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吉林省长春市2014届高三数学毕业班第一次调研测试试题 理


1

2

3

4

2014 年长春市高中毕业班第一次调研测试 数学(理科)试题参考答案及评分标准 第Ⅰ卷(选择题,共 60 分) 一、选择题(本大题包括 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的,请将正确选项填写在答题纸上) 题号 答案

1 B 2 B 3 A 4 D 5 C 6 D 7 A 8 D 9 B 10 D 11 C 12 C

1.【试题答案】 B 【试题解析】由复数虚部定义:复数 a ? bi ?a ? R,b ? R ? 的虚部为 b ,得 z ? 1 ? i 的虚 部为 ? 1 ,故选 B . 2.【试题答案】 B 【试题解析】因为 M ? ?x | 1 ? x ? 3?, N ? ?x | x ? 2?,所以 M ? N ? ?x | 1 ? x ? 2? , 故选 B . 3.【试题答案】 A 【试题解析】化简 f ( x) ? (sin x ? cos x) ? sin x ? cos x ? 2 sin x cos x ? 1 ? sin 2 x ,
2 2 2

∴将选项代入验证,当 x ? 4.【试题答案】 D

?
4

时, f ( x) 取得最值,故选 A .

【试题解析】由抛物线标准方程 x ? 2 py ? p ? 0? 中 p 的几何意义为:抛物线的焦点到
2

准线的距离,又 p ? 5.【试题答案】 C

1 ,故选 D . 4

【 试 题 解 析 】 S3 ? ? 3x2 dx ? x3 3 0 ? 27 ? 0 ? 27 , 设 公 比 为 q , 又 a3 ? 9 , 则
0

3

9 9 1 ? ? 9 ? 27 ,即 2q 2 ? q ? 1 ? 0 ,解得 q ? 1 或 q ? ? ,故选 C . 2 q q 2
6.【试题答案】 D 【试题解析】由题意可知,程序框图的运算原理可视为函数 S ? a ? b ? ?
?1

?a ?b ? 1?, a ? b , ?a ?b ? 1?, a ? b

5? ?1? 所以 2 tan ? ln e ? 2 ?1 ? 4 , lg 100 ? ? ? ? 2 ? 3 ? 4 , 4 ? 3?
?? 5? ?? 2 tan 4 ??
?1 ? ? ? ?1? ? ? ln e ? lg100 ? ? ? ? ? ? ? 4 ? 4 ? 0 ,故选 D . ? ? ? 3? ? ? ? ? ?

5

7.【试题答案】 A 【试题解析】由 z ? x ? y ,得 y ? ? x ? z ,则 z 表示该 组平行直线在 y 轴的截距。又由约束条件

y
A O

? x ?1 ? ? y ? a ?a ? 1? 作出可行域如图,先画出 y ? ?x ,经 ?x ? y ? 0 ? 平移至经过 y ? x 和 y ? a 的交点 A?a, a ? 时,z 取得 最大值,代入 A?a, a ? ,即 z max ? a ? a ? 4 ,所以 a ? 2 ,故选 A . 8.【试题答案】 D

y?x y?a
x

1

x ?1
第 7 题图

【试题解析】A 选项,直线 m 可能在平面 ? 内;B 选项,如果直线 n 不在平面 ? 内,不 能得到 n ? ? ;C 选项,直线 l 与 m 可能平行,可能异面,还可能相交;故 选D . 9.【试题答案】 B 【试题解析】由 BA ? BF ? BA ? BF 得 BA ? BF ? 0 ,又 A?a,0? , B?0,?b ? , F (?c,0)
2 2 2 则 BA ? ?a, b ? , BF ? ?? c, b ? ,所以有 b ? ac ? 0 ,即 c ? a ? ac ? 0 ,

从而 e

2

? e ?1 ? 0
1? 5 1? 5 ,又 e ? 1 ,所以 e ? ,故选 B . 2 2

解得 e ?

