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【世纪金榜】2015高考数学专题辅导与训练配套练习:课时冲关练(十四) 圆锥曲线的概念与性质与曲线中的证明


课时冲关练(十四)
圆锥曲线的概念与性质、 存在性问题与曲线中的证明 (45 分钟 一、选择题(每小题 5 分,共 40 分) 1.(2014 ? 衢 州 模 拟 ) 若 双 曲 线 x2=1(b>0) 的 一 条 渐 近 线 与 圆 ( ) 100 分)

x2+(y-2)2=1 至多有一个交点,则双曲线离心率的取值范围是 A.(1,2] C

.(1, ] B.[2,+ ? ) D.[ ,+ ? )

【解析】选 A.取渐近线 y=bx,圆心(0,2),半径为 1, 则由 又 a=1, 所以离心率 e= = = ≤2. ≥1 得 b2≤3.

又双曲线的离心率 e>1, 所以离心率的取值范围为 .

2.(2013?四川高考)从椭圆 + =1(a>b>0)上一点 P 向 x 轴作垂线,垂 足恰为左焦点 F1,A 是椭圆与 x 轴正半轴的交点,B 是椭圆与 y 轴正半轴 的交点,且 AB∥OP(O 是坐标原点),则该椭圆的离心率是 ( A. B. C. D. )

【 解 析 】 选 C. 根 据 题 意 可 知 点 P(-c,y0), 代 入 椭 圆 的 方 程 可 得 =b2,根据 AB∥OP,可知 = ,即 = ,解得 y0= ,即 b2= ,

-1-

解得 e= = ,故选 C. 3.平面直角坐标系中 ,已知两点 A(3,1),B(-1,3), 若点 C 满足
1



+λ )

2

(O 为原点),其中λ 1,λ 2∈R,且λ 1+λ 2=1,则点 C 的轨迹是

(

A.直线

B.椭圆

C.圆 =λ1 +λ2

D.双曲线 ,所以(x,y)=λ1(3,1)+

【解析】选 A.设 C(x,y),因为 λ2(-1,3), 即 解得 +

又λ1+λ2=1,所以

=1,即 x+2y=5,所以轨迹为直线,故选 A.

4.(2014? 威海模拟)双曲线 y2- =1 的离心率 e=2,则以双曲线的两条渐 近线与抛物线 y2=mx 的交点为顶点的三角形的面积为 ( A. B.9 C.27 D.36 =2,即 )

【解析】选 C.依题意可知:双曲线 a2=1,b2=m,所以 e= =

=2,所以 m=3,所以双曲线的渐近线方程为 y=〒 x,抛物线方程 为 y2=3x,联立方程组 设 A(9,3 联立方程组 设 B(9,-3 ), 解得 或 解得 或

), 由 抛 物 线 的 对 称 性 可 知 : △ AOB 的 面 积 为

-2-

S= |AB|xA=27

.

【误区警示】本题易忽略双曲线的焦点在 y 轴上而误选. 5.抛物线 C1:y= x2(p>0)的焦点与双曲线 C2: -y2=1 的右焦点的连线交 C1 于第一象限的点 M.若 C1 在点 M 处的切线平行于 C2 的一条渐近线,则 p=( )

A.

B.

C.

D.

【解题提示】利用“直线平行,则斜率相等”这一结论求解. 【解析】选 D.因为双曲线 C2: -y2=1, 所以右焦点为 F(2,0),渐近线方程为 y=〒 x. 抛物线 C1:y= x2(p>0),焦点为 F' 设 M(x0,y0),则 y0= 因为 kMF'=kFF',所以 又因为 y'= x,所以 y' 由①②得 p= . . = .① = x0= .② .

6.已知双曲线 - =1 的左右焦点分别为 F1,F2,过左焦点 F1 作直线 l 与 双曲线左右两支分别交于 A,B 两点,若△ABF2 为正三角形,则双曲线的 渐近线方程为 ( A. x±y=0 B.x±
-3-

)

y=0

C.

x±y=0

D.x±

y=0

【解析】选 A.设|AB|=|BF2|=|AF2|=x,则由|BF1|-|BF2|=2a 得|AF1|=2a, 又 中 由 |AF2|-|AF1|=2a, 得 |AF2|=x=4a, 结 合 所 余 以 弦 △ 定 BF1F2 理

,|BF1|=6a,|BF2|=4a,|F1F2|=2c,

得 ,(2c)2=(6a)2+(4a)2-2 〓 6a 〓 4a 〓 cos 60 ° ? 4c2=28a2, 得 a2+b2=7a2, =6,渐近线方程为 y=〒 7.下列说法中不正确的是 ( ) x.即 x〒y=0.

