Q(n ,f(n)), x ? n< m,使得线段 PQ 与曲线 f(x)有异于 P、 Q 的公共点, 请直接写出 m 的取值范围 (不 必给出求解过程)w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

5 / 17

21.本题设有(1) 、 (2) 、 (3)三个选考题,每题 7 分,请考生任选 2 题作答,满分 14 分。如果多做,则按所做 的前两题计分。作答时,先用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右边的方框图黑,并将所选题号填入括号 中。 (1) (本小题满分 7 分)选修 4-2:矩阵与变换 设 M 是把坐标平面上的点的横坐标伸长到 2 倍,纵坐标伸长到 3 倍的伸缩变换. (Ⅰ)求矩阵 M 的特征值及相应的特征向量; (Ⅱ)求逆矩阵 M
?1

以及椭圆

x2 y 2 ? ? 1 在 M ?1 的作用下的新曲线的方程. 4 9

(2) (本小题满分 7 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知直线 (t 为参数)与圆 C: (θ 为参数)相交于 A,B 两点,m 为常数.

(1)当 m=0 时,求线段 AB 的长; (2)当圆 C 上恰有三点到直线的距离为 1 时,求 m 的值.

(3) (本题满分 7 分)选修 4-5:不等式选讲 选修 4-3(不等式选讲) 设函数 f ( x) ? x ? a ? 3x ,其中 a ? 0 。 (Ⅰ)当 a ? 1 时,求不等式 f ( x) ? 3x ? 2 的解集; (Ⅱ)若不等式 f ( x) ? 0 的解集为 ?x | x ? ?1

?

,求 a 的值。

6 / 17

【校本试卷】2014-5-2

福州三中 2013-2014 学年第二学期高三数学 5 月月考试卷(理科)
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分共 150 分,考试时间 120 分钟. 注意事项: (4)答题前,考生务必将自己的姓名、考生号码用黑色签字笔填写在答题卡上. (5)每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选 涂其他答案. (6)考试结束,监考人将答题卡收回.

第 I 卷(选择题共 50 分)
二、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求 的. 1.若 i 是虚数单位,则 1 ? i 等于( A. 0 B. 4 ) C. 2 D. 2

2 2 【解析】D. | 1 - i |? 1 ? (?1) ?

2.


2.设 f: x→|x|是集合 A 到集合 B 的映射,若 A={-1, 0, 1},则 A∩B 只可能是( A.{0} B.{1} C.{0, 1}

D.{-1, 0, 1}

【解题思路】 :C 由映射定义及给定法则 f 知,{0, 1} ? B,且-1 ? B,∴A∩B={0, 1},故选 C 3.设 A,B 为两个互不相同的集合,命题 P: x ? A 或 x ? B ,则 q 是 p 的( B ) A.充分且必要条件 C.必要非充分条件 B.充分非必要条件 D.非充分且非必要条件
?

B , 命题 q: x ? A

?

?x ? y ? 3 ? 0 ? 2 2 4.已知实数 x,y 满足 ? x ? y ? 1 ? 0 若 z ? x ? y ,则 z 的最大值为 13 时, ?x ? k ?

k 的值为( B )
A.

1

B. 2

C. 3

D. 4 C )

5. 某 几 何 体 的 三 视 图 如 图 所 示 , 则 该几何体的表面积为( A. 3+

2 6 B. 3+ 2 2

C. 3+

2 6 + 2 2

D.

2 6 + 2 2

7 / 17

6.函数 f ? x ? ? e cos x 的部分图象是( A
x



7.已知某运动员每次投篮命中的概率低于 40%。 现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概 率:先由计算器算出 0 到 9 之间取整数值的随机数,指定 1,2,3,4 表示命中,5,6, ,7,8,9,0 表示不命 中;再以每三个随机数为一组,代表三次投篮的结果。经随机模拟产生了 20 组随机数: 458 431 569 257 683 393 907 027 966 556 191 488 925 730 271 113 932 537 812 989

据此估计,该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为 A 0.15 B.0.20 C 0.25 D.0.35

( C )

8.已知数列 ?an ? 中, 若利用如图所示的程序框图进行运算, 则输出 n 的值为 ( a1 ? 1,an?1 ? 2an ? n ? 1, A. 9 B. 10 C. 11 D. 12

C



9.设 F1 , F2 为椭圆 C1 :

x2 y2 ? ? 1(a>b>0) 与双曲线 C2 的公共点左右焦点,它们在第一象 a 2 b2

限内交于点 M ,△ MF1 F2 是以线段 MF 1 为底边的等腰三角形,且 MF 1 ? 2 .若椭圆 C1 的离心 率 e ? ? , ? ,则双曲线 C2 的离心率取值范围是( D ) 8 9 A. ? , ? 4 3

?3 4 ? ? ?