10.【试题答案】 D 【试题解析】由三视图可知,该几何体为一个球体,下半球完整,上半球分为四份,去

1 球的表面积, 再加上 6 4 1 1 1 2 9 2 2 2 个 圆面积, 故 S ? 4?R ? ? 4?R ? 6 ? ?R ? ?R , 又球半径 R ? 1, 4 4 4 2 9? ,故选 D . S? 2 11.【试题答案】 C 【试题解析】不等式 x ? y 表示的平面区域如图
掉了对顶的两份, 故表面积应为球的表面积, 去掉 所示,函数 f ( x) 具有性质 S ,则函 数图像必须完全分布在阴影区域① 和②部分, f ( x) ? e ? 1 分布在区
x

域①和③内, f ( x) ? ln( x ? 1) 分布 在区域②和④内, f ( x) ? sin x 图像 分布在区域①和②内, f ( x) ? tan x 在每个区域都有图像,故选 C 12.【试题答案】 C 【试题解析】验证 f (0) ? 1 ? 0 ,
6 第 11 题图

1 1 1 1 1 1 f (?1) ? 1 ? 1 ? ? ? ? ? ?? ? ? ?0 2 3 4 5 2012 2013
f ?( x) ? 1 ? x ? x 2 ? x 3 ? ?? ? x 2012
易知 x ? 0 时, f ?( x) ? 0 ; x ? 0 时, f ?( x) ?

1 ? ?? x ? 1? x

2013

?

1 ? x 2013 ?0 1? x

所 以 f ?( x) ? 0 在 R 上 恒 成 立 , 故 f ( x) 在 R 上 是 增 函 数 , 又

f (?1) ? f (0) ? 0 ,
∴ f ( x) 只有一个零点,记为 x1 ,则 x1 ? ?? 1,0 ? . 同理可证明 g ( x) 也只有一个零点,记为 x 2 ,且 x2 ? ?1,2? .故

F ( x) ? f ( x ? 3) g ( x ? 4) 有 2 个不同零点 x3 , x 4 , x3 即将 x1 向左平移 3
个单位, x 4 即将 x 2 向右平移 4 个单位,∴ x3 ? ?? 4,?3? , x4 ? ?5,6? , 又函数 F ( x) 的零点均在区间 ?a, b ? 内,且 a ? b, a, b ? Z ,故当 a ? ?4 ,

b ? 6 时,即 b ? a 的最小值为 6 ? (?4) ? 10 ,故选 C

第Ⅱ卷 (非选择题,共 90 分) 二、填空题(本大题包括 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确答案填在答题卡中的横线 上) 13.【试题答案】

15 2

??? ? ???? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 2 ??? ? ??? ? 15 【试题解析】 AB ? AD ? AB ? AB ? BD ? AB ? AB ? BD ? 9 ? 3 ? 1? cos120? ? . 2

?

?

14.【试题答案】 3 3 【试题解析】设球半径 R ,上下底面中心设为 M , N ,由题意,外接球心为 MN 的中 点 , 设 为 O , 则 OA ? R , 由 4?R ? 12?
2

, 得 R ? OA ? 3 , 又 易 得

AM ? 2 ,由勾股定理可知, OM ? 1 ,所以 MN ? 2 ,即棱柱的高 h ? 2 ,
所以该三棱柱的体积为 15.【试题答案】 4024 【试题解析】设圆 C1 与圆 C 2 交于 A , B ,则直线 AB 的方程为:

3 ? 4

? 6?

2

?2 ?3 3.

7

x 2 ? y 2 ? 4 x ? 4 y ? x 2 ? y 2 ? 2an x ? 2a2013?n y ? 0 ,
化简得: ?an ? 2?x ? ?a2013?n ? 2? y ? 0 又圆 C 2 平分圆 C1 的周长,则直线 AB 过 C1 ?2,2 ? , 代入 AB 的方程得: an ? a2013?n ? 4 , ∴ a1 ? a2 ? ?? ? a2012 ? ?a1 ? a2012 ? ? ?a2 ? a2011 ? ? ?? ? ?a1006 ? a1007 ?

?

?

? 1006 ? 4 ? 4024 .
16.【试题答案】 ③ 【试题解析】 f (1.5) ? sin?1.5 - ?1.5?? ? sin 0.5 , f (?1.5) ? sin?? 1.5 ? ?? 1.5?? ? sin 0.5 , 则 f (1.5) ? f (?1.5) ,故①错。

f ( x ? 1) ? sin?x ? 1 ? ?x ? 1?? ? sin?x ? 1 ? ?x? ? 1? ? sin?x ? ?x?? ? f ( x) , ∴

