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第十四章 14.1几何证明选讲


§ 14.1

几何证明选讲

1.平行截割定理 (1)平行线等分线段定理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在任一条(与这组平行线相交的)直线 上截得的线段也相等. (2)平行线分线段成比例定理 两条直线与一组平行线相交,它们被这组平行线截得的对应线段成比例. 2.相似三角形的判定与性质 (1)相似三角形的判定定理 ①两角对应

相等的两个三角形相似; ②两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似; ③三边对应成比例的两个三角形相似. (2)相似三角形的性质定理 ①相似三角形的对应线段的比等于相似比. ②相似三角形周长的比等于相似比. ③相似三角形面积的比等于相似比的平方. 3.直角三角形射影定理 直角三角形一条直角边的平方等于该直角边在斜边上的射影与斜边的乘积, 斜边上的高的 平方等于两条直角边在斜边上的射影的乘积.

4.圆中有关的定理 (1)圆周角定理:圆周角的度数等于其所对弧的度数的一半. (2)圆心角定理:圆心角的度数等于它所对弧的度数. (3)切线的判定与性质定理 ①切线的判定定理 过半径外端且与这条半径垂直的直线是圆的切线. ②切线的性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径. (4)切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线,切线长相等. (5)弦切角定理 弦切角的度数等于其所夹弧的度数的一半. (6)相交弦定理 圆的两条相交弦,每条弦被交点分成的两条线段长的积相等. (7)割线定理 从圆外一点引圆的两条割线,该点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等. (8)切割线定理 从圆外一点引圆的一条割线与一条切线, 切线长是这点到割线与圆的两个交点的线段长的 等比中项. (9)圆内接四边形的性质与判定定理 ①圆内接四边形判定定理 (ⅰ)如果四边形的对角互补,则此四边形内接于圆; (ⅱ)如果四边形的一个外角等于它的内角的对角,那么这个四边形的四个顶点共圆. ②圆内接四边形性质定理 (ⅰ)圆内接四边形的对角互补; (ⅱ)圆内接四边形的外角等于它的内角的对角.

1.如图,F 为?ABCD 的边 AD 延长线上的一点,DF=AD,BF 分别交 DC, AC 于点 G,E,EF=16,GF=12,则 BE 的长为________. 答案 8

a 2.如图,在直角梯形 ABCD 中,DC∥AB,CB⊥AB,AB=AD=a,CD= , 2 点 E,F 分别为线段 AB、AD 的中点,则 EF=________. a 答案 2 3.如图,四边形 ABCD 内接于⊙O,BC 是直径,MN 与⊙O 相切,切点 为 A,∠MAB=30° ,则∠D=________. 答案 120° 4.如图所示,EA 是圆 O 的切线,割线 EB 交圆 O 于点 C,C 在直径 AB 上的射影为 D,CD=2,BD=4,则 EA=________.

答案

5 2

5.(2012· 湖南)如图所示,过点 P 的直线与⊙O 相交于 A,B 两点.若 PA= 1,AB=2,PO=3,则⊙O 的半径等于________. 答案 6

解析 设⊙O 的半径为 r(r>0), ∵PA=1,AB=2,

∴PB=PA+AB=3. 延长 PO 交⊙O 于点 C,则 PC=PO+r=3+r. 设 PO 交⊙O 于点 D,则 PD=3-r. 由圆的割线定理知,PA· PB=PD· PC, ∴1×3=(3-r)(3+r),∴9-r2=3,∴r= 6.

题型一 相似三角形的判定及性质 例1 如图,已知在△ABC 中,点 D 是 BC 边上的中点,且 AD=AC,DE⊥BC,DE 与 AB

相交于点 E,EC 与 AD 相交于点 F.

(1)求证:△ABC∽△FCD; (2)若 S△FCD=5,BC=10,求 DE 的长. (1)证明 ∵DE⊥BC,D 是 BC 边上的中点, ∴EB=EC,∴∠B=∠ECD, 又 AD=AC,∴∠ADC=∠ACD,∴△ABC∽△FCD. (2)解 过点 A 作 AM⊥BC,垂足为点 M,

