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必修四


美博教育任意角与弧度制
知识梳理: 一、任意角和弧度制 1、角的概念的推广 定义:一条射线 OA 由原来的位置,绕着它的端点 O 按一定的方向旋转到另一位 置 OB,就形成了角 ? ,记作:角 ? 或 ?? 注意: (1)“旋转”形成角,突出“旋转” (2)“顶点”“始边”“终边”“始边”往往合于 x 轴正半轴 (3)“正角”与“负角”——这是由旋转的方向所决定的。

r />? ? 例 1、若 90 ? ? ? ? ? 135 ,求 ? ? ? 和 ? ? ? 的范围。 (0,45)

可以简记成 ? 。

(180,270)

2、角的分类: 由于用“旋转”定义角之后,角的范围大大地扩大了。可以将角分为正角、 零角和负角。 正角:按照逆时针方向转定的角。 零角:没有发生任何旋转的角。 负角:按照顺时针方向旋转的角。 例 2、 (1)时针走过 2 小时 40 分,则分针转过的角度是 (2)将分针拨快 10 分钟,则分针转过的弧度数是 3、 “象限角” 为了研究方便, 我们往往在平面直角坐标系中来讨论角,角的顶点合于坐标 原点,角的始边合于 x 轴的正半轴。 角的终边落在第几象限,我们就说这个角是第几象限的角 角的终边落在坐标轴上,则此角不属于任何一个象限,称为轴线角。 例 1、30? ;390? ;?330?是第 角 585? ; 1180?是第 象限角 ?2000?是第 象限角。 象限角 300? ; ?60?是第 象限 .

1

例 2、 (1)A={小于 90°的角},B={第一象限的角},则 A∩B= ①{小于 90°的角} ③ {第一象限的角} ②{0°~90°的角} ④以上都不对

(填序号).

(2)已知 A={第一象限角},B={锐角},C={小于 90°的角},那么 A、B、C 关系 是( ) A.B=A∩C B.B∪C=C C.A ? C D.A=B=C

例 3、写出各个象限角的集合: 例 4、若 ? 是第二象限的角,试分别确定 2 ? , ? 的终边所在位置.
2

解 ∵ ? 是第二象限的角, ∴k·360°+90°< ? <k·360°+180°(k∈Z). (1)∵2k·360°+180°<2 ? <2k·360°+360°(k∈Z) , ∴2 ? 是第三或第四象限的角,或角的终边在 y 轴的非正半轴上. (2)∵k·180°+45°< ? <k·180°+90°(k∈Z) ,
2

当 k=2n(n∈Z)时, n·360°+45°< ? <n·360°+90°;
2

当 k=2n+1(n∈Z)时, n·360°+225°< ? <n·360°+270°.
2

∴ ? 是第一或第三象限的角.
2

拓展:已知 ? 是第三象限角,问 ? 是哪个象限的角?
3

∵ ? 是第三象限角,∴180°+k·360°< ? <270°+k·360°(k∈Z) , 60°+k·120°< ? <90°+k·120°.
3

①当 k=3m(m∈Z)时,可得 60°+m·360°< ? <90°+m·360°(m∈Z).
3

故 ? 的终边在第一象限.
3

②当 k=3m+1 (m∈Z)时,可得 180°+m·360°< ? <210°+m·360°(m∈Z).
3

故 ? 的终边在第三象限.
3

③当 k=3m+2 (m∈Z)时,可得 300°+m·360°< ? <330°+m·360°(m∈Z).
3
2

故 ? 的终边在第四象限.
3

综上可知, ? 是第一、第三或第四象限的角.
3

4、常用的角的集合表示方法 1、终边相同的角: (1)终边相同的角都可以表示成一个 0?到 360?的角与 k (k ? Z ) 个周角的和。 (2)所有与?终边相同的角连同?在内可以构成一个集合
S ? ? | ? ? ? ? k ? 360 ? , k ? Z

?

