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高一数学正弦函数、余弦函数的性质 新课标 人教版(用)


y
1 -4? -3? -2? -?

o
-1

?

2?

3?

4?

5?

6?

x

y=sinx (x?R)

定义域 R

/>y=cosx (x?R)
y
1 -4? -3? -2? -?

o
-1

?

2?

3?

4?

5?

6?

x

观察下面图象:
yy

? sin x( x ? R)
3π 2 ●

?

5? 2

﹣2π


﹣2

π

1●
﹣1 0


﹣ 3π 2




﹣π



π
2

π







5? 2

x

定义域:R 值域: 1, [? 1]

? ? ? ? 单调递增区间: ?? ? 2k? , ? 2k? ? 2 ? 2 ?
3? ?? ? 单调递减区间: ? ? 2k? , ? 2k? ? 2 ?2 ?

观察下面图象:
?

y=sinx (x?R)
y

当x= 2 ? 2k? 时,函数值y取得最大值1;
1

? 2?

??
-1

0

?

2?

3?

4?

5?

6?

x

当x= ?

?
2

? 2k? 时,函数值y取得最小值-1
对称轴: x ?

对称中心( ? ,0) k

?
2

? k?

观察下面图象:

y ? cos x, x ? R
y

﹣2π


﹣2

π

1●
﹣1 0


﹣ 3π 2




﹣π



π
2

π



3π 2 ●





x

定义域:R 值域: 1, [? 1]

单调递增区间: ?? ? ? 2k? ,2k? ? 单调递减区间: ?2k? , ? ? 2k? ?

观察下面图象:
当x= 2k?
y 1

y=cosx (x? R)
时,函数值y取得最大值1;

? 2?

??
-1

0

?

2?

3?

4?

5?

6?

x

当x= ? ? 2k? 时,函数值y取得最小值-1
对称中心(

?
2

? k? ,0)

对称轴: ? k? x

函数 性质

y= sinx

(k∈z)

y= cosx

(k∈z)

定义域 值域 最值及相应的 x 的集合 周期性 奇偶性

R [-1,1]
x= 2kπ+ 2 时 ymax=1 x=2kπ- π 时 ymin=-1 2 周期为T=2π 奇函数 在x∈[2kπ- π, 2kπ+ ]2上 2 都是增函数 , 在 π 3 x∈[2kπ+ ,2kπ+ ]上π 2 2 都是减函数. (kπ,0) x = kπ+

R

[-1,1]

π

x= 2kπ时 ymax=1 x= π+ 2kπ 时 ymin=-1 周期为T=2π 偶函数

π

单调性

对称中心 对称轴

π
2

(kπ+ π ,0) 2 x = kπ

在x∈[-π+ 2kπ,2kπ ] 上都是增函数 , 在x∈[2kπ,π +2kπ ] 上都是减函数 。

例3、下列函数有最大值、 最小值吗?如果有,请 写出取最大值、 最小值时的自变量 的集合,并说出最大值 x 、最小值分别是什么 。

(1) y ? cos x ? 1, x ? R (2) y ? ?3 sin 2 x, x ? R
练习:P40 2、 3

方法:利用正余弦函 数的的最大(小)值

例4、利用三角函数的单调 性,比较下列各组数的 大小:

() ? 1 sin(

)与 sin(? ) 18 10 28? 17? 还有其他方法 (2) cos(? )与 cos(? ) 来比较吗? 5 4
作单位圆用三角函数线

?

?

练习:P41 5

1 ? 例5、求函数 y ? sin( x ? ), x ? [?2? ,2? ]的单调递增区间 . 2 3
解:令z ? [?

?
2

1 ? x ? , 函数y ? sin z的单调递增区间是 2 3

? 2k? ,

?

由?

?

2

? 2k? ] 1 ? ? x ? ? ? 2k? 2 3 2

2 5? ? 得? ? 4k? ? x ? ? 4k? , k ? Z 3 3 由x ? [?2? ,2? ]可知, 5? ? ? 2? ? ? ? 4k?且 ? 4k? ? 2? 3 3 1 5 于是 ? ?k? . 由于k ? Z , 所以k ? 0, 12 12 1 ? 即函数y ? sin( x ? ), x ? [?2? ,2? ]的单调递增区间是 2 3 5? ? [? , ]. 3 3

? 2k? ?

函数 性质

y= sinx

(k∈z)

y= cosx

(k∈z)

定义域 值域 最值及相应的 x 的集合 周期性 奇偶性

R [-1,1]
x= 2kπ+ 2 时 ymax=1 x=2kπ- π 时 ymin=-1 2 周期为T=2π 奇函数 在x∈[2kπ- π, 2kπ+ ]2上 2 都是增函数 , 在 π 3 x∈[2kπ+ ,2kπ+ ]上π 2 2 都是减函数. (kπ,0) x = kπ+

R

[-1,1]

π

x= 2kπ时 ymax=1 x= π+ 2kπ 时 ymin=-1 周期为T=2π 偶函数

π

单调性

对称中心 对称轴

π
2

(kπ+ π ,0) 2 x = kπ

在x∈[-π+ 2kπ,2kπ ] 上都是增函数 , 在x∈[2kπ,π +2kπ ] 上都是减函数 。


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