?5 5? ? ?

B. ? ,?? ?

?3 ?2

? ?

C. ?1,4?

D. ? ,4? 2

?3 ? ? ?

10. 设 M 是含 n( n ? 2) 个元素的集合,A、B 是 M 中的两个互不相交的子集,分别含有 m、 k、 ( m, k ? 1, m ? k ? n) 个元素,则 M 中即不包含 A 也不包含 B 的子集的个数是( A. 2
n?m
n



? 2 n?k ? 2 n ?m?k
n?m

B. 2

n?m?k
n ?1

C. 2 ? 2

? 2 n?k ? 2 n?m?k

D. 2

? 2 n ?m ? 2 n ?k ? 2 n?m?k

【解析】C.令 M 中包含 A 的子集组成的集合记为 P,包含 B 的子集组成的几何记为 Q,则 M 中包含 A 或包含 B 的子集的个数为 2
n?m

? 2 n?k ? 2 n?( m? k ) ,从而 M 中即不包含 A 也不包含 B 的子集个数为 2 n ?

(2 n?m ? 2 n?k ? 2 n?( m?k ) ) = 2 n ? 2 n ?m ? 2 n?k ? 2 n?m?k ,因此选 C.也可以利用特殊值法进行检验求解.

8 / 17

第 II 卷(非选择题共 100 分)
二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分,把答案填在答题卡的相应位置. 11.设 ?1 ?

? ?

2? ?1? ?1? ?1? ?1? ? ? a0 ? a1 ? ? ? a2 ? ? ? a3 ? ? ? a4 ? ? , 则 a 2 ? a4 的值是 40 x? ? x? ? x? ? x? ? x?
90 种.

4

2

3

4

12.为了落实大学生村官下乡建设社会主义新农村政策,将 5 名大学生村官分配到某个镇的 3 个村就职,每镇至 少 1 名,最多 2 名,则不同的分配方案有

13.在 ?ABC 中,已知向量 AB ? (cos18? , cos72? ) , BC ? (2 cos63? ,2 cos27? ) ,则 ?ABC 的面积等于 ______________ 【解析】

2 2
1 3

14.在计算“1?2+2?3+...+n(n+1) ”时,某同学学到了如下一种方法: 先改写第 k 项:k(k+1)= [k (k ? 1)( k ? 2) ? (k ? 1)k (k ? 1)] ,由此得 1?2- (1? 2 ? 3 ? 0 ? 1? 2) .

1 3

1 1 2 ? 3 ? (2 ? 3 ? 4 ? 1? 2 ? 3) ,............, n(n ? 1) ? [n(n ? 1)( n ? 2) ? (n ? 1)n(n ? 1)] .相加,得 1?2+2?3+...+n 3 3
(n+1) ?

1 ( n ? 1)( n ? 2) .类比上述方法,请你计算“1?2?3?4+2?3?4?+....+ n(n ? 1)(n ? 2)(n ? 3) ” ,其结 3

果是_________________.(结果写出关于 n 的一次因式的积的形式) 【解析】 1 n(n ? 1)(n ? 2)(n ? 3)(n ? 4)

5

15.若存在实常数 k 和 b ,使得函数 f ( x ) 和 g ( x) 对其定义域内的任意实数 x 分别满足 f ( x) ? kx ? b 和

g ( x) ? kx ? b ,则称直线 l : y ? kx ? b 为 f ( x) 和 g ( x) 的“分界直线”.已知函数 f ( x) ? 2x2 ? 4 和函数 g ( x) ? 4ln x-2 ,那么函数 f ( x) 和函数 g ( x) 的分界直线方程为_____ 4 x ? y ? 6 ? 0 ____.
三.解答题:本大题共 6 小题,共 80 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分 13 分)某联欢晚会举行抽奖活动,举办方设置了甲、乙两种抽奖方案,方案甲的中奖率为

