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专题一 集合与简易逻辑复数

时间:2015-05-08


专题一 集合与简易逻辑 背景知识
不等式
●不等式的基本性质 基本性质 1:不等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式,不等号方向不变。 基本性质 2:不等式两边都乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变。 基本性质 3:不等式两边都乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变。 ●不等式的解集 一个含有未知数的不等式的所有的解,组成这个不等式的解的集合,简称

这个不等式 的解集。 ●不等式解集的表示方法: ① 用不等式表示 ② 用数轴表示:大于向右画,小于向左画,有等号的画实心圆点,无等号的画空心圆 圈。 ●一元一次不等式的概念 一般地,我们把经变形后能化为 已知数,并且 的不等式叫做一元一次不等式。 一元一次不等式的标准形式: 或 ( ) 或 的形式(其中 是未知数, 、 是

),只含有一个未知数,并且未知数的次数是 1,系数不等于 0,这样

绝对值
●绝对值定义

一个正实数的绝对值是它本身;一个负实数的绝对值是它的相反数;零的绝对值是零.即

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绝对值的几何意义可以借助于数轴来认识,它与距离的概念密切相关.在数轴上表示 一个数的点离开原点的距离叫这个数的绝对值. 结合相反数的概念可知,除零外,绝对值相等的数有两个,它们恰好互为相反数.反 之,相反数的绝对值相等也成立.由此还可得到一个常用的结论:任何一个实数的绝对值是 非负数.

二次函数
●二次函数的概念:
2 b, c 一般地,形如 y ? ax ? bx ? c ( a , 是常数, a ? 0 )的函数,叫做二次函数。二次 b , c 项系数 a ? 0 ,而 可以为零.二次函数的定义域是全体实数. 2 ● 二次函数 y ? ax ? bx ? c 的结构特征:

⑴ 等号左边是函数,右边是关于自变量 x 的二次式, x 的最高次数是 2. b, c ⑵ a, 是常数, a 是二次项系数, b 是一次项系数, c 是常数项.
2 ●二次函数 y ? ax ? bx ? c 的性质

1. 当 a ? 0 时,抛物线开口向上,对称轴为

x??

? b 4ac ? b 2 ? b ?? , ? 4a ? 2a ,顶点坐标为 ? 2a .



x??

b b b x?? x?? 2a 时, y 随 x 的增大而减小;当 2a 时, y 随 x 的增大而增大;当 2a 时,

4ac ? b2 y 有最小值 4a .
x??
? b 4ac ? b 2 ? b ?? , ? 4a ? 2a ,顶点坐标为 ? 2a .当

2. 当 a ? 0 时,抛物线开口向下,对称轴为

x??

b b b x?? x?? 2a 时, y 随 x 的增大而增大;当 2a 时, y 随 x 的增大而减小;当 2a 时,

4ac ? b2 y 有最大值 4a .

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●二次函数与一元二次方程的关系(二次函数与 x 轴交点情况): 一元二次方程 ax 2 ? bx ? c ? 0 是二次函数 y ? ax2 ? bx ? c 当函数值 y ? 0 时的特殊情况. 图象与 x 轴的交点个数: ① 当 ? ? b 2 ? 4ac ? 0 时, 图象与 x 轴交于两点 A? x1 , 其中的 x1 ,x2 0? , B ? x2 , 0? ( x1 ? x2 ) , 是一元二次方程 ax2 ? bx ? c ? 0 ? a ? 0? 的两根. ② 当 ? ? 0 时,图象与 x 轴只有一个交点; ③ 当 ? ? 0 时,图象与 x 轴没有交点. 1' 当 a ? 0 时,图象落在 x 轴的上方,无论 x 为任何实数,都有 y ? 0 ; 2 ' 当 a ? 0 时,图象落在 x 轴的下方,无论 x 为任何实数,都有 y ? 0 . 2. 抛物线 y ? ax2 ? bx ? c 的图象与 y 轴一定相交,交点坐标为 (0 , c ) ; ●一元二次不等式及其解法: (1)我们把只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是 2 的不等式,称为__一元二次