T ? 1 ,故②错。 g ( x) ? x ? ?x? 在 ?k , k ? 1? ?k ? Z? 是单调递增的周函
数,知 g ( x) ? ?0,1? ,故 f ( x) ? ?0, sin1? ,故③正确,易知④错。综上,正确 序号为③。 三、解答题(本大题包括 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤). 17.【试题解析】 (1)设等差数列 ?an ?的公差为 d , 则 S 5 ? S 2 ? 3a1 ? 9d ? 27 , 又 a1 ? 3 ,则 d ? 2 ,故 a n ? 2n ? 1 .
2

……………………………………………6 分
2

(2)由(1)可得 S n ? n ? 2n ,又 S n ? S n ? 2 ? 8(a n ?1 ? 1) , 即 n(n ? 2) (n ? 4) ? 8(2n ? 4) ,化简得 n ? 4n ? 32 ? 0 ,
2 2

2

解得 n ? 4 或 n ? ?8 (舍) ,所以 n 的值为 4.……………………………………12 分 18.【试题解析】 (1) f ( x) ? (m ? n) ? m ? cos x ? 3 sin x cos x ?
2

3 1 ? cos 2 x 3 3 ? ? sin 2 x ? 2 2 2 2
…………4 分

?

1 3 ?? ? cos 2 x ? sin 2 x ? 2 ? sin? 2 x ? ? ? 2 2 2 6? ?

因为 ? ? 2 ,所以最小正周期 T ? (2)由(1)知 f ( x) ? sin? 2 x ?

2? ?? . 2

……………………6 分

? ?

??

? ? 7? ? ?? . ? ? 2 ,当 x ? ?0, ? 时, ? 2 x ? ? 6? 6 6 6 ? 2?

8

由正弦函数图象可知,当 2 x ? 所以 2 A ?

?
6

?

?
2

时, f ( x) 取得最大值 3 ,又 A 为锐角 ……………………8 分

?
6

?
2

?
2

,A?
2

?
6
2

.

由余弦定理 a ? b ? c ? 2bc cos A 得 1 ? b 2 ? 3 ? 2 ? 3 ? b ? cos 或b ? 2 经检验均符合题意. 从而当 b ? 1 时,△ ABC 的面积 S ?

?
6

,所以 b ? 1

……………………10 分

1 ? 3 ? 3 ? 1 ? sin ? ;……………11 分 2 6 4
……………………12 分

S?

1 ? 3 ? 3 ? 2 ? sin ? . 2 6 2
D1 A1 F D A

19.【试题解析】 (1)连结 AD1 交 A1 D 于 F , ∵四边形 AA1 D1 D 为正方形, ∴ AD1 ? A1 D ,

C E
第 19 题图(1)

B

∵正方形 AA1 D1 D 与矩形 ABCD 所在平面互相垂直,交线为 AD , AE ? AD , ∴ AE ? 平面 AA1 D1 D ,又 A1 D ∴ AE ? A1 D , 又 AD1 ? AE ? A ,∴ A1 D ? 平面 AD1 E , 又 D1 E ? 平面 AD1 E ,∴ A1 D ? D1 E .……………………………………………6 分 (2)存在满足条件的 AM ? 2 ?

? 平面 AA1 D1 D

3 . 3
D1 A1 D A M C B

【解法一】假设存在满足条件的点 M ,过点 D 作 DN ? CM 于点 N ,连结

D1 N ,则 D1 N ? CM ,
所以 ?D1 ND 为二面角 D1 ? CM ? D 的平面角, ……………………9 分 所以 ?D1 ND ?

N
第 19 题图(2)

?
6



9

在 Rt ?D1 ND 中, D1 D ? 1 所以 DN ? 3 , 又在 Rt ?DNC 中, CD ? AB ? 2 ,所以 ?NDC ? 在 Rt ?MCB 中, BM ? BC ? tan

?
6

,∴ ?MCB ?

?
6



?
6

?

3 , 3

∴ AM ? 2 ?

3 . 3

故 在 线 段 AB 上 存 在 一 点 M , 使 得 二 面 角 D1 ? CM ? D 为

? , 且 6

AM ? 2 ?

3 . 3

………………………………………12 分

【解法二】依题意,以 D 为坐标原点, DA 、 DC 、 DD1 所在直线分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系,因为 AB ? 2 AD ? 2 ,则 D?0,0,0? , C ?0,2,0? , D1 ?0,0,1? ,

? 1? . A1 ?1,0,1? ,所以 DD1 ? ?0,0,1? , D1C ? ?0,2,
易知 DD1 为平面 MCD 的法向量,设 M ?1, a,0? ?0 ? a ? 2? ,所以 MC ? ?? 1,2 ? a,0 ? ,

? ? ? ? x, y, z ? ? ?0,2,?1? ? 0 ? ?n ? D1C ? 0 设平面 D1MC 的法向量为 n ? ?x, y, z ? ,所以 ? ? ,即 ? , ? ?? x, y, z ? ? ?? 1,2 ? a,0? ? 0 ? n ? MC ? 0
所以 ?