?

即:任何一个与角?终边相同的角,都可以表示成角?与整数个周角的和 注意: 1、 k ? Z 2、 ? 是任意角 3、终边相同的角不一定相等,但相等的角的终边一定相同。终边相同的角 有无数个,它们相差 360°的整数倍。 4、一般的,终边相同的角的表达形式不唯一。 例 1、 (1)若 ? 角的终边与 同的角为
8? ? 角的终边相同,则在 ?0,2? ? 上终边与 的角终边相 5 4



若 θ 角的终边与 8π /5 的终边相同 则有:θ =2kπ +8π /5 (k 为整数) 所以有:θ /4=(2kπ +8π /5)/4=kπ /2+2π /5 当:0≤kπ /2+2π /5≤2π 有:k=0 时,有 2π /5 与 θ /4 角的终边相同的角 k=1 时,有 9π /10 与 θ /4 角的终边相同的角 (2)若 ?和? 是终边相同的角。那么 ? ? ? 在 例 2、 求所有与所给角终边相同的角的集合, 并求出其中的最小正角, 最大负角: (1) ? 210 ? ; (2) ? 1484 ?37? .

1260 ? . 例 3、求 ? ,使 ? 与 ? 900 ? 角的终边相同,且 ? ? ? 180 ?,

?

?

3

2、终边在坐标轴上的点: 终边在 x 轴上的角的集合: ?? | ? ? k ?180? , k ? Z ? 终边在 y 轴上的角的集合: ?? | ? ? k ?180? ? 90? , k ? Z ? 终边在坐标轴上的角的集合: ?? | ? ? k ? 90? , k ? Z ? 3、终边共线且反向的角: 终边在 y=x 轴上的角的集合: ?? | ? ? k ?180? ? 45? , k ? Z ? 终边在 y ? ?x 轴上的角的集合: ?? | ? ? k ?180? ? 45? , k ? Z ? 4、终边互相对称的角: 若角 ? 与角 ? 的终边关于 x 轴对称,则角 ? 与角 ? 的关系: ? ? 360? k ? ? 若角 ? 与角 ? 的终边关于 y 轴对称,则角 ? 与角 ? 的关系: ? ? 360? k ? 180? ? ? 若角 ? 与角 ? 的终边在一条直线上,则角 ? 与角 ? 的关系: ? ? 180? k ? ? 角 ? 与角 ? 的终边互相垂直,则角 ? 与角 ? 的关系: ? ? 360? k ? ? ? 90? 例 1、 若? ? k ? 3 6 0 系是( ) 。 B.关于原点对称 C.关于 x 轴对称 D.有关于 y 轴对称
?

? ? ,? ? m ? 360 ? ? ? (k , m ? Z ) 则角 ? 与角 ? 的中变得位置关

A.重合

例 2、将下列各角化成 0 到 2? 的角加上 2k? (k ? Z ) 的形式 (1)
19 ? 3

(2) ? 315 ?

例 3、设集合 A ? ?x | k ? 360 ? ? 60 ? ? x ? k ? 360 ? ? 300 ? , k ? Z ?,
B ? x | k ? 360 ? ? 210 ? ? x ? k ? 360 ? , k ? Z ,求 A ? B , A ? B .

?

?

二、弧度与弧度制 1、弧度与弧度制: 弧度制—另一种度量角的单位制, 它的单位是 rad 读作弧度 定义:长度等于 的弧所对的圆心角称为 1 弧度的角。
B r 1rad o A
4

C

l=2r 2rad r o

A

如图:?AOB=1rad 注意:

,?AOC=2rad



周角=2?rad

1、正角的弧度数是正数,负角的弧度数是负数,零角的弧度数是 0 2、角?的弧度数的绝对值 ? ?
l ( l 为弧长, r 为半径) r

3、用角度制和弧度制来度量零角,单位不同,但数量相同(都是 0) 用角度制和弧度制来度量任一非零角,单位不同,量数也不同。 4、在同一个式子中角度、弧度不可以混用。

2、角度制与弧度制的换算 弧度定义:对应弧长等于半径所对应的圆心角大小叫一弧度 角度与弧度的互换关系:∵ 360?= ∴ 1?= rad 180?= rad

?
180

rad ? 0.01745 rad
?