2 3



中奖可以获得 2 分;方案乙的中奖率为 P ,中奖可以获得 3 分;未中奖则不得分.每人有且只有一次 0 (0 ? P 0 ? 1) 抽奖机会,每次抽奖中奖与否互不影响,晚会结束后凭分数兑换奖品. (Ⅰ)张三选择方案甲抽奖,李四选择方案乙抽奖,记他们的得分合计为 X,当 X ? 5 时的概率为 值,并求当 X≤3 时的概率; (Ⅱ)若张三、李四两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖,问:他们选择何种方案抽奖,累计得分的数学 期望较大? 2 (Ⅰ )由已知得,张三中奖的概率为 ,李四中奖的概率为 P0 ,且两人中奖与否互不影响.记“这 2 人的累计得分 3 X≤3”的事件为 A,则事件 A 的对立事件为“X=5”,

2 ,求 P0 的 9

9 / 17

1 7 1 2 2 因为 P(X=5)= ×P0 ? ,解得 P0 ? ,且 P (A)=1-P(X=5)=1- ×P0 = 。 .……6 分 3 3 3 9 9
(Ⅱ )设张三、李四都选择方案甲抽奖中奖次数为 X1,都选择方案乙抽奖中奖次数为 X2, 则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为 E(2X1), 选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为 E(3X2). 2? 2 4 由已知可得,X1~B? = ,E(X2)=2×P0 , 0 ? ,所以 E(X1)=2× ?2,3?,X2~B ? 2, P 3 3 8 从而 E(2X1)=2E(X1)= ,E(3X2)=3E(X2)=6 P0 . 3

. 17.(本小题满分 13 分) 在四棱锥 PABCD 中,侧面 PCD⊥底面 ABCD,PD⊥CD,底面 ABCD 是直角梯形,AB∥CD,∠ADC=90°,AB=AD =PD=1,CD=2. (1)求证:BC⊥平面 PBD; → → (2)设 E 为侧棱 PC 上一点, PE=λ PC,试确定 λ 的值, 使得二面角 EBDP 的大小为 45°.

(1)证明: 平面 PCD⊥底面 ABCD, PD⊥CD, 所以 PD⊥平面 ABCD.所以 PD⊥AD. 如图,以 D 为原点建立空间直角坐标系 Dxyz. 则 A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,2,0), P(0,0,1), → → DB=(1,1,0),BC=(-1,1,0). → → 所以BC?DB=0,BC⊥DB. 又由 PD⊥平面 ABCD,可得 PD⊥BC, 所以 BC⊥平面 PBD. → → → (2)解析: 平面 PBD 的法向量为BC=(-1,1,0), PC=(0,2, -1), PE → =λ PC,λ ∈(0,1),所以 E(0,2λ , 1-λ ). 设平面 EBD 的法向量为 n=(a,b,c), → → DB=(1,1,0),DE=(0,2λ ,1-λ ).

10 / 17

? ?a+b=0, → → 由 n?DB=0,n?DE=0,得? ?2λ b+(1-λ )c=0. ? → n?BC 由 cos 45°= ,解得 λ = 2-1. → |n| BC

2λ ? ? 可取 n=?-1,1, . λ -1? ? ?

| |

18.(本小题满分 13 分)

已知椭圆 C :

3 1 x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 经过点 M (1, ), 离心率为 . (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; 2 2 2 a b

(Ⅱ)设直线 l 与椭圆 C 相交于 A、B 两点,以线段 OA、OB 为邻边作平行四边形 OAPB,其中顶点 P 在椭圆 C 上,O 为坐标原点,求 O 到直线 l 的距离的最小值. 【解析】 (Ⅰ)由已知, e ?
2

1 3 1 9 2 2 所以 3a ? 4b .又点 M (1, ) 在椭圆 C 上,可以得 2 ? 2 ? 1,所以椭圆方 4 2 a 4b

? y ? kx ? m, x2 y 2 ? ? ? 1 . (Ⅱ) 当直线 l 斜率存在 时,设 方程为 y ? kx ? m , 则由 ? x 2 y 2 程为 消去 y,得 4 3 ? ? 1 ? 3 ?4

( x2 , y2 )、 ( x0 , y0 ) , (3 ? 4k 2 ) x2 ? 8kmx ? 4m2 ?12 ? 0 .设点 A, B, P 的坐标分别为 ( x1 , y1 )、
则 x0 =x1 ? x2 ? ?