?z ? 2 y ,取 y ? 1 , ? x ? (2 ? a) y

z D1

则 n ? ?2 ? a,1,2? ,又二面角 D1 ? MC ? D 的大小为 所以 cos

?

? , 6

A1 F D x A E M B C y

?
6

?

| DD1 ? n | | DD1 | ? | n |

?

| (0,0, 1) ? (2 ? a,1,2) | 1 ? (2 ? a) ? 1 ? 2
2 2 2



第 19 题图 2

即 3a ? 12 a ? 11 ? 0 ,解得 a ? 2 ?
2

3 . 3

又因为 0 ? a ? 2 ,所以 a ? 2 ?

3 . 3
3 ? ,且 AM ? 2 ? . 3 6

故在线段 AB 上是存在点 M ,使二面角 D1 ? MC ? D 的大小为

……………………………………………12 分

10

20.【试题解析】 (1)设半焦距为 c .由题意 AF , AB 的中垂线方程分别为 x ?

a?c b a a , y ? ? (x ? ) , 2 2 b 2

? a ? c b 2 ? ac ? a ? c b 2 ? ac ? ? , 于是圆心坐标为 ? .所以 p ? q ? ? ?0, 2b ? 2 2b ? 2 ?
整理得 ab ? bc ? b ? ac ? 0 ,
2

……………………………………………4 分

即 (a ? b)(b ? c) ? 0 , 所以 b ? c ,于是 b ? c ,即 a ? b ? c ? 2c .
2 2 2 2 2 2

所以 e ?
2

c2 1 2 ? ,即 ? e ? 1. 2 2 2 a

……………………………………………6 分

(2)当 e ?

x2 y2 2 时, a ? 2b ? 2c ,此时椭圆的方程为 2 ? 2 ? 1 , 2 2c c

设 M ? x, y ? ,则 ? 2c ? x ? 所以 MF ? OD ? MO ? 当c ?

2c ,

?

?

1 2 1 1 2 x ? x ? c 2 ? ?x ? 1? ? c 2 ? . …………………8 分 2 2 2

1 1 7 2 2 2 时,上式的最小值为 c ? ,即 c ? ? ,得 c ? 2 ;…………10 分 2 2 2 2
2 1 1 7 2 2 2 2 时, 上式的最小值为 ( 2c) ? 2c ? c , 即 ( 2c) ? 2c ? c ? , 2 2 2 2 2 ? 30 ,不合题意,舍去. 4

当0 ? c ?

解得 c ?

综上所述,椭圆的方程为

x2 y2 ? ? 1. 8 4

……………………………………12 分

21.【试题解析】 (1)由题意 F ( x) ? x ?

x 2 ? ax ? 1 1 ? ? ? ,则 F ?( x) ? ,2 分 ? a ln x ,其定义域为 ?0, x2 x 2 2 对于 m( x) ? x ? ax ? 1,有 ? ? a ? 4 . ①当 ? 2 ? a ? 2 时, F ?( x) ? 0 ,∴ F ( x) 的单调增区间为 (0,??) ;

11

a ? a2 ? 4 a ? a2 ? 4 , x2 ? 2 2 2 2 ? a ? a ? 4 ? ?a? a ?4 ? ?和? ∴ F ( x) 的单调增区间为 ? 0, ,?? ? , ? ? ? ? 2 2 ? ? ? ? ? a ? a2 ? 4 a ? a2 ? 4 ? ?. F ( x) 的单调减区间为 ? , ? ? 2 2 ? ? 综上:当 ? 2 ? a ? 2 时, F ( x) 的单调增区间为 (0,??) ;
②当 a ? 2 时, F ?( x) ? 0 的两根为 x1 ?