A.若动点 P 与定点 A(-4,0),B(4,0)连线 PA,PB 的斜率之积为定值 ,则 动点 P 的轨迹为双曲线的一部分 B.设 m,n∈R,常数 a>0,定义运算“ ”:m n=(m+n)2-(m-n)2,若 x≥0,则 动点 P(x, )的轨迹是抛物线的一部分

C.已知两圆 A:(x+1)2+y2=1,圆 B:(x-1)2+y2=25,动圆 M 与圆 A 外切,与圆 B 内切,则动圆的圆心 M 的轨迹是椭圆 D.已知 A(7,0),B(-7,0),C(2,-12),椭圆过 A,B 两点且以 C 为其一个焦 点,则椭圆的另一个焦点的轨迹为双曲线 【解析】选 D.A 中轨迹是双曲线去掉与 x 轴交点的部分,B 中的抛物线 取 x 轴上方的(包含 x 轴)部分,C 中符合椭圆定义是正确的,D 中应为双 曲线一支.故选 D. 【方法技巧】求动点轨迹方程的常用方法 1.直接法: 如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量的等量关系 ,或这些几 何条件简单明了且易于表达,我们只需把这种关系“翻译”成含 x,y 的

-4-

等式就得到曲线的轨迹方程 .由于这种求轨迹方程的过程不需要其他 步骤,也不需要特殊的技巧,所以称之为直接法. 2.定义法: 若动点的轨迹符合某一基本轨迹的定义 ,则可根据定义直接求出动点 的轨迹方程. 3.相关点法: 有些问题中,其动点满足的条件不便用等式列出,但动点是随着另一动 点(称之为相关点)而运动的.如果相关点所满足的条件是明显的,或是 可分析的,这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标 ,根据相关点所满 足的方程即可求得动点的轨迹方程 ,这种求轨迹的方法叫做相关点法 或坐标代换法. 4.参数法: 有时求动点应满足的几何条件不易得出 ,也无明显的相关点,但却较易 发现 (或经分析发现)这个动点的运动常常受到另一个变量(角度、斜 率、比值、截距或时间等)的制约,即动点坐标(x,y)中的 x,y 分别随另 一变量的变化而变化,我们可称这个变量为参数,建立轨迹的参数方程, 这种方法叫参数法,如果需要得到轨迹的普通方程,只要消去参数即可. 在选择参数时 , 选用的参变量可以具有某种物理或几何的性质 , 如时 间、速度、距离、角度、有向线段的数量、直线的斜率,点的横、纵坐 标等,也可以没有具体的意义,选定参变量还要特别注意它的取值范围 对动点坐标取值范围的影响. 8.(2014?温州模拟)如图,双曲线 C1: - =1(a>0,b>0)的左、右焦点为

-5-

F1,F2,抛物线 C2 的顶点为坐标原点 O,焦点为 F2,过 F1 的圆 x2+y2=a2 的一 切线交抛物线 C2 于点 A,切点为 M,若线段 F1A 的中点恰为 M,则双曲线 C1 的离心率为 ( )

A. C.

B. D.

【解析】选 A.连接 OM,AF2,在△F1AF2 中,MO 为中位线,且 F1M=b,OM=a, 从而 AF2=2a,由抛物线的定义,设 A(x,y),则 x+c=2a,从而 x=2a-c.又点 A 到 x 轴的距离为 的垂线),从而点 A(2a-c, (利用抛物线的定义过点 A 作抛物线准线 ).考虑到点 A 在抛物线 C2:y2=4cx

上 , 从 而 4b2-4a2=4c(2a-c), 即 c2-2a2=c(2a-c), 即 c2-ac-a2=0, 故 e2-e-1=0,又 e>1,解得 e= .

二、填空题(每小题 4 分,共 16 分) 9.设椭圆 C: + =1(a>b>0)的左、 右焦点分别为 F1,F2,P 是 C 上的点,PF2 ⊥F1F2,∠PF1F2=30°,则 C 的离心率为 【解析】因为 PF2⊥F1F2,∠PF1F2=30°, 所以|PF2|=2ctan30°= 又|PF1|+|PF2|= 答案: 10.(2014?山东高考)已知双曲线 - =1 的焦距为 2c, c,|PF1|= c. .

c=2a,则 e= = = .

