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2015年北京市丰台区初三一模数学试题及答案


丰台区 2015 年度初三毕业及统一练习 数
学校






姓名

2015.5 准考证号

考 生 须 知

1.本试卷共 8 页,共五道大题,29 道小题,满分 120 分.考试时间 120 分钟. 2.在试卷和答题卡上准确填写

学校名称、姓名和准考证号. 3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效. 4.在答题卡上,选择题、作图题用 2B 铅笔作答,其他试题用黑色字迹签字笔作答. 5.考试结束,将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回.

一、选择题(本题共 30 分,每小题 3 分) 下面各题均有四个选项,其中只有一个 是符合题意的. .. 1.如图,数轴上有 A,B,C,D 四个点,其中绝对值为 2 的数对应的点是 A.点 A 与点 C C.点 B 与点 C B.点 A 与点 D D.点 B 与点 D

A -2

B -1 0

C 1

D 2

2.南水北调工程是迄今为止世界上规模最大的调水工程. 2015 年 3 月 25 日,记者从北京市南水北调办获 悉,北京自来水厂每日利用南水约 1 300 000 立方米.将 1 300 000 用科学记数法表示应为 A. 0.13 ? 107 B. 1.3 ? 107 C. 1.3 ? 106 D. 13 ? 105

3. 下面平面图形中能围成三棱柱的是

A

B

C

D

E

4.如图, AB ∥ CD , AB 与 EC 交于点 F ,如果 EA ? EF , ?C ? 110? , 那么 ?E 等于 A. 30 ? B. 40 ? C. 70 ?
A F C B D

D. 110?

5. 如图,数轴上表示的是某不等式组的解集,那么这个不等式组可能是

3

2

1 0

1

2

3

4

? x≥ ? 2 A. ? ? x>3

? x< ? 2 B. ? ? x≤3

? x< ? 2 C. ? ? x≥3

? x> ? 2 D. ? ? x≤3

6. 关于 x 的一元二次方程 mx 2 ? 2 x ? 1 ? 0 有两个实数根,那么字母 m 的取值范围是 A. m≥-1 B. m>-1 C. m≥-1且m ? 0 D. m>-1且m ? 0

1

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7. 某小组在“用频率估计概率”的实验中,统计了某种结果出现的频率,绘制了下边的折线图,那么符合这 一结果的实验最有可能的是 A.在“石头、剪刀、布”的游戏中,小明随机出的是“剪刀” B.袋子中有 1 个红球和 2 个黄球,它们只有颜色上的区别, 从中随机地取出一个球是黄球 C.掷一枚质地均匀的硬币,落地时结果是“正面向上” D.掷一个质地均匀的正六面体骰子,落地时面朝上的点数是 6 8. 代数式 x 2 ? 4 x ? 5 的最小值是 A.-1 B.1 C.2 D.5
y(元) 1460 900

频率 0.25 0.20 0.15 0.10 0.05 0

100 200 300 400 500

次数

9. 为增强居民的节水意识,某市自 2014 年实施“阶梯水价”. 按照“阶梯 水价”的收费标准,居民家庭每年应缴水费 y(元)与用水量 x(立 方米) 的函数关系的图象如图所示.如果某个家庭 2014 年全年上缴水 费 1180 元,那么该家庭 2014 年用水的总量是 A.240 立方米 C.220 立方米 B.236 立方米 D.200 立方米

0

180 260

x(立方米)

M A

10.如图,一根长为 5 米的竹竿 AB 斜立于墙 MN 的右侧,底端 B 与墙角 N 的距离为 3 米,当竹竿顶端 A 下滑 x 米时,底端 B 便随着向右滑行 y 米,反映 y 与 x 变化 关系的大致图象是
N B

A

B

C

D

二、填空题(本题共 18 分,每小题 3 分) 11.分解因式:2mx2-4mx+2m= .

12. 某中学随机调查了 15 名学生,了解他们一周在校的体育锻炼时间,结果如下表所示: 一周在校的体育锻炼时间(小时) 人数 那么这 15 名学生这一周在校参加体育锻炼的时间的众数是 5 2 6 5 7 6 8 2 小时.

