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空间向量在立体几何中的应用典型例题


立体几何典型例题选讲(理科) 1 .如图在棱长为 2 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,点 F 为棱 CD 中点,点 E 在棱 BC 上 (1)确定点 E 位置使 D1 E ? 面 AB1 F ; (2)当 D1 E ? 面 AB1 F 时,求二面角 D1 ? AF ? B1 的平面角的余弦值。

A 2 .如图,四面体 ABCD 中,O、E

分别是 B D.BC 的中点, CA ? CB ? CD ? BD ? 2 ,

AB ? AD ? 2
(Ⅰ)求证: AO ? 平面 BCD; (Ⅱ)求异面直线 AB 与 CD 所成角的余弦值; B 3 .如图,在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AA1 ? BC ? AB ? 2 , AB ? BC ?M、N 分 别是 AC 和 BB1 的中点? (1)求二面角 B1 ? A1C ? C1 的大小? (2)证明:在 AB 上存在一个点 Q,使得平面 QMN ⊥平面 A1 B1C ,并求出 BQ 的长 度?
A A1 N B1

D O C E
C1

B M

C

4 .如图,直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AB=1, AC ? AA1 ? 3 ,∠ABC=60 0 . (Ⅰ)证明: AB ? AC ; 1 (Ⅱ)求二面角 A— AC 1 —B 的大小? B B1

A1

C1

A

C

P 5 .如图,PA⊥平面 ABCD,四边 形 ABCD 是正方形,PA=AD=2,M、N 分别是 A B.PC 的中点. (1)求二面角 P-CD-B 的大小; (2)求证:平面 MND⊥平面 PCD; B A M C
1

N D

6 . 如图,多面体 ABCDS 中面 ABCD 为矩形, SD ? AD, 且SD ? AB, AD ? a(a ? 0), AB ? 2 AD, SD ? 3AD. ,E 为 CD 四等分点(紧靠 D 点)? (I)求证:AE 与 ? 平面 SBD (II)求二面角 A—SB—D 的余弦值?

7 .如图,直三棱柱 ABC—A1B1C1 的 底面积是等腰直角三角形,∠A1B1C1=90°,A1C1=1,AA1= 2 , N、M 分别是线段 B1 B.AC1 的中点? (I)证明:MN//平面 ABC; (II)求二面角 A1—AB1—C1 的大小?

8.(09 北京宣武二模文)如图,在棱长为 1 的正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,点 E 是棱 BC 的中点,点 F 是棱 CD 的 中点? (1)求证:D1E⊥平面 AB1F; (2)求二面角 C1—EF—A 的余弦值?

9.如图,在正三棱柱 ABC—A1B1C1 中,BB1=BC=2,且 M 是 BC 的中点,点 N 在 CC1 上? (1)试确定点 N 的位置,使 AB1⊥MN; (2)当 AB1⊥MN 时,求二面角 M—AB1—N 的大小?

S A 10.如图,四棱锥 S ? ABCD 的底面是矩形,
SA ? 底面 ABCD , P 为 BC 边的中点, SB 与平面 ABCD 所成的角为 45 ? , 且 AD ? 2 , SA ? 1 . (Ⅰ) 求证: PD ? 平面 SAP ; (Ⅱ)求二面角 A ? SD ? P 的大小.

A

D A P A C A
2

B A

11.如图,在正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AA1 ? 4, AB ? 2 , M 是 AC 的中点,点 N 在 AA1 上, AN ? ? (Ⅰ)求 BC1与侧面ACC1 A1 所成角的正弦值;
C
1

1 4

(Ⅱ)证明 MN ? BC1 ;(Ⅲ) 求二面角 C ? C1 B ? M 的大小.
A
1

B

1

C

12.如图, 在三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AB ? 侧面 BB1C1C ,
E 为棱 CC1 的中点, 已知 AB ? 2 , BB1 ? 2 ,

N A

M

B

BC ? 1 , ?BCC1 ?

?
3

, 求:(1)异面直线 AB 与 EB1 的距离;(2)二面角 A ? EB1 ? A1 的平面角的正切

值.

13.如图,在四棱锥 O ? ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 1 的菱形, ?ABC ?
OA ? 2 , M 为 OA 的中点, N 为 BC 的中点. (Ⅰ)证明:直线 MN // 平面 OCD ;

?
4

, OA ? 底面 ABCD ,

3

O

M

A

D

(Ⅱ)求异面直线 AB 与 MD 所成角的大小

;

B

N

C

14.如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是矩形, PA ? 平面 ABCD , PA ? AD ? 4 , AB ? 2 .以 BD 的中点 O 为球心、 AC 为直径的球面交 PD 于点. (1)求证:平面 ABM ? 平面 PCD ; P (2)求直线 PC 与平面 ABM 所成角的大小; M A B O C D

15.如图,四棱锥 S-ABCD 的底面是正方形,每条侧棱的长都是地面边长的 2 倍,P 为侧棱 SD 上的点? (Ⅰ)求证:AC⊥SD;w.w.w.k.s.5.u.c.o.m (Ⅱ)若 SD⊥平面 PAC,求二面角 P-AC-D 的大小
S

P A D

O B C

4


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