8km 6m , y0 ? y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 2m ? . ??????????6 分 2 3 ? 4k 3 ? 4k 2

P( x0 , y0 ) 在椭圆上,可得
2

16k 2 m2 12m2 ? ? 1 ,化简得 3 ? 4k 2 =4m2 . 2 2 2 2 (3 ? 4k ) (3 ? 4k )
2

需满足 ? ? 48(3 ? 4k ? m ) ? 0 .?????????????????8 分

3 ? k2 1 1 3, 4 又点 O 到直线 l 的距离为 d= = ? 1? ? 1? ? 2 2 2 4(1 ? k ) 4 2 1? k 1? k m
当且仅当 k ? 0 时等号成立.?????????????????10 分 当直线 l 斜率不存在时,由对称性知,点 P 一定在 x 轴上,从而 P(?2, 0) , (2, 0) , 此时,直线 l 为 x ? 1 或 x ? ?1 ,所以点 O 到直线 l 的距离为 1. 所以点 O 到直线 l 的距离的最小值为 3 .?????????????????12 分
2

19. (本小题满分 13 分)

11 / 17

12 / 17

20、 (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ?

1 3 x ? ax 2 ? bx ,且 f '(?1) ? 0 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 3

(1) 试用含 a 的代数式表示 b,并求 f ( x ) 的单调区间; (2)令 a ? ?1 ,设函数 f ( x ) 在 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) 处取得极值,记点 M ( x1 , f ( x1 ) ),N( x2 , f ( x2 ) ),P( m, f ( m) ),

x1 ? m ? x2 ,请仔细观察曲线 f ( x) 在点 P 处的切线与线段 MP 的位置变化趋势,并解释以下问题:
(I)若对任意的 m ? ( t , x 2 ),线段 MP 与曲线 f(x)均有异于 M,P 的公共点,试确定 t 的最小值,并证明你的结 论; (II) 若存在点 Q(n ,f(n)), x ? n< m,使得线段 PQ 与曲线 f(x)有异于 P、 Q 的公共点, 请直接写出 m 的取值范围 (不 必给出求解过程)w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 20.解法一: (Ⅰ)依题意,得 f '( x) ? x2 ? 2ax ? b

13 / 17

由 f '(?1) ? 1 ? 2a ? b ? 0得b ? 2a ? 1 .

1 从而 f ( x) ? x3 ? ax2 ? (2a ? 1) x, 故f '( x) ? ( x ? 1)( x ? 2a ? 1). 3
令 f '( x) ? 0, 得x ? ?1或x ? 1 ? 2a. ①当 a>1 时, 1 ? 2a ? ?1 当 x 变化时, f '( x) 与 f ( x ) 的变化情况如下表:

(??,1 ? 2a)
x

(1 ? 2a, ?1)

(?1, ??)

f '( x) f ( x)

+ 单调递增

- 单调递减

+ 单调递增

由此得,函数 f ( x ) 的单调增区间为 (??,1 ? 2a) 和 (?1, ??) ,单调减区间为 (1 ? 2a, ?1) 。 ②当 a ? 1 时, 1 ? 2a ? ?1 此时有 f '( x) ? 0 恒成立,且仅在 x ? ?1 处 f '( x) ? 0 ,故函数 f ( x ) 的单调增区间为 R ③当 a ? 1 时, 1 ? 2a ? ?1同理可得,函数 f ( x ) 的单调增区间为 (??, ?1) 和 (1 ? 2a, ??) ,单调减区间为

(?1,1 ? 2a)
综上: 当 a ? 1 时,函数 f ( x ) 的单调增区间为 (??,1 ? 2a) 和 (?1, ??) ,单调减区间为 (1 ? 2a, ?1) ; 当 a ? 1 时,函数 f ( x ) 的单调增区间为 R; 当 a ? 1 时,函数 f ( x ) 的单调增区间为 (??, ?1) 和 (1 ? 2a, ??) ,单调减区间为 (?1,1 ? 2a) . (Ⅱ)由 a ? ?1 得 f ( x) ?