2

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13.如图,A,B,C 三点都在⊙O 上,如果∠AOB=80° ,那么∠ACB=

°.

O

C

1) 14.请写出一个图象经过点( ?1, ,并且在第二象限内函数值随着自变量的增大而
增大的函数的表达式: .

A

B

15.如图,O 为跷跷板 AB 的中点,支柱 OC 与地面 MN 垂直,垂足为 点 C,且 OC=50cm,当跷跷板的一端 B 着地时,另一端 A 离地面 的高度为 cm.

A O B M C N

16.右图为某三岔路口交通环岛的简化模型.在某高峰时段,单位时间进出路口 A,B,C 的机动车辆数如 图所示,图中 x1 , x2 , x3 分别表示该时段单位时间通过路段 AB , BC ,
30
C x3 A x1 x2

20

CA 的机动车辆数(假设:单位时间内,在上述路段中,同一路段上驶
入 与 驶 出 的 车 辆 数 相 等 ), 则 x1 , x2 , x3 的 大 小 关 系 是 .(用“>” 、 “<”或“=”连接)
35 30

B

50 55

三、解答题(本题共 30 分,每小题 5 分) 17.已知:如图,点 B,F,C,E 在一条直线上,BF=CE,AC=DF,且 AC∥DF. 求证:∠B=∠E.
A

B

F

C

E

D

18. 计算: 2sin60 ? (3.14 ? π ) ? 12 ? ( ) .
0 -1

1 2

3

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19.解分式方程:

x 1 ?1 ? x?2 x.

20.如果 m ? m ? 1 ,求代数式 (m ? 1)2 ? (m ? 1)(m ? 1) ? 2015 的值.
2

21.如图,一次函数 y ? m) .

1 k x ? 2 的图象与 x 轴交于点 B,与反比例函数 y ? 的图象的一个交点为 A(2, 2 x
y

(1)求反比例函数的表达式; (2)过点 A 作 AC⊥x 轴,垂足为点 C,如果点 P 在反比例函数图 象上,且△PBC 的面积等于 6,请直接写出点 P 的坐标.

A B O C x

22.列方程或方程组解应用题: 中国国家博物馆由原中国历史博物馆和中国革命博物馆两馆合并改扩建而成.新馆的展厅总面积 与原两馆大楼的总建筑面积相同, 成为目前世界上最大的博物馆.已知原两馆大楼的总建筑面积比原两 馆大楼的展览面积的 3 倍少 0.4 万平方米,新馆的展厅总面积比原两馆大楼的展览面积大 4.2 万平方 米,求新馆的展厅总面积和原两馆大楼的展览面积.

4

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四、解答题(本题共 20 分,每小题 5 分) 23.如图,菱形 ABCD 中, 分别延长 DC,BC 至点 E,F,使 CE=CD,CF=CB,联结 DB,BE,EF,FD. (1)求证:四边形 DBEF 是矩形; (2)如果∠A=60?,菱形 ABCD 的面积为 8 3 ,求 DF 的长.

D A B C

F

E

24.根据某市统计局提供的 2010~2014 年该市地铁运营的相关数据,绘制的统计图表如下:
2010~2014 年某市地铁运营的日均客流量统计表 2014 年某市居民乘地铁出行距离情况统计图

根据以上信息解答下列问题: (1)直接写出“2014 年某市居民乘地铁出行距离情况统计图”中 m 的值; (2)从 2010 年到 2014 年,该市地铁的日均客流量每年的增长率近似相等,估算 2015 年该市地铁运营的 日均客流量约为____________万人次; (3)自 2015 年起,该市地铁运营实行了新票价:乘地铁 5 公里内(含 5 公里)收费 2 元,乘地铁 5~15 公 里(含 15 公里)收费 3 元,乘地铁 15 公里以上收费 4 元.如果 2015 年该市居民乘地铁出行距离情况 与 2014 年基本持平,估算 2015 年该市地铁运营平均每日票款收入约为____________万元.