-6-

右顶点为 A,抛物线 x2=2py 线所得线段长为 2c,且

的焦点为 F,若双曲线截抛物线的准 =c,则双曲线的渐近线方程为 .

【解题提示】本题考查了双曲线知识,利用双曲线与抛物线准线的交点 为突破口求出 a,b 之间的关系,进而求得双曲线的渐近线方程. 【解析】由题意知 = =b, ,

抛物线准线与双曲线的一个交点坐标为 即 所以 = 答案:y=〒x

,代入双曲线方程为 - =1,得 =2, =1,所以渐近线方程为 y=〒x.

11.(2013 ? 天 津 高 考 ) 已 知 抛 物 线 y2=8x 的 准 线 过 双 曲 线 - =1(a>0,b>0)的一个焦点,且双曲线的离心率为 2,则该双曲线的方 程为 .

【解析】 由抛物线 y2=8x 知其准线方程为 x=-2,故双曲线中 c=2,又离心 率为 2,所以 a=1,由 b2=c2-a2 得 b2=3,因此该双曲线的方程为 x2- =1. 答案:x2- =1 【方法技巧】求解圆锥曲线方程的方法 求解圆锥曲线的标准方程的方法是“先定型,后计算”. (1)所谓“定型”,就是指确定类型,也就是确定椭圆、双曲线的焦点所 在的坐标轴是 x 轴还是 y 轴,抛物线的焦点是在 x 轴的正半轴、负半轴 上,还是在 y 轴的正半轴、负半轴上,从而设出相应的标准方程的形式. (2)所谓“计算”,就是指利用待定系数法求出方程中的 a2,b2,p 的值, 最后代入写出椭圆、双曲线、抛物线的标准方程.
-7-

12.(2014?天水模拟)抛物线 y2=2px(p>0)的焦点为 F,过焦点 F 倾斜角 为 30°的直线交抛物线于 A,B 两点,点 A,B 在抛物线准线上的射影分别 是 A',B', 若 四 边 形 AA'B'B 的 面 积 为 48, 则 抛 物 线 的 方 程 为 .

【解析】 过 A 作 AC⊥BB'于点 C,因为直线的倾斜角为 30°,所以 AC= AB, 设 A(x1,y1),B(x2,y2),直线 AB 的方程为 y= 立 消 元 得 :x2-7px+
AA'B'B

,与抛物线方程联
四边形

=0, 所 以 x1+x2=7p, 所 以 AB=8p, 所 以 S

= (AA'+BB') · AC= 〓 8p 〓 4p=48, 所以 p= x. x

. 所以抛物线方程为

y2=2

答案:y2=2

三、解答题(13~14 题每题 10 分,15~16 题每题 12 分,共 44 分) 13.已知椭圆 E: + =1(a>b>0)的右焦点为 F,过原点和 x 轴不重合的直 线与椭圆 E 相交于 A,B 两点,且|AF|+|BF|=2 (1)求椭圆 E 的方程. (2)若圆 x2+y2= 的切线 l 与椭圆 E 相交于 P,Q 两点,当 P,Q 两点横坐标 不相等时,OP(O 为坐标原点)与 OQ 是否垂直?若垂直,请给出证明;若不 垂直,请说明理由. 【 解 析 】 (1) 设 A(x0,y0), ,所以 a= . 则 ,|AB|的最小值为 2.

B(-x0,-y0),F(c,0)(c2=a2-b2),|AF|+|BF|=2a=2 又|AB|= =2 ,0≤ ≤a2, =2

-8-

所以|AB|min=2b=2,所以 b=1, 所以椭圆 E 的方程为 +y2=1. (2)OP 与 OQ 垂直,证明如下: 由题设条件可知直线 l 的斜率存在,设直线 l 的方程为 y=kx+m. 因为直线 l 与圆 x2+y2= 相切,所以 = ,

所以 m2= (k2+1).将 y=kx+m 代入 +y2=1 中得,(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0, Δ=8(2k2+1-m2)>0. 令 P(x1,y1),Q(x2,y2),x1≠x2, 则 x1+x2= ①,x1x2= ②, ③. + = =0,

y1y2=k2x1x2+km(x1+x2)+m2= 所以 所以 · ⊥ =x1x2+y1y2=

,即 OP 与 OQ 垂直.