∵△ABC∽△FCD,BC=2CD, S△ABC BC 2 ∴ =( ) =4, S△FCD CD 又∵S△FCD=5,∴S△ABC=20, 1 1 又 S△ABC= ×BC×AM= ×10×AM=20, 2 2 解得 AM=4, DE BD 又 DE∥AM,∴ = , AM BM 1 5 5 15 ∵DM= DC= ,BM=BD+DM=5+ = , 2 2 2 2 DE 5 8 ∴ = ,解得 DE= . 4 15 3 2 思维升华 (1)三角形相似的证明方法很多,解题时应根据条件,结合图形选择恰当的方

法.一般的思考程序:先找两对内角对应相等;若只有一个角对应相等,再判定这个角的 两邻边是否对应成比例;若无角对应相等,就要证明三边对应成比例. (2)证明等积式的一般方法是化为等积的比例式,若题目中无平行线,需利用相似三角形 的性质证明. 如图,在梯形 ABCD 中,AD∥BC,AB=CD,DE∥CA, 且交 BA 的延长线于 E,求证:ED· CD=EA· BD. 证明 在梯形 ABCD 中,∵AB=DC,∴∠ABC=∠DCB. 又 BC=BC,∴△ABC≌△DCB. ∴∠BAC=∠BDC, ∵AC∥ED,AD∥BC, ∴∠E=∠BAC=∠BDC,∠EAD=∠ABC=∠DCB, ∴△EAD∽△DCB. EA ED ∴ = ,即 ED· CD=EA· BD. DC DB 题型二 直角三角形的射影定理 例2 如图,Rt△ABC 中,∠BAC=90° ,AD⊥BC 于 D,BE 平分∠ABC

交 AC 于 E,EF⊥BC 于 F. 求证:EF∶DF=BC∶AC. 证明 ∵∠BAC=90° ,且 AD⊥BC, ∴由射影定理得 AC2=CD· BC, AC BC ∴ = . CD AC ∵EF⊥BC,AD⊥BC, AE AC ∴EF∥AD,∴ = . DF CD 又 BE 平分∠ABC,且 EA⊥AB,EF⊥BC, EF AC ∴AE=EF,∴ = . DF CD EF BC 由①、②得 = ,即 EF∶DF=BC∶AC. DF AC





思维升华 已知条件中含直角三角形且涉及直角三角形斜边上的高时, 应首先考虑射影定 理,注意射影与直角边的对应法则,根据题目中的结论分析并选择射影定理中的等式,并 分清比例中项. 如图所示,在△ABC 中,∠CAB=90° ,AD⊥BC 于 D,BE 是 DF AE ∠ABC 的平分线,交 AD 于 F,求证: = . AF EC 证明 由三角形的内角平分线定理得, DF BD 在△ABD 中, = , AF AB AE AB 在△ABC 中, = , EC BC 在 Rt△ABC 中,由射影定理知, AB2=BD· BC, BD AB 即 = . AB BC DF AB 由①③得: = , AF BC DF AE 由②④得: = . AF EC 题型三 圆的切线的判定与性质 例3 如图, 在 Rt△ABC 中, ∠C=90° , BE 平分∠ABC 交 AC 于点 E, 点 D 在 AB 上, DE⊥EB,

① ②

③ ④

且 AD=2 3,AE=6. (1)判断直线 AC 与△BDE 的外接圆的位置关系; (2)求 EC 的长. 解 (1)取 BD 的中点 O,连结 OE.

∵BE 平分∠ABC,∴∠CBE=∠OBE. 又∵OB=OE,∴∠OBE=∠BEO, ∴∠CBE=∠BEO,∴BC∥OE. ∵∠C=90° ,∴OE⊥AC, ∴直线 AC 是△BDE 的外接圆的切线, 即直线 AC 与△BDE 的外接圆相切. (2)设△BDE 的外接圆的半径为 r. 在△AOE 中,OA2=OE2+AE2, 即(r+2 3)2=r2+62,解得 r=2 3, ∴OA=2OE,∴∠A=30° ,∠AOE=60° . ∴∠CBE=∠OBE=30° , 1 1 1 ∴EC= BE= × 3r= × 3×2 3=3. 2 2 2 思维升华 证明直线是圆的切线的方法:若已知直线经过圆上某点(或已知直线与圆有公 共点),则连结圆心和这个公共点,设法证明直线垂直于这条半径;如果已知条件中直线 与圆的公共点不明确(或没有公共点),则应过圆心作直线的垂线,得到垂线段,设法证明 这条垂线段的长等于圆半径. (2013· 广东改编) 如图,AB 是圆 O 的直径,点 C 在圆 O 上,延长 BC 到 D 使 BC=CD,过 C 作圆 O 的切线交 AD 于 E.若 AB=6,ED=2,求 BC 的长. 解 C 为 BD 中点,且 AC⊥BC, 故△ABD 为等腰三角形.AB=AD=6, 所以 AE=4,DE=2. AE AC 又 = , AC AD 所以 AC2=AE· AD=4×6=24,AC=2 6, 在△ABC 中,BC= AB2-AC2= 36-24=2 3. 题型四 与圆有关的比例线段 例4 (2012· 辽宁)如图, ⊙O 和⊙O′相交于 A, B 两点, 过 A 作两圆的切线分别交两圆于 C,