? 180 ? ? ? 1rad ? ? ? ? 57 .30 ? 57 18' ? ? ?

注意:正角的弧度数为正数,负角的弧度数为负数,零角的弧度数为零. 例 1、 把 67 ? 30' 化成弧度 ∴ 3 例 2、 把 ?rad 化成度 5 例 3、将下列各角从弧度化成角度 (1)

?
36

rad

(2)2.1 rad

(3)

3 ?rad 5

例 4、用弧度制表示:1?终边在 x 轴上的角的集合 集合

2?终边在 y 轴上的角的

5

三、弧长公式和扇形面积公式

l ? ?r



S?

1 1 lR ? ?r 2 2 2

例 1、已知扇形的周长是 6 cm,面积是 2 cm2,则扇形的中心角的弧度数是 或4 .

1

例 2 、 若两 个 角的 差为 1 弧 度, 它 们的和 为 1? , 求 这 连 个角 的大 小 分 别 为 。 ⑴
4? 3

例 3、 直径为 20cm 的圆中,求下列各圆心所对的弧长



165 ?

例 4、 (1)一个半径为 r 的扇形,若它的周长等于弧所在的半圆的长,那么扇形 的圆心角是多少弧度?是多少度?扇 形的面积是多少? (2)一扇形的周长为 20 cm,当扇形的圆心角 ? 等于多少弧度时,这个扇形的 面积最大?

. 例 5、 (1)已知扇形的周长为 10,面积为 4,求扇形中心角的弧度数; (2)已知扇形的周长为 40,当它的半径和中心角取何值时,才能使扇形的 面积最大?最大面积是多少?

(七)任意角的三角函数(定义) 1. 设?是一个任意角,在?的终边上任取(异于原点的)一点 P(x,y) ,则 P 与 原点的距离 r ? 2.比值

x ? y ? x2 ? y2 ? 0
记作:
sin ? ? y x ;比值 叫做?的余弦 r r

2

2

y 叫做?的正弦 r x cos? ? r

记作:

比值

y 叫做?的正切 x

记作:

tan? ?

x y ;比值 叫做?的余切 y x

记作:

6

cot? ?

x y

比值

r 叫做?的正割 x

记作:

sec? ?

r r ;比值 叫做?的余割 y x

记作:

csc? ?

r y

注意突出几个问题:①角是“任意角”,当?=2k?+?(k?Z)时,?与?的同名三角 函数值应该是相等的,即凡是终边相同的角的三角函数值相等。 ②实际上,如果终边在坐标轴上,上述定义同样适用。③三角函数是以“比值” 为函数值的函数 ④ r ? 0 ,而 x,y 的正负是随象限的变化而不同,故三角函数的符号应由象限确 定 三角函数在各象限的符号: ⑤定义域:
y ? sin ? y ? cos? y ? tan? y ? cot? y ? sec? y ? csc?
5

4. ? 是第二象限角, P( x ,
10 4

)为其终边上一点,且 cos ? =

2 x ,则 4

sin ? =

. 已知角 ? 的终边落在直线 y=-3x (x<0)上,则
sin? sin? ? cos? cos? ?

.

2

.

例 8、 已知?的终边经过点 P(2,?3),求?的六个三角函数值

例 9、 求下列各角的六个三角函数值 3? ⑴ 0 ⑵ ? ⑶ ⑷ 2

? 2

例 10、 ⑴ 已知角?的终边经过 P(4,?3),求 2sin?+cos?的值 ⑵已知角?的终边经过 P(4a,?3a),(a?0)求 2sin?+
7

8


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