5

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25.如图,⊙O 的直径 AB 垂直于弦 CD,垂足为点 E,过点 C 作⊙O 的切线,交 AB 的延长线于点 P,联 结 PD. (1)判断直线 PD 与⊙O 的位置关系,并加以证明; (2)联结 CO 并延长交⊙O 于点 F,联结 FP 交 CD 于点 G,如果 CF=10, cos ?APC ? 4 , 5 求 EG 的长.

F

D G

A

O

E

B

P

C

26.阅读下面的材料 勾股定理神秘而美妙,它的证法多种多样,下面是教材中介绍 一种拼图证明勾股定理的方法. 先做四个全等的直角三角形,设它们的两条直角边分别为 a,b,

a b a c c b

b c c a a b





边为 c,然后按图 1 的方法将它们摆成正方形.

(a ? b) ? 4 ? 由图 1 可以得到
2

1 ab ? c 2 , 2
2

图1

整理,得 a ? 2ab ? b ? 2ab ? c .
2 2

所以 a ? b ? c .
2 2 2

如果把图 1 中的四个全等的直角三角形摆成图 2 所示的正方形,请 上述证明勾股定理的方法,完成下面的填空: 由图 2 可以得到 整理,得 所以 . , , 图2

你参照

6

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五、解答题(本题共 22 分,第 27 题 7 分,第 28 题 7 分,第 29 题 8 分) 27.在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 y ? 2x2 ? mx ? n 经过点 A (-1,a ) , B (3,a) ,且最低点的纵坐 标为 -4 . (1)求抛物线的表达式及 a 的值; (2)设抛物线顶点 C 关于 y 轴的对称点为点 D,点 P 是抛物线对称 轴上一动点, 记抛物线在点 A, B 之间的部分为图象 G (包含 A, B 两点).如果直线 DP 与图象 G 恰有两个公共点,结合函数图 象,求点 P 纵坐标 t 的取值范围.
4 3 2

y
4 3 2 1 1O 1 2 3 4 1 2 3 4

x

7

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28.在△ABC 中,CA=CB,CD 为 AB 边的中线,点 P 是线段 AC 上任意一点(不与点 C 重合) ,过点 P 作 PE 交 CD 于点 E,使∠CPE= (1)如果∠ACB=90° , ①如图 1,当点 P 与点 A 重合时,依题意补全图形,并指出与△CDG 全等的一个三角形; ②如图 2,当点 P 不与点 A 重合时,求 (2)如果∠CAB=a,如图 3,请直接写出

1 ∠CAB,过点 C 作 CF⊥PE 交 PE 的延长线于点 F,交 AB 于点 G. 2

CF 的值; PE

CF 的值.(用含 a 的式子表示) PE

图1

图2

图3

8

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29. 设点 Q 到图形 W 上每一个点的距离的最小值称为点 Q 到图形 W 的距离.例如正方形 ABCD 满足 A(1, 0),B(2,0),C(2,1),D(1,1),那么点 O(0,0)到正方形 ABCD 的距离为 1. (1)如果⊙P 是以(3,4)为圆心,1 为半径的圆,那么点 O(0,0)到⊙P 的距离为 (2)①求点 M (3, 0) 到直线 y ? 2 x ? 1 的距离; ②如果点 N (0, a ) 到直线 y ? 2 x ? 1 的距离为 3,那么 a 的值是 (3)如果点 G (0, b) 到抛物线 y ? x 2 的距离为 3,请直接写出 b 的值. ; ;

y
4 3 2 1 4 3 2 1O 1 2 3 4 1 2 3 4

x

9

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丰台区 2015 年度初三毕业及统一练习参考答案
一、选择题(本题共 30 分,每小题 3 分) 题号 答案 题号 答案 1 B 11 2 C 3 A 12 7 4 B 13 40 5 D 6 C 14 7 D 8 B 15 100 9 C 16 10 A

二、填空题(本题共 18 分,每小题 3 分)

2m( x ? 1)2

y??