【误区警示】注意检验判别式 在解题时 ,若直线与圆锥曲线有公共点,在求得参数值时 ,要注意检验 判别式是否大于或等于零,避免产生增解或漏解,如本题中Δ =8(2k2+1-m2)>0. 14.(2014?天津高考)设椭圆 + =1(a>b>0)的左、右焦点为 F1,F2,右 顶点为 A,上顶点为 B.已知 (1)求椭圆的离心率. (2)设 P 为椭圆上异于其顶点的一点,以线段 PB 为直径的圆经过点 F1, 经过原点 O 的直线 l 与该圆相切,求直线 l 的斜率. 【解析】(1)设椭圆的右焦点 F2 的坐标为
-9-

=

.

.



=

,可得 a2+b2=3c2,

又 b2=a2-c2,则 = . 所以,椭圆的离心率 e= . = 解得 a= c,所以 2a2-c2=3c2,

c,e= .

(2)由(1)知 a2=2c2,b2=c2. 故椭圆方程为 设P 有 = · + =1. ,B , =0, = . ,

.由 F1

由已知,有 即

c+y0c=0.又 c≠0,故有 x0+y0+c=0. ①

又因为点 P 在椭圆上,故 + =1. ② 由①和②可得 3 y0= , 即点 P 的坐标为 设圆的圆心为 T 进而圆的半径 r= . ,则 x1= =- c,y1= = c. = c, +4cx0=0.而点 P 不是椭圆的顶点,故 x0=- ,代入①得

设直线 l 的斜率为 k,依题意,直线 l 的方程为 y=kx. 由 l 与圆相切,可得 即 = c, =r,

- 10 -

整理得 k2-8k+1=0,解得 k=4〒 所以,直线 l 的斜率为 4+

. .

或 4-

15.(2014?嘉兴模拟)如图,两条相交线段 AB,PQ 的四个端点都在椭圆 + =1 上,其中,直线 AB 的方程为 x=m,直线 PQ 的方程为 y= x+n.

(1)若 n=0,∠BAP=∠BAQ,求 m 的值. (2)探究:是否存在常数 m,当 n 变化时,恒有∠BAP=∠BAQ? 【解析】(1)由 解得 P 因为∠BAP=∠BAQ, 所以 kAP+kAQ=0. 设 A(m,y),则 化简得 2my=3, 又 + =1,联立方程组,解得 m=〒1,或 m=〒 . + =0, ,Q .

因为 AB 平分∠PAQ,所以 m=〒 (2)设 P(x1,y1),Q(x2,y2),由 得 4y2-6ny+3n2-3=0. Δ=12(4-n2),y1+y2= ,y1y2=

不合适,故 m=〒1.

.

- 11 -

若存在常数 m,当 n 变化时,恒有∠BAP=∠BAQ,则由(1)知只可能 m=〒1. ①当 m=1 时,取 A ,∠BAP=∠BAQ 等价于 + =0,

即(2y1-3)(2y2-2n-1)+(2y2-3)(2y1-2n-1)=0, 即 4y1y2+3(2n+1)=2(n+2)(y1+y2), 即 3(n2-1)+3(2n+1)=3n(n+2),此式恒成立. 所以,存在常数 m=1,当 n 变化时,恒有∠BAP=∠BAQ. ②当 m=-1 时,取 A ,

由对称性同理可知结论成立. 故,存在常数 m=〒1,当 n 变化时,恒有∠BAP=∠BAQ. 16.(2014 ? 合 肥 模 拟 ) 如 图 , 点 F1(-c,0),F2(c,0) 分 别 是 椭 圆 C: + =1(a>b>0)的左、右焦点,过点 F1 作 x 轴的垂线交椭圆 C 的上半 部分于点 P,过点 F2 作直线 PF2 的垂线交直线 x= 于点 Q.

(1)如果点 Q 的坐标是(4,4),求此时椭圆 C 的方程. (2)证明:直线 PQ 与椭圆 C 只有一个交点. 【解析】(1)由条件知,P ,故直线 PF2 的斜率为 x, = =.

因为 PF2⊥F2Q,所以直线 F2Q 的方程为 y= 故 Q .由题设知,

=4,2a=4, 解 得 a=2,c=1. 故 椭 圆 方 程 为

- 12 -

+ =1. (2)直线 PQ 的方程为 即 y= x+a. 将上式代入 + =1 得 x2+2cx+c2=0, Δ=(2c)2-4c2=0,所以方程只有一个解, 所以直线 PQ 与椭圆 C 只有一个交点. = ,

- 13 -


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