________不等式.
(2)使某个一元二次不等式成立的 x 的值叫做这个一元二次不等式的解,一元二次不等 式所有的解组成的集合叫做一元二次不等式的____解集____. (3)若一元二次不等式经过同解变形后,化为一元二次不等式 ax2+bx+c>0(或 ax2+

bx+c<0)(其中 a>0)的形式,其对应的方程 ax2+bx+c=0 有两个不等实根 x1,x2,且 x1
<x2(此时Δ=b2-4ac>0), 则可根据“大于号取 (4)解一元二次不等式见下表: 函数与不等式 二次函数 Δ>0 Δ=0 Δ<0 两边 , 小于号取 中间 ”求解集.

y=ax2+bx+ c
(a>0)的图象 一元二次方程 有两相 异实根 有两相等实 根

ax2+bx+c=
0 (a>0)的根

x1,x2
(x1<x2) {x|x1 < x1 或

x1=x2
=- 2a R

无实根

b

ax2+bx+c>
0 (a>0)的解集

x>x2}
{x|x1 < x <x2}
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ax2+bx+c<
0 (a>0)的解集

分式不等式
●分式不等式解法 (1)化分式不等式为标准型.方法:移项,通分,右边化为 0,左边化为 (2)将分式不等式转化为整式不等式求解,如:

f(x)

g(x)

的形式.

f(x) g(x) f(x) f(x) g(x)

>0? f(x)g(x)>0;

<0 ? f(x)g(x)<0;

?f(x)g(x)≥0, ? ≥0 ? ? g(x) ? ?g(x)≠0; ?f(x)g(x)≤0, ? ≤0 ? ? g(x) ? ?g(x)≠0.
f(x)

集合相关概念
●集合:一般的,一定范围内某些确定的,不同的对象的全体构成一个集合。 ●子集:对于两个集合 A 和 B,如果集合 A 中的任意一个元素都是集合 B 中的元素,我们就 说这两个集合有包含关系,称集合 A 是集合 B 的子集,记作 A?B ●空集:不含任何元素的集合叫做空集,记为φ ●集合的三要素:确定性、互异性、无序性 ●集合的分类: (按集合中元素个数多少分为:)有限集、无限集、空集 常见数集:“N”全体非负整数组成的集合 体整数组成的集合 一般,全集用 U 表示。 关系: 元素属于集合:a∈A 集合与集合:A?B,A=B “N+”或“N*”所有正整数组成的集合 “R”全体实数组成的集合 “Z”全 "Q“全体有理数组成的集合

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●元素与集合、集合与集合之间的关系: (1)元素与集合之间存在两种关系:如果 a 是集合 A 中的元素,就说 a ________集合 A, 记作________;如果 a 不是集合 A 中的元素,就说 a________集合 A,记作________. (2)集合与集合之间的关系: 表示 文字语言 关系 相等 子集 集合 A 与集合 B 中的所有 元素都相同 符号语言

__________? A=B ________或 ________ ________或 ________
?A, ?B (B≠ )

A 中任意一个元素均为 B
中的元素

A 中任意一个元素均为 B
真子集 中的元素,且 B 中至少有 一个元素不是 A 中的元素 空集 结论: 集合有 n 个元素,子集的个数 非空子集的个数 ____________ ____________ 空集是任何集合的子集, 是任何______的真子集

非空真子集的个数 ____________ ●两个集合 A 与 B 之间的运算: 集合的并 集 符号 表示 Venn 图 表示(阴 影部分) 意义 集合的交 集

集合的补集 若全集为 U, 则集 合 A 的补集记为

________

集合的运算 (1)①A∩B________A; ②A∩B________B;
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③A∩A=________; ⑤A∩B________B∩A. (2)①A∪B________A; ③A∪A=________; ⑤A∪B________B∪A.