1 , 答案不唯一 x

x3 ? x1 ? x2

三、解答题(本题共 30 分,每小题 5 分) 17.证明:∵BF=CE,∴BC=EF.……1 分 ∵AC∥DF,∴∠ACB=∠DFE.……2 分 ∵AC=DF,∴ △ACB≌△DFE.……4 分 ∴∠B=∠E.……5 分 21. (1) 一次函数 y ?

1 x ? 2 的图象经过点 A(2,m) , 2

? m ? 3 .? 点 A 的坐标为(2,3). ………1 分
反比例函数 y ?

k 的图象经过点 A(2,3), x

? k ? 6 ………2 分
6 ? 反比例函数的表达式为 y ? . ……3 分 x
(2) P (3, 2),P ( ?3, ?2). ………………5 分 22. 解:设新馆的展厅总面积为 x 万平方米,原两馆大楼 的展览面积为 y 万平方米,根据题意列方程得:…1 分

18.解:原式= 2 ? = 3 ? 3 ....5 分

3 ? 1 ? 2 3 ? 2 …4 分 2

19.解:去分母得:

x ? x( x ? 2) ? x ? 2. …1 分
2

? x ? y ? 4.2, ………3 分 ? ? x ? 3 y ? 0.4.
解得: ?

x 2 ? x 2 ? 2 x ? x ? 2. ……2 分
x ? ?2. …….3 分

? x ? 6.5, ? y ? 2.3.

………4 分

经检验, x ? ?2 是原方程的解.…….4 分 所以,原方程的解是 x ? ?2. …….5 分

答:新馆的展厅总面积为 6.5 万平方米,原两馆大楼的展 览面积为 2.3 万平方米. ………5 分

20. 解: 原式= m ? 2m ? 1 ? m ? 1 ? 2015 …1 分
2 2

23.(1)证明: ∵CE=CD,CF=CB, ∴四边形 DBEF 是平行四边形..…….1 分 ∵四边形 ABCD 是菱形, ∴CD=CB..…….2 分 ∴CE=CF,∴BF=DE, ∴四边形 DBEF 是矩形..…….3 分

= 2m ? 2m ? 2015 ……2 分
2

= 2(m ? m) ? 2015 …….3 分
2

∵ m ? m ? 1,
2

∴原式=2017. …….5 分

10

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23.(2)过点 D 作 DG⊥BC 于点 G,∴∠DGC=90°. ∵四边形 ABCD 是菱形,∠A=60?,∴∠BCD=60°. 在 Rt△CDG 中,cos∠BCD=

D A G B C

F

CG 1 ? , CD 2

∴设 CG=x,则 CD=BC=2x,DG= 3 x. ∵菱形 ABCD 的面积为 8 3 ,∴ BC ? DG ? 8 3 . ∴ 2x ? 3x ? 8 3 ,得 x ? ?2 (舍负) ,∴DG= 2 3 ..……. 4 分 ∵CF=CD,∠BCD=60°,∴∠DFC=30°. ∴DF=2DG= 4 3 ..…….5 分

E

24. (1)15;…1 分(2)483;…2 分(3)1593.9.…2 分

25. (1)PD 与⊙ O 相切于点 D ..……. 1 分 证明:联结 OD ∵在⊙ O 中, OD ? OC , AB ? CD 于点 E , ∴ ?1 ? ? 2 . 又∵ OP ? OP ,∴ ?OCP ≌ ?ODP . ∴ ?OCP ? ?ODP . 又∵ PC 切⊙ O 于点 C , OC 为⊙ O 半径, ∴ OC ? PC ..……. 2 分 ∴ ?OCP ? 90 .∴ ?ODP ? 90 .∴ OD ? PD 于点 D .
0 0

F

D G

A

M

5 2 O 1

E 3 4 C

B

P

∴PD 与⊙ O 相切于点 D ..……. 3 分 (2)作 FM ? AB 于点 M .
0 0 0 ∵ ?OCP ? 90 , CE ? OP 于点 E ,∴ ?3 ? ?4 ? 90 , ?APC ? ?4 ? 90 .∴ ?3 ? ?APC .

∵ cos ?APC ?