1 3 x ? x 2 ? 3x 令 f ( x) ? x2 ? 2x ? 3 ? 0 得 x1 ? ?1, x2 ? 3 3

由(1)得 f ( x ) 增区间为 (??, ?1) 和 (3, ??) ,单调减区间为 (?1,3) ,所以函数 f ( x ) 在处 x1 ? ?1, x2 ? 3 取得极 值,故 M( ?1,

5 )N( 3, ?9 ) 。 3

观察 f ( x ) 的图象,有如下现象: ①当 m 从-1(不含-1)变化到 3 时,线段 MP 的斜率与曲线 f ( x ) 在点 P 处切线的斜率 f ( x ) 之差 Kmp- f '(m) 的 值由正连续变为负。 ②线段 MP 与曲线是否有异于 H,P 的公共点与 Kmp- f '(m) 的 m 正负有着密切的关联;

14 / 17

③Kmp- f '(m) =0 对应的位置可能是临界点,故推测:满足 Kmp- f '(m) 的 m 就是所求的 t 最小值,下面给出 证明并确定的 t 最小值.曲线 f ( x ) 在点 P(m, f (m)) 处的切线斜率 f '(m) ? m2 ? 2m ? 3 ; 线段 MP 的斜率 Kmp ?

m 2 ? 4m ? 5 3

当 Kmp- f '(m) =0 时,解得 m ? ?1或m ? 2 直线 MP 的方程为 y ? (

m 2 ? 4m ? 5 m 2 ? 4m x? ) 3 3

令 g ( x) ? f ( x) ? (

m 2 ? 4m ? 5 m 2 ? 4m x? ) 3 3

当 m ? 2 时,g '( x) ? x2 ? 2 x 在 (?1, 2) 上只有一个零点 x ? 0 , 可判断 f ( x ) 函数在 (?1, 0) 上单调递增, 在 (0, 2) 上单调递减,又 g (?1) ? g (2) ? 0 ,所以 g ( x) 在 (?1, 2) 上没有零点,即线段 MP 与曲线 f ( x ) 没有异于 M,P 的公共点。 当 m ? ? 2,3? 时, g (0) ? ?

m 2 ? 4m ? 0 . g (2) ? ?(m ? 2)2 ? 0 3

所以存在 m ? ? 0,2? 使得 g (? ) ? 0 即当 m ? ? 2,3?时, MP 与曲线 f ( x ) 有异于 M,P 的公共点 综上,t 的最小值为 2. (2)类似(1)于中的观察,可得 m 的取值范围为 ?1,3? 解法二: (1)同解法一. (2)由 a ? ?1 得 f ( x) ? ?

1 3 x ? x 2 ? 3 x ,令 f '( x) ? x2 ? 2x ? 3 ? 0 ,得 x1 ? ?1, x2 ? 3 3

由( 1 )得的 f ( x ) 单调增区间为 (??, ?1) 和 (3, ??) ,单调减区间为 (?1,3) ,所以函数在处取得极值。故 M( ?1,

5 ).N( 3, ?9 ) 3
m2 ? 4m ? 5 m2 ? 4m x? . 3 3

(Ⅰ) 直线 MP 的方程为 y ?

? m 2 ? 4m ? 5 m 2 ? 4m y ? x ? ? ? 3 3 由? ? y ? 1 x3 ? x 2 ? 3x ? 3 ?

得 x3 ? 3x2 ? (m2 ? 4m ? 4) x ? m2 ? 4m ? 0
15 / 17

线段 MP 与曲线 f ( x) 有异于 M,P 的公共点等价于上述方程在(-1,m)上有根,即函数
g ( x) ? x3 ? 3x2 ? (m2 ? 4m ? 4) x ? m2 ? 4m在(-1,m) 上有零点.

因为函数 g ( x) 为三次函数,所以 g ( x) 至多有三个零点,两个极值点. 又 g (?1) ? g (m) ? 0 .因此, g ( x) 在 (?1, m) 上有零点等价于 g ( x) 在 (?1, m) 内恰有一个极大值点和一个极小值点,即
g '( x) ? 3x2 ? 6 x ? (m2 ? 4m ? 4) ? 0在(1, m) 内有两不相等的实数根.
??=36 ? 12 (m2 ? 4m ? 4)>0 ? 2 2 ?3(?1) ? 6 ? (m ? 4m ? 4) ? 0 等价于 ? 2 2 ?3m ? 6m ? (m ? 4m ? 4) ? 0 ?m ? 1 ?
??1 ? m ? 5 ? 即 ?m ? 2或m ? ?1, 解得2 ? m ? 5 ?m ? 1 ?