④A∩ =________; ②A∪B________B; ④A∪ =_______;

(3)①?U(?UA)=________; ②?UU=________; ③?U =________;

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命题
●命题的概念 (1)一般地,在数学中,我们把用语言、符号或式子表达的,可以 __________的陈述句 叫做命题,其中__________的语句叫做真命题,____________的语句叫做假命题. (2)在两个命题中,如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件,我们 称这两个命题为____________. (3)在两个命题中,如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论 的否定,这样的两个命题称为________________. (4)在两个命题中,如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件 的否定,这样的两个命题称为________________. (5)一般地,设“若 p,则 q”为原命题,那么______________________就叫做原命题的逆 命题; ______________________就叫做原命题的否命题; __________________就叫做原命题 的逆否命题. ●四种命题的相互关系 (1)四种命题的相互关系图(请你补全)

(2)真假关系 ①两个命题互为逆否命题,它们具有________的真假性,即等价; ②两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性________. ●充分条件和必要条件 (1)如果 p ? q,则称 p 是 q 的________,q 是 p 的_________. (2)如果________, 且________, 那么称 p 是 q 的充分必要条件, 简称 p 是 q 的__________, 记作________. (3)如果 p ? q,但 q p,那么称 p 是 q 的______________条件. (4)如果________,但________,那么称 p 是 q 的必要不充分条件. (5)如果________,且________,那么称 p 是 q 的既不充分也不必要条件. 1.命题中的“或”“且”“非”称为___________. ●全称量词 “所有的”“任意一个”“每一个”等短语在逻辑中通常叫做 ____________ ,通常用符号 “________”表示.含有全称量词的命题称为____________,全称命题“对 M 中任意一个 x,有

p(x)成立”可用符号简记为:
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?x∈M,p(x). ●存在量词 “存 在 一 个 ”“至 少 有 一 个 ”等 短 语 在 逻 辑 中 通 常 叫 做 ______________ , 通 常用 符 号 “________”表示.含有存在量词的命题称为______________,特称命题“存在 M 中的元素 x0, 使 p(x0)成立”,可用符号简记为:?x0∈M,p(x0). 注:特称命题在有的教材上也称为存在性命题. ●含有一个量词的命题的否定 命 题 命题的否定 ?x∈M,p(x) ?x0∈M,p(x0) 因此,全称命题的否定是________命题;特称命题的否定是________命题. ●命题 p∧q,p∨q, ? p 的真假判断(真值表) 注:“p∧q”“p∨q”“ ? p”统称为复合命题,构成复合命题的 p 命题,q 命题称为简单命题.

p
真 真 假 假

q
真 假 真 假 ① ④ ⑦ ⑩

p∧q
② ⑤ ⑧
1 1 ○

p∨q

?p

③ ⑥ ⑨
1 2 ○

复数的概念
1.虚数的单位为 i,规定:i2= -1 乘法的___运算律_____仍然成立. 2.复数的概念 形如:a+bi(a,b∈R)的数叫复数,其中 a 叫做复数的___实部___,b 叫做复数的_____ ,且实数与它进行四则运算时,原有的加法、

虚部_____.
①当 ②当 ③当 b=0 b≠0 a=0 时,复数 a+bi 为实数; 时,复数 a+bi 为虚数; 且 b≠0 时,复数 a+bi 为纯虚数.

3.复数相等的充要条件

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a + bi = c + di(a , b , c , d ∈ R) ? a=c 且 b=d
a=b=0 . 实数

,特别地, a + bi = 0 ?

4.在复平面内,实轴上的点都表示 示 纯虚数 .

;虚轴上的点除

原点

外都表

→ 5.复数 z=a+bi(a,b∈R)与复平面上的点 Z(a,b)、平面向量OZ都可建立 应 的关系(其中 O 是坐标原点). 6.复数的模

一一对

即 z = a+bi =r=___ a 2 ? b 2 _________(r≥0,r∈R). 7.共轭复数 一般地,当两个复数的实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数叫做互为____共轭复

|| |

→ 向量OZ的模 r 叫做复数 z=a+bi(a,b∈R)的模,记作______|z|__________或 a+bi .

|

|

|

数______,复数 z 的共轭复数记作____ z ____.
8.数系的扩充 数集扩充的过程是:自然数集(N)→ 有理数集 (Q) → 整数集(Z) →

实数集(R)

→复数集(C).数集的每一次扩充,都使得在

原有数集中能实施的运算, 在新的数集中仍能进行, 并且解决了在原有数集中某种运算不可 实施的矛盾.

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