4 CE 4 ? . ,∴Rt△OCE 中, cos ?3 ? 5 OC 5
1 CF ? 5 .∴ CE ? 4 , OE ? 3 ..……. 4 分 2

∵ CF ? 10 ,∴ OF ? OC ?

0 又∵ FM ? AB , AB ? CD ,∴ ?FMO ? ?CEO ? 90 .

11

∵ ?5 ? ?1 , OF ? OC ,∴ ?OFM ≌ ?OCE .∴ FM ? CE ? 4 , OM ? OE ? 3 . ∵在 Rt△OCE 中, cos ?APC ? ∴ 3k

PC 4 ? ,设 PC ? 4k , OP ? 5k ,∴ OC ? 3k . OP 5

? 5,k ?

5 25 16 34 .∴ OP ? .∴ PE ? OP ? OE ? , PM ? OP ? OM ? . 3 3 3 3
0

又∵ ?FMO ? ?GEP ? 90 ,∴ FM ∥ GE .

16 GE PE GE ? ∴ ?PGE ∽ ?PFM .∴ ,即 ? 3 . 34 FM PM 4 3 32 ∴ GE ? ..……. 5 分 17
26.

1 2 4 ? ab ? (b ? a) ? c 2 ,.…….3 分 2
2ab ? b2 ? 2ab ? a 2 ? c 2 ,.……. 4 分
a 2 ? b2 ? c2 ..……. 5 分

y y=2x2-4x-2 A

x=1 B

y=2x-2

五、解答题

-1
27 . 解: (1)∵抛物线 y ? 2x ? mx ? n 过点
2

O -2 -4

3

x

, B (3,a) , A (-1,a ) ∴抛物线的对称轴 x=1..……. 1 分 ∵抛物线最低点的纵坐标为-4 , ∴抛物线的顶点是(1,-4) ..……. 2 分 ∴抛物线的表达式是 y ? 2( x ? 1) ? 4 ,
2

D

C

即 y ? 2 x ? 4 x ? 2 ..…3 分
2

把 A (-1,a )代入抛物线表达式,求出 a ? 4 ..……. 4 分 (2)∵抛物线顶点 C (1, ?4) 关于 y 轴的对称点为点 D,∴ D(?1, ?4) . 求出直线 CD 的表达式为 y ? ?4 . .……. 5 分 求出直线 BD 的表达式为 y ? 2 x ? 2 ,当 x ? 1 时, y ? 0 ..……. 6 分

12

所以 ?4 ? t ? 0 ..……. 7 分

C

28.(1) ①作图.……. 1 分
E A (P) D F G B

?ADE (或 ?PDE ).…….2 分

②过点 P 作 PN ∥ AG 交 CG 于点 N ,交 CD 于点 M ,.…….3 分

1 ∴ ?CPM ? ?CAB .∵∠CPE= ∠CAB, 2 1 ∴∠CPE= ∠CPN.∴∠CPE=∠FPN. 2
∵ PF ? CG ,∴∠PFC=∠PFN=90°. ∵PF=PF,∴ ?PFC ≌ ?PFN .∴ CF ? FN ..…….4 分 由①得: ?PME ≌ ?CMN .∴ PE ? CN .∴ (2)
A P

C F N M D G E

B

CF CF 1 ? ? ..…….5 分 PE CN 2

1 tan ? ..…….7 分 2

29. (1)4;.…….2 分 (2)①直线 y ? 2 x ? 1 记为 l ,过点 M 作 MH ? l ,垂足为点 H , 设 l 与 x, y 轴的交点分别为 E , F ,则 E (? , 0),F (0,1) . ∴ EF ?

1 2

5 ..…….3 分 2

y

y=2x+1

∵ ?EOF∽?MHE

7 MH ME 7 5 MH ? ∴ ,即 . ? 2 .∴ MH ? OF EF 5 1 5 2
7 5 ∴点 M 到直线 y ? 2 x ? 1 的距离为 ..…….4 分 5
② a ? 1? 3

H 1 F E
— 1 2

O

M 3 x

5 ..…….6 分

13

(3) b ? ?3 或 b ?

37 ..…….8 分 4

14


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