? a ? a2 ? 4 ? ? a ? a2 ? 4 ? ?和? ,?? ? , ? ? ? ? 2 2 ? ? ? ? ? a ? a2 ? 4 a ? a2 ? 4 ? ?. ………6 分 F ( x) 的单调减区间为 ? , ? ? 2 2 ? ? 1 (2)对 h( x) ? x ? ? a ln x ,其定义域为 (0,??) . x 1 a x 2 ? ax ? 1 求导得, h?( x) ? 1 ? 2 ? ? , x x x2 由题 h?( x) ? 0 两根分别为 x1 , x 2 ,则有 x2 ? x2 ? 1 , x1 ? x2 ? ?a , ………8 分 1 1 ∴ x2 ? ,从而有 a ? ? x1 ? x1 x1
当 a ? 2 时, F ( x) 的单调增区间为 ? 0,

H ( x) ? x ?

2?1 ? x ??1 ? x ?ln x ? 1 ? H ?( x) ? 2? 2 ? 1? ln x ? . x2 ?x ? ? 1? ? 1? 当 x ? ? 0, ? 时, H ?( x) ? 0 ,∴ H ( x) 在 ? 0, ? 上单调递减, ? 2? ? 2? 1 又 H ( x1 ) ? h( x1 ) ? h( ) ? h( x1 ) ? h( x2 ) , x1 1 ∴ ?h( x1 ) ? h( x2 )?min ? H ( ) ? 5 ln 2 ? 3 . ………………12 分 2
请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22. 【试题解析】 (1) 由题意知, AB 与圆 D 和圆 O 相切,切点分别为 A 和 B , 由切割线定理有: EA ? EF ? EC ? EB 所以 EA ? EB ,即 E 为 AB 的中点.…5 分
2 2

?1 ?? 1 ? 1? 1 ? 1? 1? 1? ? ? ? ? x ? ? ln x ? ? ? x ? ? ? x ? ? ln ? ? 2 ?? ? x ? ? ln x ? x ? ? x ? x? x ? x? x? x? ? ?x ?? ,……10 分

(2)由 BC 为圆 O 的直径,易得 BF ? CE ,

1 1 BF ? CE ? CB ? BE , 2 2 5 BF CB a. ∴ ∴ BF ? ? 5 BE CE
∴ S△BEC ? 23. 【试题解析】

………10 分

12

1 ? ? ? x ?1? t x ? 1 ? t cos ? ? ? ? 3 2 (1)直线 l 的参数方程 ? ,即 ? ( t 为参数) ? ? y ? ?5 ? t sin ? y ? ?5 ? 3 t ? ? 3 ? 2 ?
由题知 C 点的直角坐标为 ?0,4 ? ,圆 C 半径为 4 , ∴圆 C 方程为 x ? ( y ? 4) ? 16
2 2

将?

? x ? ? cos? 代入 ? y ? ? sin?
………5 分

得圆 C 极坐标方程

? ? 8sin ?

(2)由题意得,直线 l 的普通方程为 3 x ? y ? 5 ? 3 ? 0 , 圆心 C 到 l 的距离为 d ? ∴直线 l 与圆 C 相离. 24. 【试题解析】 (1)由 f ( x) ? 4 ,即 x ? 1 ? x ? 1 ? 4 , 当 x ? ?1 时,则 ? x ?1 ? 1 ? x ? 4 ,得 x ? ?2 ,∴ ? 2 ? x ? ?1; 当 ?1 ? x ? 1 时,则 x ? 1 ? 1 ? x ? 4 ,得 2 ? 4 ,恒成立,∴ ?1 ? x ? 1 ; 当 x ? 1时,则 x ? 1 ? x ?1 ? 4 ,得 x ? 2 ,∴ 1 ? x ? 2 ; 综上, M ? ?x | ?2 ? x ? 2? . (2)当 a, b ? M 时, 则 ? 2 ? a ? 2 , ? 2 ? b ? 2 . 即: a ? 4 , b ? 4 ,∴ 4 ? a ? 0 , 4 ? b ? 0
2 2 2 2

?4?5? 3 2

?

9? 3 ? 4, 2
………10 分

………5 分

∴ 4?a

?

2

??4 ? b ? ? 0 ,即16 ? 4a
2

2

? 4b 2 ? a 2b 2 ? 0 ,

也就是 4a ? 4b ? 16 ? a b ,
2 2 2 2

∴ 4a ? 8ab ? 4b ? 16 ? 8ab ? a b ,
2 2 2 2

即: ?2a ? 2b ? ? ?4 ? ab? ,
2 2

即 2 a ? b ? 4 ? ab .

………10 分

13


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