D 两点,连结 DB 并延长交⊙O 于点 E.证明:

(1)AC· BD=AD· AB; (2)AC=AE. 证明 (1)由 AC 与⊙O′相切于 A,得∠CAB=∠ADB,

同理∠ACB=∠DAB,所以△ACB∽△DAB. AC AB 从而 = ,即 AC· BD=AD· AB. AD BD (2)由 AD 与⊙O 相切于 A,得∠AED=∠BAD. 又∠ADE=∠BDA,得△EAD∽△ABD. AE AD 从而 = ,即 AE· BD=AD· AB. AB BD 结合(1)的结论知,AC=AE. 思维升华 (1)应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容:如线段成比例与相似

三角形、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等. (2)相交弦定理、切割线定理主要用于与圆有关的比例线段的计算与证明.解决问题时要 注意相似三角形知识及圆周角、弦切角、圆的切线等相关知识的综合应用. 如图,⊙O 的半径 OB 垂直于直径 AC,M 为 AO 上一 点,BM 的延长线交⊙O 于 N,过 N 点的切线交 CA 的延长线于 P. (1)求证:PM2=PA· PC; (2)若⊙O 的半径为 2 3,OA= 3OM,求 MN 的长. (1)证明 连结 ON,则 ON⊥PN,且△OBN 为等腰三角形,则∠OBN =∠ONB, ∵∠PMN=∠OMB=90° -∠OBN,

∠PNM=90° -∠ONB, ∴∠PMN=∠PNM,∴PM=PN. 根据切割线定理,有 PN2=PA· PC, ∴PM2=PA· PC.

(2)解 OM=2,在 Rt△BOM 中,BM= OB2+OM2=4. 延长 BO 交⊙O 于点 D,连结 DN. BO BM 由条件易知△BOM∽△BND,于是 = , BN BD 2 3 4 即 = ,∴BN=6. BN 4 3 ∴MN=BN-BM=6-4=2.

与圆有关的几何证明问题

典例: (10 分)(2012· 课标全国)如图, D, E 分别为△ABC 边 AB, AC 的中点, 直线 DE 交△ABC 的外接圆于 F,G 两点.若 CF∥AB,证明: (1)CD=BC; (2)△BCD∽△GBD. 思维启迪 (1)连结 AF,利用平行关系构造平行四边形可得结论; (2)先证△BCD 和△GBD 为等腰三角形,再证明两三角形顶角相等即 可. 规范解答 证明 (1)因为 D,E 分别为 AB,AC 的中点,

所以 DE∥BC. 又已知 CF∥AB, 故四边形 BCFD 是平行四边形, 所以 CF=BD=AD. 而 CF∥AD,连结 AF, 所以四边形 ADCF 是平行四边形,故 CD=AF. 因为 CF∥AB,所以 BC=AF,故 CD=BC. (2)因为 FG∥BC,故 GB=CF. 由(1)可知 BD=CF,所以 GB=BD, 所以∠BGD=∠BDG. 由 BC=CD 知∠CBD=∠CDB, 又因为∠DGB=∠EFC=∠DBC, 所以△BCD∽△GBD. [10 分] [8 分] [5 分] [6 分]

处理与圆有关的比例线段的常见思路: (1)利用圆的有关定理; (2)利用相似三角形; (3)利用平行线分线段成比例定理及推论; (4)利用面积关系等. 温馨提醒 (1)解决几何证明问题需用各种判定定理、性质定理、推理和现有的结论,要熟悉 各种图形的特征,利用好平行、垂直、相似、全等的关系,适当添加辅助线和辅助图形,这 些知识都有利于问题的解决. (2)证明等积式时,通常转化为证明比例式,再证明四条线段所在的三角形相似.另外也可利 用平行线分线段成比例定理来证明. (3)弦切角定理与圆周角定理是证明角相等的重要依据,解题时应根据需要添加辅助线构造所 需要的角. (4)圆内接四边形的性质也要熟练掌握,利用该性质可得到角相等,进而为三角形的相似创造 了条件.