又因为 ?1 ? m ? 3 ,所以 m 的取值范围为(2,3) 从而满足题设条件的 r 的最小值为 2. 21.本题设有(1) 、 (2) 、 (3)三个选考题,每题 7 分,请考生任选 2 题作答,满分 14 分。如果多做,则按所做 的前两题计分。作答时,先用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右边的方框图黑,并将所选题号填入括号 中。 (1) (本小题满分 7 分)选修 4-2:矩阵与变换 设 M 是把坐标平面上的点的横坐标伸长到 2 倍,纵坐标伸长到 3 倍的伸缩变换. (Ⅰ)求矩阵 M 的特征值及相应的特征向量;

x2 y 2 ? ? 1 在 M ?1 的作用下的新曲线的方程. (Ⅱ)求逆矩阵 M 以及椭圆 4 9
?1

【解析】 (Ⅰ)由条件得矩阵 M ? ?

?2 ?0

0? ,??????????????????1 分 3? ? ?1 ? ?0? ?0? ?1 ?

它的特征值为 2 和 3 ,对应的特征向量为 ? ? 及 ? ? ;???????????3 分

?1 ?2 ?1 (Ⅱ) M ? ? ?0 ? ?
椭圆

? 0? ? ,????????????????????????5 分 1? ? 3?

x2 y 2 ? ? 1 在 M ?1 的作用下的新曲线的方程为 x2 ? y 2 ? 1.??????7 分 4 9

(2) (本小题满分 7 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知直线 (t 为参数)与圆 C: (θ 为参数)相交于 A,B 两点,m 为常数.

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(1)当 m=0 时,求线段 AB 的长; (2)当圆 C 上恰有三点到直线的距离为 1 时,求 m 的值. 【解析】 (1)由直线 (t 为参数)消去参数化为普通方程 l:x+y﹣1=0,

当 m=0 时,圆 C: r=2. ∴圆心 C 到直线 l 的距离为 d=

(θ 为参数)消去参数 θ 得到曲线 C:x +y =4,圆心 C(0,0) ,半径

2

2

,∴|AB|=2

=

.???????????3 分

(2)由(1)可知:x+y﹣1=0, 又把圆 C 的参数方程的参数 θ 消去可得:x +(y﹣m) =4,∴圆心 C(0,m) ,半径 r=2. 只要圆心 C 到直线 l 的距离=1 即可满足:圆 C 上恰有三点到直线的距离为 1 的条件. 由 d= ∴m=1+ =1,解得 m﹣1=± 或 m=1﹣ . , ???????????7 分
2 2

(3) (本题满分 7 分)选修 4-5:不等式选讲 选修 4-3(不等式选讲) 设函数 f ( x) ? x ? a ? 3x ,其中 a ? 0 。 (Ⅰ)当 a ? 1 时,求不等式 f ( x) ? 3x ? 2 的解集; (Ⅱ)若不等式 f ( x) ? 0 的解集为 ?x | x ? ?1

?

,求 a 的值。

【解析】 (Ⅰ)当 a ? 1 时, f ( x) ? 3x ? 2 可化为 | x ? 1|? 2 。 由此可得

x ? 3 或 x ? ?1 。

故不等式 f ( x) ? 3x ? 2 的解集为 {x | x ? 3 或 x ? ?1} 。???????????3 分 ( Ⅱ) 由 f ( x ) ? 0 得

x ? a ? 3x ? 0
?x ? a ? x ? a ? 3x ? 0
或?

此不等式化为不等式组 ?

?x ? a ?a ? x ? 3 x ? 0
a = 2

?x ? a ? ? a 即 x? ? ? 4
?1 ,故 a ? 2 。

?x ? a ? a ? a 或 x ? ? 因为 a ? 0 ,所以不等式组的解集为 ? x | x ? ? ? 2 ? 2

?

由题设可得 ? ,

???????????7 分
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