方法与技巧 1.证明等积式成立,应先把它写成比例式,找出比例式中给出的线段所在三角形是否相似, 若不相似,则进行线段替换或等比替换. 2.圆幂定理与圆周角、弦切角联合应用时,要注意找相等的角,找相似三角形,从而得出线 段的比.由于圆幂定理涉及圆中线段的数量计算,所以应注意代数法在解题中的应用. 失误与防范 1.在应用平行截割定理时,一定要注意对应线段成比例. 2.在解决相似三角形时,一定要注意对应角和对应边,否则容易出错.

A 组 专项基础训练 1.已知△ABC 中,BF⊥AC 于点 F,CE⊥AB 于点 E,BF 和 CE 相交于点 P,求证: (1)△BPE∽△CPF;

(2)△EFP∽△BCP. 证明 (1)∵BF⊥AC 于点 F,

CE⊥AB 于点 E, ∴∠BFC=∠CEB=90° . 又∵∠CPF=∠BPE, ∴△CPF∽△BPE. EP FP (2)由(1)得△CPF∽△BPE,∴ = . BP CP 又∵∠EPF=∠BPC,∴△EFP∽△BCP. 2.如图,△ABC 中,∠BAC=90° ,AD⊥BC 交 BC 于点 D,若 E 是 AC 的中点,ED 的延长线 AB DF 交 AB 的延长线于 F,求证: = . AC AF 证明 ∵E 是 Rt△ADC 斜边 AC 的中点, ∴AE=EC=DE. ∴∠EDC=∠ECD,又∠EDC=∠BDF, ∴∠EDC=∠C=∠BDF. 又 AD⊥BC 且∠BAC=90° , ∴∠BAD=∠C,∴∠BAD=∠BDF, ∴△DBF∽△ADF. DB DF ∴ = . AD AF AB DB 又 Rt△ABD∽Rt△CBA,因此 = . AC AD AB DF ∴ = . AC AF 3.如图所示,已知在△ABC 中,∠ABC=90° ,O 是 AB 上一点,以 O 为 圆心,OB 为半径的圆与 AB 交于点 E,与 AC 切于点 D,连结 DB, DE,OC.若 AD=2,AE=1,求 CD 的长. 解 由切割线定理得 AD2=AE· AB, 所以 AB=4,EB=AB-AE=3. 又∵∠OCD=∠ADE=90° -∠CDB,∠A=∠A, ∴△ADE∽△ACO, AD AC 2 CD+2 ∴ = ,即 = ,CD=3. AE AO 1 2.5 故 CD 的长等于 3. 4.(2013· 江苏)如图,AB 和 BC 分别与圆 O 相切于点 D,C,AC 经过圆心 O,且 BC=2OC.

求证:AC=2AD. 证明 连结 OD.因为 AB 和 BC 分别与圆 O 相切于点 D,C,

所以∠ADO=∠ACB=90° . 又因为∠A=∠A,所以 Rt△ADO∽Rt△ACB. BC AC 所以 = . OD AD 又 BC=2OC=2OD,故 AC=2AD. 5.如图, 梯形 ABCD 中, AB∥CD, 若 S△ODC∶S△BDC=1∶3, 求 S△ODC∶S△ABC. 解 ∵S△ODC∶S△BDC=1∶3,

且△ODC 和△BDC 有公共边 CD, 设△ODC 和△BDC 在 CD 上的高分别为 h 和 H, 则 h∶H=1∶3,∴DO∶DB=1∶3, ∴DO∶OB=1∶2. 又∵AB∥CD,∴△ODC∽△OBA. ∴S△ODC∶S△OBA=1∶4. 设 S△ODC=a,则 S△OBC=2a,S△OAB=4a, ∵S△ABC=S△OAB+S△OBC,∴S△ABC=6a. ∴S△ODC∶S△ABC=1∶6. 6.如图,锐角三角形 ABC 的内心为 I,过点 A 作直线 BI 的垂线,垂足 为 H,点 E 为内切圆 I 与边 CA 的切点. (1)求证:四点 A,I,H,E 共圆; (2)若∠C=50° ,求∠IEH 的度数. (1)证明 由圆 I 与边 AC 相切于点 E,得 IE⊥AE, 结合 IH⊥AH,得∠AEI=∠AHI=90°. 所以,四点 A,I,H,E 共圆. (2)解 由(1)知四点 A,I,H,E 共圆,

则∠IEH=∠HAI. 又∠HIA=∠ABI+∠BAI 1 1 1 = ∠ABC+ ∠BAC= (∠ABC+∠BAC) 2 2 2

1 1 = (180° -∠C)=90° - ∠C. 2 2 1 1 结合 IH⊥AH,得∠HAI=90° -∠HIA= ∠C,所以∠IEH= ∠C. 2 2 由∠C=50° 得∠IEH=25° . B 组 专项能力提升 1.如图所示,已知:在 Rt△ABC 中,∠ACB=90° ,M 是 BC 的中点,CN⊥AM,垂足是 N, 求证:AB· BM=AM· BN. 证明 ∵CM2=MN· AM, 又∵M 是 BC 的中点, BM MN ∴BM2=MN· AM,∴ = , AM BM 又∵∠BMN=∠AMB,∴△AMB∽△BMN, AB AM ∴ = ,∴AB· BM=AM· BN. BN BM 2. 如图所示,在△ABC 中,AD 为 BC 边上的中线,F 为 AB 上任意一点,CF 交 AD 于点 E. 求证:AE· BF=2DE· AF. 证明 过点 D 作 AB 的平行线 DM 交 AC 于点 M,交 FC 于点 N. 在△BCF 中,D 是 BC 的中点,DN∥BF,

1 ∴DN= BF. 2 ∵DN∥AF, ∴△AFE∽△DNE, AE DE ∴ = . AF DN 1 AE 2DE 又 DN= BF,∴ = , 2 AF BF 即 AE· BF=2DE· AF. 3.(2013· 辽宁)如图,AB 为⊙O 的直径,直线 CD 与⊙O 相切于 E,AD 垂直 CD 于 D,BC 垂直 CD 于 C,EF 垂直 AB 于 F,连结 AE,BE.证 明: (1)∠FEB=∠CEB; (2)EF2=AD· BC. 证明 (1)由直线 CD 与⊙O 相切,得∠CEB=∠EAB.

由 AB 为⊙O 的直径,得 AE⊥EB, π 从而∠EAB+∠EBF= ; 2 π 又 EF⊥AB,得∠FEB+∠EBF= , 2 从而∠FEB=∠EAB.故∠FEB=∠CEB. (2)由 BC⊥CE,EF⊥AB, ∠FEB=∠CEB,BE 是公共边, 得 Rt△BCE≌Rt△BFE,所以 BC=BF. 同理可证,得 AD=AF.又在 Rt△AEB 中,EF⊥AB, 故 EF2=AF· BF,所以 EF2=AD· BC. 4.(2013· 课标全国Ⅰ)如图,直线 AB 为圆 O 的切线,切点为 B,点 C 在圆上,∠ABC 的角 平分线 BE 交圆于点 E,DB 垂直 BE 交圆于点 D.

(1)证明:DB=DC; (2)设圆的半径为 1,BC= 3,延长 CE 交 AB 于点 F,求△BCF 外接圆的半径.

(1)证明 连结 DE,则∠DCB=∠DEB, ∵DB⊥BE, ∴∠DBC+∠CBE=90° ,∠DEB+∠EDB=90° , ∴∠DBC+∠CBE=∠DEB+∠EDB, 又∠CBE=∠EBF=∠EDB, ∴∠DBC=∠DEB=∠DCB, ∴DB=DC. (2)解 由(1)知:∠CBE=∠EBF=∠BCE, ( ( ∴CE=BE, ∴∠BDE=∠CDE,

∴DE 是 BC 的垂直平分线,设交点为 H,则 BH= 3 1 3 1- = ,∴DH= , 4 2 2 3 2 3 ∴tan∠BDE= = ,∴∠BDE=30° , 3 3 2 ∴OH= ∴∠FBE=∠BDE=30° , ∴∠CBF+∠BCF=90° ,∴∠BFC=90° , ∴BC 是△BCF 的外接圆直径. 3 ∴△BCF 的外接圆半径为 . 2

3 , 2


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